Дифференциальные уравнения первого порядка
1) Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида y = f(x; y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
(2)
или
(3)
Алгоритм решения:
1) в уравнении
производную
у
представляем в виде отношения
дифференциалов
2) обе части уравнения умножаем на dx;
3) разделяем
переменные: с помощью арифметических
операций надо получить при dy
функцию, зависящую только от переменной
y,
при dx
– функцию, зависящую только от переменной
x;
в результате получается уравнение вида
4) интегрируя, находим общий интеграл уравнения
Пример 5.
Найти
общий интеграл дифференциального
уравнения
Решение
Представим уравнение
в виде (2):
sin x:
1) учитывая, что
получаем:
2) обе части уравнения
умножаем на dx:
3) разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим
на выражение
,
получаем:
4) переносим все
в одну часть равенства и интегрируем:
Таким образом,
общий интеграл данного уравнения будет
иметь вид
Тест 8. Дифференциальным уравнением c разделяющимися переменными является уравнение вида:
1)
2)
3)
где функция f(x;
y)
– однородная степени ноль;
4)
5)
Тест 9. Дифференциальным уравнением c разделяющимися переменными является уравнение вида:
1)
2)
3)
4)
5)
2) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка y = f(x; y) является однородным, если функция f(x; y) – однородная степени ноль по переменным x и у, т. е. обладает свойством: f(tx; ty) = f(x; y), для произвольного числа t 0.
Пример 6. Проверить, является ли однородной функция
f(x;
y)
Решение
Функция является
однородной функцией степени ноль, так
как f(tx;
ty)
f(x;
y).
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = u x. Этой подстановкой мы вводим новую функцию u(x), оставляя независимую переменную прежней.
Пример 7.
Проинтегрировать уравнение
.
Решение
Приведем уравнение к виду y = f(x; y), разделив обе части уравнения на x
(4)
Правая часть
уравнения (4) является однородной функцией
нулевой степени (см. пример 6), поэтому
данное уравнение является однородным.
Для его решения применим подстановку
y
= ux,
тогда
Подставив два последних выражения в
уравнение (4), получим
или
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
Решаем его, используя ранее рассмотренный алгоритм
Интегрируем
Подставив
найдем общий интеграл:
Тест 10. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка является:
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
Тест 11. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
1)
f(x) g (y);
2) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная степени ноль;
3)
4)
5) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная.
Тест 12. Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка может быть найдено в виде:
1) y = u v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
2) y
= u
×
x,
где
– некоторая неизвестная функция;
3) y = u + v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
4) y = u + x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция.
3) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
(5)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если g(x) = 0, то уравнение
(6)
называется линейным однородным.
Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными. Если в линейном уравнении g(x) 0, то оно называется линейным неоднородным.
Решение уравнения
(5) может быть найдено в виде y
= u ×
v, где
v
= v(x)
– некоторое решение уравнения
u = u(x)
– решение уравнения
Пример 8.
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Решение этого линейного неоднородного уравнения будем искать в виде y = uv, где и и v – функции от х.
Подставив y
и
в исходное уравнение, получим
Группируя и вынося общий множитель за скобки, получим
(7)
Подбираем функцию
v = v(x)
так, чтобы
Имеем:
– уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем его по ранее разобранному
алгоритму и находим частное решение
Полученное значение v подставим в уравнение (7) и будем иметь
Откуда
Общее решение исходного уравнения следующее:
или
Тест 13. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
1) f(x) g (y);
2) y + p(x) y = q(x) yn;
3) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная;
4)
5)
Тест 14. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 15. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка может быть найдено в виде:
1) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3) y = u + v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
4) y = u + x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция.
4) Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называют нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка вида
Решение уравнения Бернулли может быть найдено в виде y = uv, где u = u(x) и v = v(x).
Тест 16. Уравнением Бернулли является уравнение вида:
1) f(x) g (y);
2) y + p(x) y = q(x) yn;
3) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная;
4)
5)
Тест 17. Уравнением Бернулли является уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 18.
Решение уравнения Бернулли
может быть найдено в виде:
1) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3) y = u + v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
4) y = u + x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция.