1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве состоит из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в одной и той же точке (начало координат 0) и имеющих направление, а также единицы масштаба по каждой оси (рисунок 17).

Рисунок 17

Положение точки М на плоскости определяется единственным образом тремя числами – ее координатами M(х_т; у_т; z_т), где х_т – абсцисса, у_т – ордината, z_т – аппликата.

Каждая из них дает расстояние от точки М до одной из плоскостей координат со знаком, учитывающим, по какую сторону от этой плоскости расположена точка: взята ли она в сторону положительного или отрицательного направления третьей оси.

Три координатные плоскости делят пространство на 8 частей (октантов).

Расстояние между двумя точками A(х_А; у_А; z_А) и B(х_В; у_В; z_В) вычисляется по формуле

Пусть даны точки A(х₁; у₁; z₁) и B(х₂; у₂; z₂). Тогда координаты точки С(х; у; z), делящей отрезок в отношении , выражаются следующими формулами:

Пример 1. Найти расстояние АВ, если А(3; 2; –10) и В(–1; 4; –5).

Решение

Расстояние АВ вычисляется по формуле

Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению с тремя переменными, составляет некоторую поверхность.

Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют двум уравнениям, составляет некоторую линию – линию пересечения соответствующих двух поверхностей.

Всякое уравнение первой степени изображает плоскость, и, обратно, всякая плоскость может быть представлена уравнениями первой степени.

Параметры A, B, C являются координатами нормального вектора, перпендикулярного плоскости, т. е. n = (A; B; C).

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях: a – по оси ОX, b – по оси ОY, с – по оси ОZ:

Пусть даны две плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₂x + B₂y + C₂z + + D₂ = 0.

Условие параллельности плоскостей: .

Условие перпендикулярности плоскостей:

Угол между плоскостями определяется по следующей формуле:

.

Пусть плоскость проходит через точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃).

Тогда ее уравнение имеет вид:

Расстояние от точки M₀(x₀; y₀; z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 находится по формуле

.

Тест 1. Плоскость проходит через точку:

1) A(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Тест 2. Уравнение плоскости ОXY следующее:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

Пример 2. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости ОXY и проходящей через точку (2; –5; 3).

Решение

Так как плоскость параллельна плоскости ОXY, ее уравнение имеет вид Cz + D = 0 (вектор  = (0; 0; С)  ОХY).

Так как плоскость проходит через точку (2; –5; 3), то C  3 + D = 0 или как D = –3C.

Таким образом, CZ – 3C = 0. Так как С ≠ 0, то z – 3 = 0.

Ответ: z – 3 = 0.

Тест 3. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору (3; –1; –4), имеет вид:

1)

2)

3)

4)

Тест 4. Величина отрезка, отсекаемого по оси ОY плоскостью равна:

1) 5;

2) –3;

3) 2;

4) 1.

Пример 3. Написать уравнение плоскости:

1. Параллельной плоскости и проходящей через точку A(2; 0; –1).

2. Перпендикулярной плоскости и проходящей через точку B(0; 2; 0).

Решение

Уравнения плоскостей будем искать в виде A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0.

1. Так как плоскости параллельны, то Отсюда A = 3t, B = –t, C = 2t, где t  R. Пусть t = 1. Тогда A = 3, B = –1, C = 2. Поэтому уравнение принимает вид Координаты точки А, принадлежащей плоскости, обращают уравнение в истинное равенство. Следовательно, 3  2 – 1  0 + 2  (–1) + D = 0. Откуда D = 4.

Ответ:

2. Поскольку плоскости перпендикулярны, то 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Так как переменных три, а уравнение одно, то две переменные принимают произвольные одновременно не равные нулю значения. Пусть A = 1, B = 3. Тогда C = 0. Уравнение принимает вид D = –6.

Ответ:

Тест 5. Указать плоскость, параллельную плоскости x – 2y + 7z – 2 = 0:

1)

2)

3)

4)

Тест 6. Указать плоскость, перпендикулярную плоскости x – 2y + + 6z – 2 = 0:

1)

2)

3)

4)

Тест 7. Косинус угла между плоскостями 3x + y – z – 1 = 0 и x – 4y – – 5z + 3 = 0 определяется по формуле:

1)

2)

3)

Тест 8. Расстояние от точки (3; 1; –1) до плоскости 3x – y + 5z + 1 = 0 определяется по формуле:

1)

2)