3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли.

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнит норму.

2. На сборку попадают детали о трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

3. Имеется десять одинаковых урн, в девяти из которых находится по два черных и два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен наудачу шар белого цвета. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны, содержащей пять белых шаров?

4. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя восемь облигаций, выиграет по шести из них?

5. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, не более трех девочек, если вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми.

6. В телевизионном ателье имеется четыре кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.

7. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки – заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик берет наугад деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

8. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

9. В цехе шесть моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено четыре мотора.

10. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз.

11. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых в 5 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн в вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

12. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике 12 ламп, из них одна нестандартная, во втором – 10 ламп, из них одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй, найти вероятность того, что наугад извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

13. 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

14. Монета подбрасывается восемь раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх шесть раз?

15. В мастерской 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

16. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка без дефекта.

17. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах, относятся как 3:2:6. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

18. Для участия в спортивных соревнованиях выделены студенты: с 1-го курса – четыре, со 2-го – шесть, с 3-го – пять. Вероятность того, что студент 1-го курса попадет в команду равна 0,9; 2-го – 0,7; 3-го – 0,8. Найти вероятность того, что студент, попавший в команду, учится на 1 курсе.

19. В классе 30 учеников: 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди отвечавших – было два мальчика в одна девочка?

20. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее трех раз.