§ 3. Парабола

1. Канонічне рівняння параболи. Параболою називається лінія на площині кожна точка якої рівновіддалена від фіксованої точки, що називається фокусом, і від фіксованої прямої, яка називається директрисою.

Відстань від фокуса параболи до директриси називається параметром параболи і позначається літерою , .

Виберемо прямокутну декартову систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус параболи перпендикулярно до її директриси і мала напрям від директриси до фокуса. Точку перетину осі абсцис з директрисою позначимо через D і за початок координат візьмемо середину відрізка , довжина якого збігається з параметром параболи . Тоді фокус параболи має координати , а директриса має рівняння

. (28)

Нехай точка належить параболі. Сполучимо точку з фокусом і довжину відрізка позначимо через . Очевидно, що як відстань між двома точками. Опустимо з точки перпендикуляр на директрису і довжину перпендикуляра позначимо через , яку можна знайти з нормального рівняння директриси за формулою . Згідно з означенням параболи , тобто

.

Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрата

,

звідки і дістаємо канонічне рівняння параболи

. (29)

2. Форма параболи. Якщо координати точки задовольняють рівняння параболи (29), то це рівняння задовольняють і координати точки . Отже, парабола (29) симетрична відносно осі . Вісь симетрії параболи називається віссю параболи.

Точка перетину параболи з її віссю називається вершиною параболи. Поклавши в рівнянні (29) , знайдемо . Отже, парабола проходить через початок координат і точка є її єдиною вершиною.

Оскільки і , то з рівняння (29) випливає, що , тобто парабола (29) розташована у правій півплощині.

З рівняння (29) також випливає, що при зростанні зростає і .

Враховуючи наведені властивості, можна стверджувати, що парабола (29) має вигляд, зображений на рисунку.

Для параболи

, , (30)

, тобто вона лежить у лівій півплощині.

Якщо точка належить параболі (30), то точка належить параболі (29). Іншими словами, парабола (30) є дзеркальним відображенням параболи (29) відносно осі .

Такими самими міркуваннями встановлюємо, що параболи і , , мають вісь віссю симетрії і кожна з них є дзеркальним відображенням іншої відносно осі .

3. Фокальний радіус параболи. Відстань від фокуса параболи до будь-якої її точки називається фокальним радіусом цієї точки.

Оскільки для параболи (29) і , то . З означення параболи , тому

. (31)

4. Дотична до параболи. Як і у випадку еліпса чи гіперболи, рівняння дотичної до параболи в її точці будемо шукати у вигляді

. (32)

Продиференціюємо рівняння (29)

і знайдемо

Зокрема,

.

Підставимо замість в рівняння (32):

.

Звідси,

.

Оскільки , то

,

або

. (33)

Це і є рівняння дотичної до параболи в точці .

5. Оптична властивість параболи. З довільної точки параболи (29) опустимо перпендикуляр на директрису, а також сполучимо точку з фокусом параболи. Крім того, проведемо дотичну до параболи в точці – пряму . Виявляється, що дотична є бісектрисою кута . Для доведення цього факту знайдемо спочатку координати точки – точки перетину дотичної з віссю – як розв’язок відповідної системи рівнянь

З

відси, , , тобто точка має координати .

У трикутнику сторона як фокальний радіус, а сторона , тобто трикутник рівнобедрений. Звідси, . Але як внутрішні різносторонні кути, тому .

Доведена властивість має цікаву фізичну інтерпретацію: якщо у фокусі параболічного дзеркала помістити точкове джерело світла, то відбиті від цього дзеркала промені утворять жмуток паралельних променів. Ця властивість використовується при виготовленні прожекторів, ліхтариків, сателітарних антен, опріснювальних установок і т.п.

6. Про характеристичну властивість. Як для еліпса, так і для гіперболи було встановлено характеристичну властивість: відношення відстані точки еліпса (гіперболи) від фокуса до відстані цієї точки від відповідної йому директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса (гіперболи). Іншими словами, якщо на площині зафіксувати яку-небудь точку (фокус), яку-небудь пряму, що не проходить через цю точку (директрису), та задати число , то ці три елементи при однозначно визначають еліпс, а при – гіперболу. Звідси, характеристичну властивість еліпса і гіперболи можна було б взяти за означення цих ліній. Неважко збагнути, що саме ця властивість вибрана за означення параболи при , оскільки рівність рівносильна рівності . Таким чином, можна вважати, що ексцентриситет параболи дорівнює одиниці.