Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a  b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем

(4)

где  – угол между векторами a и b.

Скалярное произведение векторов a, b обозначается также при помощи символов ab.

Знак скалярного произведения определяется величиной :

если 0    то a  b  0,

если же    , то a  b  0.

Скалярное произведение определяется только для двух векторов.

Операции над векторами в координатной форме

Пусть в системе координат Оху даны векторы a = (x₁; y₁) = x₁i + y₁ j и b = (x₂; y₂) = x₂i + y₂ j.

Тогда:

1. Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых, т. е. a + b = = (x₁ + x₂; y₁ + y₂).

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т. е. a – b = (x₁ – x₂; y₁ – y₂).

3. Каждая координата произведения вектора на число  равна произведению соответствующей координаты этого вектора на , т. е.  а = ( х₁;  у₁).

4. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. a  b = x₁  x₂ + + y₁  y₂.

Следствие. Длина вектора а = (x; y) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, т. е.

= (5)

Пример 4. Даны векторы b = 3i – j.

Требуется:

1. Найти

2. Найти скалярное произведение векторов с, d.

3. Найти длину вектора с.

Решение

1. По свойству 3 находим координаты векторов 2а, –а, 3b, 2b: 2а = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –а = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

По свойствам 2, 1 находим координаты векторов с, d: с = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. По свойству 4 сd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. По следствию из свойства 4 |с| = = .

Тест 3. Определить координаты вектора а + b, если а = (–3; 4), b = = (5; –2):

1) (2; 2);

2) (–3; 5);

3) (4; –2);

4) (5; 4);

5) (2; –2).

Тест 4. Определить координаты вектора а – b, если а = (2; –1), b = = (3; –4):

1) (–1; 3);

2) (2; 3);

3) (4; –2);

4) (–4; 2);

5) (–1; 2).

Тест 5. Найти координаты вектора 3а, если а = (2; –1):

1) (4; –3);

2) (5; –1);

3) (2; 2);

4) (5; 2);

5) (6; –3).

Тест 6. Найти скалярное произведение a, b векторов а = (1; –4), b = (–2; 3):

1) –14;

2) 10;

3) –10;

4) –2;

5) 2.

Тест 7. Найти длину вектора а = (–12; 5):

1) 12;

2) 13;

3)  ;

4) 60;

5) 10.

Ответы на тестовые задания

Номер теста	1	2	3	4	5	6	7
Правильный ответ	3	4	1	1	5	1	2