2) Расходится;
3) вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Тест 17.
Если ряд
сходится при
(
),
то он сходится абсолютно при любых
значениях x,
для которых выполняется неравенство:
1)
2)
3)
4)
Тест 18.
Если ряд
расходится при
то он расходится
при любых значениях x,
для которых выполняется неравенство:
1)
2)
3)
4)
Тест 19. Радиус сходимости степенного ряда an 0, вычисляется по формуле:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 20.
Степенной
ряд задан формулой общего члена
Радиус сходимости данного ряда равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 21. Радиус сходимости некоторого степенного ряда равен R = 5, тогда интервал сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) (–5; 0);
3) (5; 0);
4) (–5; 0) (0; 5);
5) (–; 0) (5; ).
Тест 22. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при x = –5 соответствующий числовой ряд сходится, а при x = 5 – расходится. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Тест 23. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 соответствующий числовой ряд расходится, а при х = 5 – сходится. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Тест 24. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 и х = 5 соответствующие числовые ряды сходятся. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Тест 25. Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 и х = 5 соответствующие числовые ряды расходятся. Тогда область сходимости имеет вид:
1) (–5; 5);
2) [–5; 5);
3) [–5; 5];
4) (–5; 5];
5) (–; –5).
Пример 16. Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение
Общий член данного
ряда равен
Коэффициенты при n-м
и n
+1-м
членах ряда соответственно равны
По формуле (12) находим радиус
Таким образом, радиус сходимости: R = .
Интервал сходимости: (–; ).
Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.
Пример 17. Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение
Общий
член данного ряда равен
Коэффициенты при n-м
и n
+1-м
членах ряда соответственно равны an
= n!;
an
= (n
+ 1)!. По формуле (12) находим радиус
Таким образом, радиус сходимости: R = 0.
Следовательно, ряд сходится только в одной точке x = 0.
Тест 26.
Радиус
сходимости степенного ряда
равен R
= 0. Тогда ряд сходится:
1) при х (–; +);
2) при х = 1;
3) при х (0; +);
4) только при х = 0;
5) при х (–; 0).
Тест 27. Радиус сходимости некоторого степенного ряда равен R = . Тогда ряд сходится:
1) при х Î (–¥; +¥);
2) при x = 1;
3) при х (0; +);
4) при x = 0;
5) при х (–; 0).
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Рядом Тейлора, расположенным по степеням (x – x0), для функции f(x) называется степенной ряд
(13)
где
…,
… – производные функции f(x)
в точке
При x = 0 ряд Тейлора, расположенный по степеням х, имеет вид
.
(14)
Формула (14) представляет частный случай формулы Тейлора (13). Формула (14) называется формулой Маклорена.
Пример 18.
Для функции
f(x)
составить ряд Тейлора, расположенный
по степеням (x
– 2).
Решение
Найдем значения
функции f(x)
и ее последовательных производных
…,
при x0
= 2:
1) значение функции
f(x0)
при x0
= 2: f(x0)
= f(2)
2) производную
первого порядка:
ее значение при x0
= 2:
3)
производную второго порядка:
ее значение при x0
= 2:
4) производную
третьего порядка:
ее значение
при x0
= 2:
Тогда производная
п-го
порядка будет равна:
а ее значение при x0
= 2:
Подставив x0 = 2, а также найденные значения функции f(x) и производных f (x0), …, f (n)(x0) при x0 = 2 в формулу (13), получим
Пример 19.
Для функции
f(x)
составить ряд Тейлора, расположенный
по степеням х
(т. е. составить ряд Маклорена).
Решение
Найдем значения функции f(x) и ее последовательных производных …, при x0 = 0:
1) значение функции
при x0
= 0:
2) производную
первого порядка:
ее значение при x0
= 0:
3)
производную
второго порядка:
ее значение при x0
= 0:
4)
производную третьего порядка:
,
ее значение при x0
= 0:
Тогда производная
п-го
порядка будет равна:
а ее значение при x0
= 0:
Подставив найденные значения функции f(x) и производных …, при x0 = 0 в формулу (14), получим
.
Пример 20. Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5).
Решение
У функции f(x) нет ряда Тейлора, расположенного по степеням (x – 5), так как функция f(x) в точке x = 5 не определена.
Тест 28. Для функции f(x) ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5), имеет вид:
1)
;
2) у данной функции нет ряда, расположенного по степеням (x – 5);
3)
;
4)
.
Тест 29. Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора:
1) при x = 1;
2) при x = –1;
3) при x = 0;
4) при x = 5;
5) при x = 2.