Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение оригинала и перечислите их свойства.
2. Что называется изображением? Перечислите свойства изображений.
3. Дайте определение преобразования Лапласа. Перечислите свойства преобразования Лапласа.
Лекция 2. Обратное преобразование Лапласа.
1 Теоремы разложения.
2 Определение обратного преобразования Лапласа. Формула Римана-Меллина.
3 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем.
4 Таблица оригиналов и их изображений.
1 Теоремы разложения.
Теорема 1 (умножение
изображений).
Если
,
,
и
,
,
то
,
.
► Шаг 1.
Докажем, что функция
является оригиналом.
Условия 1) и 2)
очевидны. Возьмем
и
.
Тогда
и
.
Следовательно,
.
Так как при любом
малом
справедливо
,
то функция
ограничена на интервале
,
т.е.
.
Отсюда
.
Тогда
.
При
имеем, что функция
имеет ограниченный рост, показатель
которого равен
.
Шаг 2. Докажем формулу .
Используя преобразование Лапласа, можно записать
.
Область
интегрирования данного двойного
интеграла определяется условиями
и
.
Изменяя порядок
интегрирования и полагая
(рис.1),
Рис.1.
получим
.◄
Определение
1. Функция
вида
называется сверткой
функций
и
.
Обозначается:
,
т.е.
.
Положим . Тогда
.
Видно, что свертка обладает свойством коммутативности.
Учитывая понятие свертки, теорему умножения можно записать в виде
.
Следствие (формула
Дюамеля).
Пусть
и
– оригиналы,
,
,
и
,
,
причем
также является оригиналом. Тогда имеет
место равенство
,
где
.
►Запишем произведение
в виде
.
Отсюда
.
Первое слагаемое есть произведение изображений, соответствующих оригиналам и . Используя свойства умножения изображений и линейности, можно записать
.
Тогда .◄
Пример.
Найти оригинал, соответствующий
изображению
.
Решение. Поскольку
,
,
,
то на основании формулы Дюамеля имеем
.
Теорема 2 (1-я
теорема разложения).
Если функция
в окрестности точки
может быть представлена в виде ряда
Лорана
,
то функция
,
,
является оригиналом, имеющим изображение
:
.
Без доказательства.
Пример.
Найти оригинал
,
если
.
Решение. Запишем разложение в ряд Лорана функции данной в окрестности точки :
.
Следовательно,
при
.
Теорема 3 (2-я
теорема разложения).
Если
– рациональная правильная несократимая
дробь, знаменатель которой
имеет лишь
простые корни
,
,
,
,
то функция
является оригиналом, имеющим изображение .
► Разложим
правильную рациональную дробь
на простейшие:
,
где
,
,
– неопределенные коэффициенты.
Для определения
коэффициента
умножим обе части этого разложения на
:
.
Переходя в этом
равенстве к пределу при
,
получим
.
Аналогично находятся
коэффициенты
,
.
Подставляя найденные значения в разложение функции , имеем
.
Известно, что
,
.
На основании свойства линейности получим
.
◄
Замечания. 1.
Дробь
должна быть правильной. В противном
случае не выполняется необходимый
признак существования изображения
.
2. Видно, что коэффициенты , определяются как вычеты комплексной функции в простых полюсах
.
Вторую теорему разложения можно сформулировать следующим образом.
Теорема 4 (3-я теорема разложения). Если – рациональная правильная несократимая дробь, , , , – простые или кратные полюсы знаменателя , то оригинал , соответствующий изображению , определяется формулой
.
Без доказательства.
Пример.
Найти оригинал
функции
.
Решение.
Функция
правильная рациональная несократимая
дробь. Корни знаменателя
есть
,
,
.
Применим 2-ю теорему разложения. Очевидно,
что
.
Тогда для имеем
,
для имеем
,
для имеем
.
В итоге получим
.