4.2. Аналитическая геометрия в пространстве.
4.2.1. Плоскость.
Уравнение плоскости, проходящей через точку
,
перпендикулярно вектору
имеет вид:
(1)
Общее уравнение плоскости:
,
(2)
где
- нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках:
,
(3)
где a, b, c отрезки, отсекаемые плоскостью (3) на координатных осях Ox, Oy, Oz соответственно.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
:
(4)
Углом между плоскостями
вычисляется
по формуле:
(5)
Условие параллельности плоскостей:
(6)
Условие перпендикулярности плоскостей :
(7)
Расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:
(8)
4.2.2. Прямая линия в пространстве.
Общее уравнение прямой:
(9)
Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору
,
имеет вид:
(10)
Уравнение (10) называется каноническим.
Пусть прямые заданы уравнениями:
и
(11)
Тогда угол между
этими прямыми определяется как угол
между их направляющими векторами
и
.
Угол между прямыми (16) определяется по формуле:
(12)
Условие параллельности прямых:
(13)
Условие перпендикулярности прямых:
(14)
4.2.3. Прямая линия и плоскость в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
(15)
Условие параллельности прямой и плоскости:
(16)
Условие перпендикулярности:
(17)
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой (12), тогда координаты точки пересечения находятся из системы уравнений:
(18)
Примеры:
Даны точки
.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
и перпендикулярно вектору
.
Решение:
Воспользуемся уравнением: .
Нормальный
вектор
.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид:
Написать уравнение прямой, проходящей через точку
и перпендикулярно к прямым:
(1)
(2)
Решение:
Известны
направляющие векторы прямых (1) и (2):
.
Поскольку
искомая прямая перпендикулярна к прямым
(1) и (2), то она перпендикулярна к векторам
.
Тогда за направляющий вектор
можно взять
,
Уравнение
искомой прямой имеет вид:
.