Непрерывность функции двух переменных

Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке (x₀; y₀), если она:

1) определена в точке (x₀; y₀);

2) имеет конечный предел при x  x₀ и y  y₀;

3) этот предел равен значению функции в точке (x₀; y₀), т. е.

Геометрический смысл непрерывности заключается в том, что график в точке (x₀; y₀) представляет собой сплошную нерасслаивающуюся поверхность.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области.

Если в некоторой точке N(x; y) не выполняется условие непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции z = f(x; y).

Нарушение условий непрерывности функции z = f(x; y) может происходить как в отдельных точках, так и в точках, образующих некоторую линию (линия разрыва).

Пример 10. Найти точки разрыва функций:

1)

2)

3)

Решение

1. Данная функция определена для любых x, y, таких, что х – у  0, т. е. х  у. Следовательно, прямая x = y является линией разрыва функции.

2. Данная функция определена на R² всюду, кроме точки (5; 0), которая и является точкой разрыва функции.

3. Функция определена для любых x, y, z, таких, что Сфера с центром в начале координат и радиусом 4 является поверхностью разрыва функции.

Тест 6. Функция не является непрерывной в точке:

1) (0; 0);

2) (2; 1);

3) (0; 1);

4) (8; 0);

5) (1; 2).

Частные производные и дифференциал функции

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).

Для функции имеем:

  (частная производная по переменной х);

  (частная производная по переменной y).

Из определения частных производных следует, что для нахождения производной надо считать постоянной переменную y, а для нахождения – переменную x.

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответ- ствующих независимых переменных, т. е.

Для независимых переменных x и y любые приращения x и y будем считать их дифференциалами, т. е. и

Тогда полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по следующей формуле:

а для функции трех переменных u = f(x; y; x):

Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений значений функции, т. е.

Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.

Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.

Теорема. Для того чтобы функция z = f(x; y) была дифференцируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.

Пример 11. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции