Несобственные интегралы I и II рода

Понятие определенного интеграла было введено для функций, заданных на интервале [a; b]. Однако существуют понятия интеграла на случай функций, определенных на неограниченных интервалах.

Пусть функция определена на бесконечном интервале [a; ) и интегрируема на любом интервале [a; b], где b < .

Несобственным интегралом I рода функции f(x) на интервале [a; ) называется предел

= (6)

Если предел в левой части равенства (6) является конечным числом, то интеграл называется сходящимся, если этого предела не существует или он равен , то говорят, что интеграл расходится.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение

Имеем

| | =

Тест 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) расходится;

2)

3) 1;

4)

5) 2.

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция на [a; b] является ограниченной. Тем не менее существует обобщение понятия определенного интеграла и на случаи, когда нарушается требование ограниченности подынтегральной функции на [a; b].

Предположим, что f(x) является ограниченной и интегрируемой на любом отрезке [a + ; b], 0 <  < b – a, но неограниченной в любой окрестности точки а. В таком случае точка а называется особой точкой.

Несобственным интегралом II рода функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел

= (7)

Если предел в левой части равенства (7) существует и является конечным числом, то интеграл называется сходящимся. В противном случае он называется расходящимся.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение

Имеем

| =

Делаем вывод, что данный несобственный интеграл расходится.

Тест 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) Расходится;

2)

3) 1;

4)

5) 2.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Существует много формул приближенного вычисления определенных интегралов. Приведем наиболее простую из них – формулу трапеций.

Пусть в интеграле функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками = – значение функции = в точке Тогда имеет место так называемая формула трапеций

(8)

Пример 8. Вычислить приближенно определенный интеграл применив формулу трапеций, взяв n = 3.

Решение

Находим шаг h: Получаем: x₀ = 1, x₁ = 2, х₂ = 3, х₄ = 4. Тогда соответствующими значениями функции y₀ = 1, Подставляя эти значения в формулу (8), получим

Тест 8. Вычислить приближенно определенный интеграл применив формулу трапеций, взяв n = 4:

1)

2) 2;

3)

4)

5)

Ответы на тестовые задания

Номер теста	1	2	3	4	5	6	7	8
Правильный ответ	2	1	5	3	2	4	1	5