Производная по направлению. Градиент
Частные производные
и
представляют собой производные от
функции z
= f(x;
y)
по двум частным направлениям осей Ox
и Oy
(рисунок 43).
Рисунок 43
Пусть функция z
= f(x;
y)
определена в некоторой окрестности
точки М(х;
у),
– некоторое направление, задаваемое
единичным вектором
где
ибо
(или
);
cos ,
cos
– косинусы углов, образуемых вектором
е
с осями координат и называемые
направляющими
косинусами.
При перемещении
в данном направлении
точки M(x;
y)
в точку M1(x
+ x;
y
+ y)
функция z
получит приращение
z
= f(x
+ x;
y
+
+ y)
– f(x;
y),
называемое приращением
функции
в данном направлении
Если
то, очевидно, что
следовательно,
Производной
по направлению
функции двух переменных
z
= f(x;
y)
называется предел отношения приращения
функции в этом направлении к величине
перемещения
при стремлении последней к нулю, т. е.
Производная
характеризует
скорость
изменения функции в направлении
Формула для производной функции z = f(x; y) по направлению имеет вид
Пример 16.
Дана
функция z
= x2
+ y2,
в точке M(1;
1) направление составляет с осью Ox
угол
Найти производную функции по указанному
направлению в этой точке.
Решение
Так как
то угол
По формуле производной функции по
направлению получим
В точке M(1;
1) получаем:
Градиентом grad
z
функции z
= f(x;
y)
называется вектор с координатами
Рассмотрим скалярное
произведение векторов
и единичного вектора
Получим
Итак, производная по направлению есть скалярное произведение градиента grad z и единичного вектора, задающего направление
Градиент функции grad z в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.
Пример 17.
Найти
градиент функции
в точке M(0;
1).
Решение
По формуле градиента
При х = 0 и у = 1 получаем
Тест 12.
Градиент
функции
в точке А(1;
1) равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Дифференцирование сложных и неявных функций Случай одной независимой переменной
Предположим, что
z
= f(x;
y)
– дифференцируемая функция двух
переменных x
и y
в некоторой области D,
а аргументы x
и y
являются дифференцируемыми
функциями некоторой переменной t,
т. е. x
= x(t),
Тогда
– функция одной переменной t.
Теорема. Имеет место равенство
Если
совпадает с одним из аргументов, скажем,
t
= x,
то
и
называется
полной производной функции z
по x.
Случай нескольких независимых переменных
Если
аргументы x
и y
функции z
= f(x;
y)
являются
функциями двух переменных, скажем, x
= x(u;
v),
y
= y(u;
v),
то
также является функцией двух переменных
и v.
Теорема. Имеют место формулы
и
Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.
Дифференциал сложной функции
Дифференциал сложной функции z = z(x; y), где x = x(u; v), y = y(u; v), можно получить, если в формуле дифференциала
заменить
и
В результате подстановки и перегруппировки членов при du и dv приходим к формуле
показывающей, что форма (вид) дифференциала не зависит от того, являются ли x и y независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.