
- •Збірник вправ і задач з навчальної дисципліни “Основи початкового курсу математики”
- •Розділ 1. Математичні поняття, речення і доведення
- •1.1. Математичні поняття. Обсяг і зміст поняття. Означення понять, вимоги до означення понять
- •1.2. Висловлення, висловлюванні форми
- •1.3. Відношення слідування і рівносильності математичних речень. Необхідні і достатні умови
- •1.4. Структура теореми. Види теорем
- •1.5. Способи розв’язування текстових задач
- •Розділ 2. Множини і операції над ними
- •2.1. Поняття множини, способи задання множин. Відношення між множинами
- •2.2. Перетин та об’єднання множин, доповнення підмножини
- •2.3. Декартовий добуток множин
- •2.4. Зображення декартового добутку двох числових множин
- •2.5. Комбінаторні задачі
- •Розділ 3. Відповідності і відношення
- •3.1. Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини. Способи задання бінарних відношень
- •3.2. Відношення еквівалентності
- •3.3. Відношення порядку
- •3.4. Поняття відповідності
- •3.5. Взаємно однозначні відповідності
- •Розділ 4. Поняття числа і дій над натуральними числами
- •4.1. Поняття натурального числа і числа нуль
- •4.2. Теоретико-множинний зміст суми і різниці натуральних чисел
- •4.3. Теоретико-множинний зміст добутку цілих невід’ємних чисел
- •4.4. Відношення «більше в», «менше в»
- •4.5. Ділення з остачею
- •Розділ 5. Запис чисел і алгоритм дій над ними
- •5.1. Додавання багатоцифрових чисел
- •5.2. Віднімання багатоцифрових чисел
- •5.3. Множення багатоцифрових чисел
- •5.4. Ділення багатоцифрових чисел
- •Розділ 6. Подільність цілих невід’ємних чисел
- •6.1. Поняття відношення подільності, його властивості
- •6.2. Подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел
- •6.3. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •6.4. Ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 9
- •6.5. Алгоритм Евкліда
- •Розділ 7. Додатні раціональні числа
- •7.1. Поняття дробу. Поняття додатного раціонального числа
- •7.2. Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів
- •7.3. Додавання і віднімання раціональних чисел
- •7.4. Множення і ділення додатних раціональних чисел
- •7.5. Нескінченні десяткові періодичні дроби
- •Розділ 8. Дійсні числа
- •8.1. Поняття додатного дійсного числа
- •8.2. Дії над дійсними числами
- •8.3. Від’ємні числа
- •Розділ 9. Рівняння, нерівності, функції
- •9.1. Поняття про рівняння. Рівносильність рівнянь з однією змінною
- •9.2. Поняття нерівності. Рівносильність нерівностей
- •9.3. Поняття про функцію
- •9.4. Лінійна функція
- •9.5. Пряма і обернена пропорційності
- •Розділ 10. Поняття величини, її вимірювання
- •10.1. Поняття величини та поняття вимірювання величин
- •10.2. Довжина відрізка і його вимірювання
- •10.3. Площа фігури і її вимірювання
- •10.4. Проміжки часу і їх вимірювання
- •Література
1.4. Структура теореми. Види теорем
1. Виділіть умови і висновки в кожній з теорем:
1) якщо в трикутнику всі сторони рівні, то і всі кути рівні;
2) сума двох парних чисел – парне число;
3) якщо число кратне 3 і 4, то воно кратне 12;
4) для того, щоб різниця ділилась на дане число, достатньо, щоб зменшуване і від’ємник ділилось на це число;
5) для того, щоб різниця натуральних чисел а і b була натуральним числом, необхідно і достатньо, щоб а > b.
2. Дана теорема: «Для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно, щоб його протилежні сторони були рівні». Виділіть в теоремі умову і висновок та переформулюйте її, вживаючи слово:
1) слідує; 2) будь-який; 3) достатньо.
3. Які з теорем рівносильні теоремі «У будь-якому прямокутнику діагоналі рівні»:
1) якщо чотирикутник – прямокутник, то його діагоналі рівні;
2) якщо діагоналі в чотирикутнику не рівні, то цей чотирикутник не є прямокутником;
3) якщо діагоналі в чотирикутнику рівні, то цей чотирикутник – прямокутник;
4) для того, щоб діагоналі в чотирикутнику були рівні, достатньо, щоб цей чотирикутник був прямокутником?
4. Чи є наступні пари теорем, обернені одна одній:
1) Якщо чотирикутник – квадрат, то в ньому є прямий кут. Для того, щоб чотирикутник був квадратом, достатньо, щоб в ньому був прямий кут;
2) Для того, щоб число було натуральним, необхідно, щоб воно було додатнім. Якщо число натуральне, то воно додатне?
5. Сформулюйте обернену теорему, протилежну даній, а також обернену протилежній; встановіть, які з них хибні:
1) якщо запис числа закінчується нулем, то число ділиться на 5;
2) у ромбі діагоналі взаємно перпендикулярні.
6. Сформулюйте теорему, обернену даній, і встановіть, чи можливо дану теорему і її обернену об’єднати в одну:
1) якщо кути суміжні, то їх сума дорівнює 180°;
2) якщо два кути трикутника рівні, то і сторони, що лежать проти них, теж рівні.
1.5. Способи розв’язування текстових задач
1. У наступних задачах виділіть умову і вимогу:
1) Два автобуси виїхали одночасно з міста у дитячий пансіонат, відстань до якого 72 кілометри. Перший автобус прибув у пансіонат на 15 хвилин раніше другого. З якою швидкістю їхав кожен автобус, якщо швидкість одного з них на 4 км/год більше швидкості іншого?
2) Знайдіть сторони прямокутника, якщо відомо, що одна з них на 14 см більша за другу, а його діагональ 34 см.
2. Розв’яжіть двома арифметичними способами наступні задачі:
1) Під час друкування книги передбачалося розмістити на сторінці 28 рядків, по 40 букв в кожному рядку. Проте за розмірами паперу виявилося доцільним розмістити на кожній сторінці 35 рядків. Скільки букв необхідно розмістити у кожному рядку, щоб загальна кількість сторінок у книжці залишилася без змін?
2) Мотоцикліст, рухаючись зі швидкістю 40 км/год, проїхав деяку відстань за 12 хвилин. За скільки хвилин проїде цей шлях велосипедист, рухаючись зі швидкістю 15 км/год?
3. Розв’яжіть задачу різними алгебраїчними способами: з 560 листків паперу зробили 60 зошитів двох видів, витративши на зошити одного виду по 8 листків, а на зошити іншого виду по 12 листків. Скільки зробили зошитів кожного виду окремо? Чи можна розв’язати цю задачу арифметичним способом?
4. Розв’яжіть наступні задачі, зробивши спочатку рисунок:
1) Один шматок дроту на 54 м довший іншого. Після того, як від кожного шматка відрізали по 12 м, другий шматок виявився в 4 рази коротший першого. Знайдіть початкову довжину кожного шматка дроту.
2) На поличці стоять
тарілки. Спочатку взяли
частину всіх тарілок, а потім
тарілок, які залишились. Після цього на
поличці залишилося 9 тарілок. Скільки
тарілок було на поличці?
5. Розв’яжіть
задачу з використанням графічної схеми:
Два хлопчика зібрали 96 грибів.
кількості грибів, зібраних першим
хлопчиком, дорівнюють
кількості грибів, зібраних другим
хлопчиком. Скільки грибів зібрав кожен
хлопчик?