Прямая в пространстве

Прямая линия в пространстве может быть определена как пересечение двух плоскостей:

Прямая, проходящая через точки A(x_A; y_A; z_A) и B(x_B; y_B; z_B), описывается следующими уравнениями:

Прямая, проходящая через точку M(x₀; y₀; z₀) и параллельная направляющему вектору а = (m; n; p), задается каноническим уравнением

и параметрическими уравнениями

, t  R.

Таким образом, положение прямой определяется ее направляющим вектором:

1) угол φ между двумя прямыми определяется как угол между векторами а₁, а₂; если а₁ = (m₁; n₁; p₁), а₂ = (m₂; n_2;, p₂) − направляющие векторы двух прямых, то

2) условие параллельности прямых:

3) условие перпендикулярности прямых:

4) условие пересечения прямых и :

Пример 4. Написать уравнение прямой OA, проходящей через точку A(2; –1; 4) и начало координат 0.

Решение

Воспользуемся каноническим уравнением прямой. Для его записи надо знать хотя бы одну точку прямой и направляющий вектор а. Так как обе точки принадлежат прямой, то можно взять одну из них, а в качестве направляющего вектора – вектор = (2 – 0; –1 – 0; 4 – 0), так как он лежит на прямой, а значит, параллелен ей

Тест 9. Направляющий вектор прямой

равен:

1) а = (0; –2; 3);

2) а = (2; 4; 0);

3) а = (2; 4);

4) а = (2; 4; 3).

Тест 10. Прямые и

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) скрещиваются;

4) перпендикулярны.

Пример 5. Определить, пересекаются ли прямые и .

Решение

Проверим условие пересечения прямых

18 + 54 – 10 – (24 + 9 – 45) = 0,18 + 54 – 10– 24 – 9 + 45 = 0,

29 + 45 = 0, 74  0  прямые скрещиваются.

Прямая и плоскость в пространстве r3

Пусть даны прямая и плоскость Ax + By + Cz = 0.

Чтобы найти их точку пересечения, надо решить систему этих трех уравнений.

Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле

.

Условие параллельности прямой и плоскости:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Условие того, что прямая лежит в плоскости:

Пример 6. Определить, лежит ли прямая в плоскости 2x – y + z + 1 = 0.

Решение

Из уравнения прямой известна точка (0; 2; –1) этой прямой. Если прямая лежит в плоскости, то и эта точка принадлежит плоскости, т. е. 2  0 – 2 + (–1) + 1 = 0, откуда 0 = 0.

Проверим второе условие: прямая и плоскость параллельны, т. е. 2  3 + (–1)  0 + 1  4 = 0, но 10 ≠ 0. Следовательно, прямая не лежит в плоскости, а пересекает ее в точке (0; 2; –1).

Тест 11. Прямая и плоскость x + 4y – 3z + 7 = 0:

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) прямая лежит в плоскости.

Ответы на тестовые задания

Номер теста	1	2	3	4	5	6	7	8
Правильный ответ	1	1	1	2	2	2	3	2

Номер теста	9	10	11
Правильный ответ	2	1	2