
- •Збірник вправ і задач з навчальної дисципліни “Основи початкового курсу математики”
- •Розділ 1. Математичні поняття, речення і доведення
- •1.1. Математичні поняття. Обсяг і зміст поняття. Означення понять, вимоги до означення понять
- •1.2. Висловлення, висловлюванні форми
- •1.3. Відношення слідування і рівносильності математичних речень. Необхідні і достатні умови
- •1.4. Структура теореми. Види теорем
- •1.5. Способи розв’язування текстових задач
- •Розділ 2. Множини і операції над ними
- •2.1. Поняття множини, способи задання множин. Відношення між множинами
- •2.2. Перетин та об’єднання множин, доповнення підмножини
- •2.3. Декартовий добуток множин
- •2.4. Зображення декартового добутку двох числових множин
- •2.5. Комбінаторні задачі
- •Розділ 3. Відповідності і відношення
- •3.1. Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини. Способи задання бінарних відношень
- •3.2. Відношення еквівалентності
- •3.3. Відношення порядку
- •3.4. Поняття відповідності
- •3.5. Взаємно однозначні відповідності
- •Розділ 4. Поняття числа і дій над натуральними числами
- •4.1. Поняття натурального числа і числа нуль
- •4.2. Теоретико-множинний зміст суми і різниці натуральних чисел
- •4.3. Теоретико-множинний зміст добутку цілих невід’ємних чисел
- •4.4. Відношення «більше в», «менше в»
- •4.5. Ділення з остачею
- •Розділ 5. Запис чисел і алгоритм дій над ними
- •5.1. Додавання багатоцифрових чисел
- •5.2. Віднімання багатоцифрових чисел
- •5.3. Множення багатоцифрових чисел
- •5.4. Ділення багатоцифрових чисел
- •Розділ 6. Подільність цілих невід’ємних чисел
- •6.1. Поняття відношення подільності, його властивості
- •6.2. Подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел
- •6.3. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •6.4. Ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 9
- •6.5. Алгоритм Евкліда
- •Розділ 7. Додатні раціональні числа
- •7.1. Поняття дробу. Поняття додатного раціонального числа
- •7.2. Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів
- •7.3. Додавання і віднімання раціональних чисел
- •7.4. Множення і ділення додатних раціональних чисел
- •7.5. Нескінченні десяткові періодичні дроби
- •Розділ 8. Дійсні числа
- •8.1. Поняття додатного дійсного числа
- •8.2. Дії над дійсними числами
- •8.3. Від’ємні числа
- •Розділ 9. Рівняння, нерівності, функції
- •9.1. Поняття про рівняння. Рівносильність рівнянь з однією змінною
- •9.2. Поняття нерівності. Рівносильність нерівностей
- •9.3. Поняття про функцію
- •9.4. Лінійна функція
- •9.5. Пряма і обернена пропорційності
- •Розділ 10. Поняття величини, її вимірювання
- •10.1. Поняття величини та поняття вимірювання величин
- •10.2. Довжина відрізка і його вимірювання
- •10.3. Площа фігури і її вимірювання
- •10.4. Проміжки часу і їх вимірювання
- •Література
Розділ 6. Подільність цілих невід’ємних чисел
6.1. Поняття відношення подільності, його властивості
1. Поясніть, чому число 15 є: 1) дільником числа 60; 2) кратне числа 3.
2. Які з чисел 2, 3, 5 є дільниками числа: 1) 230; 2) 225; 3) 450?
3. Які з чисел 804, 75, 144, 150 кратні: 1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 9?
4. Назвіть п’ять чисел, кратних 3. За якою формулою можна отримати інші числа, кратні 3?
5. Запишіть множину дільників числа: а) 24; б) 38; в) 13; г) 1.
6. Доведіть, що множина дільників будь-якого натурального числа а є скінченною множиною.
7. Множина цілих невід’ємних чисел у залежності від остачі при діленні на 2 розбивається на 2 класи. З яких чисел складається кожен з цих класів? Напишіть по два представника кожного класу. За якою формулою можна отримати парні числа? А за якою непарні?
8. Поясніть, чому число 19 є простим, а число 12 складеним?
9. При яких значеннях q значення виразу 11q є простим числом?
10. Перерахуйте всі прості дільники числа 60.
11. Серед наступних висловлювань вкажіть істинні:
1) Множина натуральних чисел розбивається на клас простих чисел і клас складених.
2) Множина натуральних чисел складається з простих чисел, складених чисел і числа 1.
12. Побудуйте граф відношення «число х – дільник числа y» на множині X = {12, 9, 6, 3, 18}. Які особливості цього графа? Чим від нього буде відрізнятися граф відношення «х кратне y», якщо відношення задано на тій же ж множині?
13.
Відомо, що
і
.
Який висновок можна зробити про
подільність числа а
на 2?
14. Які остачі можуть бути отримані при діленні а на 3? Який вигляд чисел, які на 3 не діляться?
15.
А – множина цілих невід’ємних чисел
виду 3q, В – множина цілих невід’ємних
чисел виду 3q+1, С – множина цілих
невід’ємних чисел виду 3q+2. Чи можна
стверджувати, що
?
16.
З множини цілих невід’ємних чисел
виділили підмножину чисел, кратних 7.
Розбийте будь-яким чином на класи
підмножину чисел, не кратних 7. Скільки
класів розбиття множини
отримали?
6.2. Подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел
1.
У доведенні теореми про подільність
суми є таке перетворення:
.
Поясніть: 1) на основі якого теоретичного
факту є можливим винесення числа n
за дужки; 2) чому сума
є цілим невід’ємним числом.
2. Доведіть теорему про подільність суми для:
1) трьох доданків; 2) m доданків.
3. Доведіть теорему про подільність різниці цілих невід’ємних чисел на натуральне число.
4.
Доведіть, що: 1) якщо
і
,
то
;
2) якщо
і
,
то
.
5.
Відомо, що а не кратне n і b не кратне n.
Чи правильно, що: 1)
не кратне n; 2)
не кратне n?
6. Не виконуючи додавання, встановіть, чи ділиться значення виразу на 3: 1) 180+144; 2) 720+308; 3) 103+370.
7. Не виконуючи віднімання, вкажіть вирази, значення яких ділиться на 5: 1) 535-413; 2) 1215-470; 3) 20 147-1 307.
8.
Не виконуючи обчислень, встановіть, чи
буде добуток
ділиться на 5, 8, 9, 10, 18, 45.
9. Якщо до двоцифрового числа додати число, записане тими ж цифрами, але у зворотному порядку, то сума буде кратна 11. Доведіть це.
10. Доведіть чи спростуйте наступні висловлення:
1) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була парним числом, необхідно, щоб кожний доданок був парним числом;
2) З того, що сума двох натуральних чисел парна, слідує, що обидва доданки також парні;
3) З того, що числа a і b непарні, слідує, що їх сума - число парне;
4) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була непарним числом, достатньо, щоб одне з них було парним, а інше – непарним.
11. Відомо, що а – парне натуральне число, b – непарне і a > b. Яким числом буде різниця чисел a і b? Висловлене припущення доведіть.
12. Чи кратна числу 4 сума двох послідовних: 1) парних чисел; 2) непарних чисел?
13. Доведіть способом повної індукції, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3.
14. Доведіть, що квадрат непарного натурального числа при діленні на 8 дає остачу 1.
15. Доведіть, що сума квадратів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 4 дає остачу 1.
16. Доведіть, що добуток двох послідовних парних чисел ділиться на 8.