- •Лекция № 1
- •§1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •§2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 2
- •2.3. Однородные дифференциальные уравнения
- •2.4. Линейные уравнения. Уравнение я. Бернулли
- •Лекция № 3
- •2.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •§3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •3.1. Основные понятия
- •Лекция № 4
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •3.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •3.4. Линейные однородные ду второго порядка
- •3.5. Линейные однородные ду n-го порядка
- •Лекция № 5
- •§4. Интегрирование ду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •4.1. Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •4.2. Интегрирование лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •§5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •5.1. Структура общего решения лнду второго порядка
- •5.2. Метод вариации произвольных постоянных
- •Лекция № 6
- •5.3. Интегрирование лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •§6. Системы дифференциальных уравнений
- •6.1. Основные понятия
- •Лекция № 7
- •6.2. Интегрирование нормальных систем
- •6.3. Системы линейных ду с постоянными коэффициентами
Лекция № 4
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Пусть дано уравнение
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у'=р(х). Тогда у''=p'(x) и получаем ДУ первого порядка: p'=ƒ(х).
Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как уравнение (3.6) можно записать в виде dy'=ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y''=ƒ(х), получаем: y'= или y'=φ1(x)+с1. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим:
- общее решение данного уравнения. Если дано уравнение то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения:
Пример 3.1. Решить уравнение
Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим
Пусть дано уравнение
не содержащее явно искомой функции у.
Обозначим у'=р, где р=р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у''=p' и уравнение (3.7) принимает вид p'=ƒ(х;р). Пусть р=φ(х;с1) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на y', получаем ДУ: y'=φ(х;с1). Оно имеет вид (3.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (3.7) будет иметь вид
Частным случаем уравнения (3.7) является уравнение
не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: Получаем уравнение р'=ƒ(р) с разделяющимися переменными.
Если задано уравнение вида
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y(к)=р(х). Тогда у(к+1)=p'; ...; y(n)=p(n-k) и уравнение (3.9) примет вид F(x;p;p';... ;p(n-κ))=0. Частным случаем уравнения (3.9) является уравнение
или
С помощью замены y(n-1)=p(x), y(n)=p' это уравнение сводится к ДУ первого порядка.
Пример 3.2. Решить уравнение
Решение: Полагаем у'=р, где Тогда Это уравнение с разделяющимися переменными: Интегрируя, получим Возвращаясь к исходной переменной, получим y'=с1х,
- общее решение уравнения.
III. Рассмотрим уравнение
которое не содержит явно независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(y), зависящую от переменной у, полагая у'=р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р =р(у(х)):
т. е. Теперь уравнение (3.10) запишется в виде
Пусть р=φ(y;с1) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(y) на y', получаем y'=φ(y;с1) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (3.10):
Частным случаем уравнения (3.10) является ДУ
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у'=p(у),
Так же поступаем при решении уравнения F(у;у';у'';...;у(n))=0. Его порядок можно понизить на единицу, положив y'=р, где р=р(y).
По правилу дифференцирования сложной функции находим
Затем найдем
Замечание. Уравнение (3.8) также можно решать, применяя подстановку у'=р, где р=р(y).
Пример 3.3. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:
Решение: Уравнение имеет вид (3.10). Положив получаем: Так как р≠0 (иначе у'=0, что противоречит начальному условию у'=2), то - получили линейное ДУ первого порядка.
Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 2.4). Полагаем р=u•v. Имеем: u'v+uv'-uv+у-1=0, или u'v+u(v'-v)=1-у.
Подберем функцию v так, чтобы v'-v=0. Тогда Получаем:
Интегрируя это равенство, находим, что
u=-(1-у)•е-y+е-у+c1.
Следовательно,
р=uv=((-1+у)е-y+е-у+c1)•е+у, или р=c1ey+у. Заменяя р на у', получаем: у'=c1-ey+у. Подставляя y'=2 и у=2 в это равенство, находим с1: 2=c1e2+2, c1=0.
Имеем у'=у. Отсюда у=с2ех. Находим с2 из начальных условий: 2=с2е°, с2=2. Таким образом, у=2ex - частное решение данного ДУ.