2.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида

P(x)•dх+Q(y)•dy=0. (2.5)

В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое - от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

- его общий интеграл.

 Пример 2.2. Найти общий интеграл уравнения х•dx-у•dy=0.

Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. Поэтому Обозначим с/2=c_1. Тогда х²-y²=с - общий интеграл ДУ.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид

Особенность уравнения (2.6) в том, что коэффициенты при dx и dу представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая - только от у.

Уравнение (2.6) легко сводится к уравнению (2.5) путем почленного деления его на Q₁(у)•Р₂(х)≠0. Получаем:

- общий интеграл.

Замечания.

1. При проведении почленного деления ДУ на Q₁(y)•Р₂(х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q₁(у)•Р₂(х)=0 и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.

2. Уравнение y^'=ƒ₁(х)•ƒ₂(y) также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.

3. Уравнение y^'=ƒ(ах+by+с), где а,b,с - числа, путем замены ах+by+с=u сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем:

Данное уравнение принимает вид откуда следует

Интегрируя это уравнение и заменяя u на ах+by+с, получим общий интеграл исходного уравнения.

 Пример 2.3. Решить уравнение

(y+xy)•dx+(х-xy)•dy=0.

Решение: Преобразуем левую часть уравнения:

у•(1+х) • dx+х • (1-у)•dу=0.

 Оно имеет вид (2.6). Делим обе части уравнения на ху≠0:

Решением его является общий интеграл х+ln|x|+ln|y|-у=с, т. е. ln|ху|+х-у=с.

Здесь уравнение Q₁(у)•Р₂(х)=0 имеет вид ху=0. Его решения х=0, у=0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения х=0, у=0 являются особыми.

Пример 2.4. Решить уравнение удовлетворяющее условию у(4)=1

Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2 из п. 1.2. Имеем: Проинтегрировав, получим:

т. е. - общее решение ДУ.

Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х=4 и у=1 в общее решение уравнения: 1=c/4, с=4.

Получаем: - частное решение уравнения

Пример 2.5. Найти общее решение ДУ

Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из п. 1.2. Приведем данное уравнение к виду (2.5):

Интегрируем: Отсюда - общее решение уравнения.

Лекция № 2

2.3. Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Функция ƒ(x;y) называется однородной функцией N-го поpядкa (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λ ^N, т. е.

Например, функция ƒ(x;у)=х²-2ху есть однородная функция второго порядка, поскольку

Дифференциальное уравнение

У'=ƒ(х; у)         (2.7)

называется однородным, если функция ƒ(х;у) есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное ДУ (2.7) можно записать в виде

Если ƒ(x;у) - однородная функция нулевого порядка, то, по определению, Положив получаем:

однородное уравнение (2.8) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)

Действительно, подставив у=uх и y^'=u'x+u в уравнение (2.8), получаем уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

ДУ (2.10) будет однородным, если Р(х;у) и Q(x;у) - однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение (2.10) в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение

При интегрировании уравнений вида (2.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (2.8): подстановка (2.9) сразу преобразует уравнение (2.10) в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 2.6. Найти общий интеграл уравнения

Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х;у)=х²-у² и Q(x;у)=2ху - однородные функции второго порядка.

Положим у=u • х. Тогда dy=х • du+u • dx. Подставляем в исходное уравнение:

последнее - уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные

и интегрируем

Обозначим Тогда

Заменяя u на получаем: х²+у²=сх - общий интеграл исходного уравнения.

Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к виду (2.8):

Затем положить у=u • х, тогда y^'=u'x+u и т. д.

Уравнение вида где а, b, с, a₁, b₁, c₁ - числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные u и v, положив х=u+а, y=v+β, где а и β - числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.

 Пример 2.7. Найти общий интеграл уравнения

т. е.

Решение: Положив получаем:

Подберем α и β так, чтобы

Находим, что α=1, β=- 1. Заданное уравнение примет вид

и будет являться однородным. Его решение получается, как это было показано выше, при помощи подстановки v=tu. Заметим, что, решив его, следует заменить u и v соответственно на х-1 и y+1. В итоге получим (y-х+2)³=с(х+у) - общий интеграл данного уравнения.