Интегрирование способом подстановки
Суть этого метода заключается в следующем: так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы полученный интеграл стал табличным или более простым.
Если
– любой из известных нам интегралов,
то вместо переменной
в левую и правую части записанного
равенства мы можем подставить другую
переменную u
= (x),
являющуюся дифференцируемой
функцией от x.
При этом также получим истинное
равенство
или
На du
будем смотреть как на дифференциал
функции u
= j(x),
который будем вычислять по формуле
Пример 3.
Найти неопределенный интеграл
Решение
Введем новую
подстановку, положив u
= 5x
+ 4, du
= (5x
+4)dx
=
= 5dx,
Внеся эти выражения в данный интеграл
и сделав обратную замену, получим
Тест 3.
Найти неопределенный интеграл
1)
2)
3)
4)
5)
Пример 4.
Определить число
в интеграле
Решение
Вычислим интеграл в левой части этого равенства, положив u = 3x.
Тогда
откуда
и
=
Отсюда
Тест 4.
Определить число
в интеграле
1)
2)
3)
4)
5)
Пример 5.
Среди множества всех первообразных в
неопределенном интеграле
найти такую первообразную F(x),
что
Решение
Определим вначале значение этого интеграла
4
–2
+
С.
Среди множества
всех первообразных выберем такую,
которая удовлетворяет условию
Должно выполняться равенство
откуда C
= 9.
Тест 5.
Среди множества всех первообразных в
неопределенном интеграле
найти такую первообразную F(х),
что F(4)
= 6:
1)
2)
3)
4)
5)
Интегрирование по частям
Теорема. Пусть функции u и v определены и дифференцируемы на некотором отрезке [a; b], тогда имеет место равенство
Данная формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример 6.
Найти неопределенный интеграл
Решение
Полагаем: u
= ln
x,
тогда
или
отсюда
или
По формуле интегрирования по частям
имеем
Тест 6.
Найти неопределенный интеграл
1)
2)
3)
4)
5)
Ответы на тестовые задания
Номер теста |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Правильный ответ |
2 |
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f(x) задана на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n произвольных частей точками
Точки, разделяющие
отрезок [a;
b]
на частичные отрезки
длиной
будем называть точками
разбиения.
Выберем в каждом из частичных отрезков
[xi;
xi+1]
произвольную точку i,
i
=
Образуем сумму произведений
которую будем
называть интегральной суммой для функции
f(x)
на отрезке [a;
b].
Геометрический смысл величины
показан на рисун-
ке 47: это сумма
площадей прямоугольников с основанием
и высотами
Рисунок 47
Обозначим
через
длину максимального частичного отрезка
данного
разбиения отрезка [a;
b]
на частичные отрезки, т. е.
Конечный предел I интегральной суммы при 0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a; b]:
(1)
Определенный интеграл обозначается при помощи символа
Если определенный интеграл (1) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.
Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливает формула Ньютона-Лейбница
|
=
где F(x) – одна из первообразных для подынтегральной функции f(x).
Пример
1.
Найти определенный интеграл
Решение
Находим неопределенный интеграл, полагая C = 0. Имеем
Вычисляем приращение найденной первообразной
|
=
Краткая
запись:
|
=
Тест
1.
Найти определенный интеграл
1)
2)
3)
4)
5) 43.