Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Расчет ферм в матричной форме.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
337.92 Кб
Скачать

Формирование уравнений равновесия фермы

1. Степени свободы системы и их нумерация

Каждый узел фермы имеет две поступательные степени свободы. Система, имеющая узлов, будет, таким образом, иметь 2np степеней свободы (от английского number of points).

Для каждого узла системы пронумеруем степени свободы (или компоненты перемещений) в следующем порядке: первым будем считать перемещение по оси , вторым – по оси . Степени свободы системы в целом будем нумеровать в порядке возрастания номеров узлов. Тогда первые 2 степени свободы относятся к первому узлу, следующие 2 (с третьей по четвертую) – ко второму и т.д.

Каждой степени свободы узла поставим в соответствие уравнения равновесия и , последовательность записи которых совпадает с нумерацией степеней свободы. Очевидно, что будем иметь 2np уравнений равновесия. Число всех степеней свободы обозначим . Здесь система координат X0Yглобальная, т.е. одна для всей конструкции. Кроме глобальных осей существуют локальные оси - свои для каждого стержня фермы. Для определения направления локальных осей необходимо пронумеровать узлы фермы и для каждого стержня принять «начальный» (i) и «конечный» (j) узел. Локальная ось xk каждого стержня направлена от «начального» узла к «конечному», имеет индекс, соответствующий номеру стержня, и обозначается с надчерком (рис.1).

2. Вектор внешних узловых сил

Е

y

сли по направлению –й степени свободы действует внешняя сила, то она войдет в –е уравнение равновесия. Причем сила будет иметь положительный знак, если ее направление совпадает с осью или . Если в направлении каждой степени свободы приложена соответствующая узловая сила , то вектор узловых сил имеет вид

где – внешние узловые усилия в направлении первой, второй и т.д. степеней свободы.

j

xk

(1)

i

k

α

Рис. 1

x

3. Матрица равновесия системы

Составляя уравнения равновесия узлов в последовательности, соответствующей номерам степеней свободы, получим систему уравнений равновесия конструкции в целом. Силы, действующие на узел со стороны элементов, равны по величине и противоположны по знаку узловым силам, действующим на элемент. Неизвестными в уравнениях равновесия являются усилия в элементах и реакции в связях, а коэффициентами при неизвестных – компоненты матриц равновесия элементов и опорных связей. Свободными членами будут узловые внешние силы. Таким образом, система

статических уравнений имеет вид: .

(2)

Матрица равновесия системы имеет блочную структуру. Деление на блоки по горизонтали связано с тем, что для каждого узла плоской системы можно составить два уравнения равновесия. Следовательно, каждому узлу соответствует блок из двух строк. Деление на блоки по вертикали связано с элементами. Число столбцов равно числу элементов фермы плюс опорные связи. Каждый стержневой элемент соединяет два узла, поэтому усилие в нем входит в уравнения равновесия этих узлов.

Блок 1: начальный узел

Блок 2: конечный узел

Для шарнирно–стержневой системы матрица равновесия k-го элемента имеет вид:

.

(3)

Матрица опорной связи имеет всего две строки:

(4)

Опорный узел

(4)

З десь α – угол наклона k –го стержня (от «начального» узла к «конечному) к оси x, либо наклон опорной связи. По сути это угол наклона между локальной осью x каждого стержня и глобальной осью x (рис.1). Значения направляющих косинусов элемента, соединяющего узлы i и j, удобно определять через координаты его узлов по формулам:

; , где

(5)

xi yi xj yj - координаты «начального» (i -го) и «конечного» (j -го) узлов в глобальной системе координат. Матрица равновесия системы состоит из матриц равновесия элементов Учитывая блочную структуру матриц, можно записать

,

(6)

где – общее число элементов и опорных связей.

В статически определимых системах число неизвестных усилий равно числу уравнений равновесия, поэтому матрица - квадратная. Если конструкция неизменяемая, то матрица равновесия невырождена и имеет обратную. Вектор усилий можно определить из решения системы уравнений (2). С помощью обратной матрицы

решение можно записать:

(7)

Решаем систему уравнений равновесия рамы с помощью обращения матрицы и определяем компоненты внутренних усилий

Пример. Для фермы, изображенной на рис. 2, получить матрицу равновесия, определить усилия в стержнях и опорные реакции.

Основные этапы расчета следующие:

Нумеруем узлы фермы (с 1 по 5). Нумеруем стержни фермы и опорные связи ( = 1 … 10). За начальный узел i каждого стержня возьмем узел с наименьшим порядковым номером. Конечный узел - j. Так, для стержня 6 начальный узел – 2, конечный – 4.

Определяем длину стержней, направляющие синусы и косинусы по выражениям (5)

СТЕРЖНИ

ОПОРЫ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

4

0

8

4

4

12

12

xj

12

8

16

0

8

8

16

l x

8

8

8

-4

4

-4

4

yi

3

0

0

3

3

3

3

yj

3

0

0

0

0

0

0

l y

0

0

0

-3

-3

-3

-3

l

8

8

8

5

5

5

5

Cos α

1

1

1

-0,8

0,8

-0,8

0,8

1

0

0

Sin α

0

0

0

-0,6

-0,6

-0,6

-0,6

0

1

1

Н а примере стержней 1 (1-2) и 4 (1-3) покажем формирование матрицы равновесия в редуцируемой (сжатой) форме. Локальные оси для этих стержней (x1 и x4) показаны пунктиром.

Блок 1: узел 1

Блок 2: узел 2

Блок 1: узел 1

Блок 2: узел 3

М

Блок 1: узел 5

атрица равновесия опорной связи в пятом узле:

Матрица равновесия для всей фермы приведена в табл. 1

Таблица 1. Матрица равновесия фермы и вектор внешних узловых сил

Номера узлов

Номера уравнений

Номера стержней

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

1

1

-1

0,8

-0,8

2

0

0,6

0,6

-100

2

3

1

0,8

-0,8

4

0

0,6

0,6

-100

3

5

-1

-0,8

-1

0

6

0

-0,6

0

-1

4

7

1

-1

0,8

-0,8

8

0

0

-0,6

-0,6

5

9

1

0,8

0

10

0

-0,6

-1

Строки табл. 1 попарно соответствуют узлам, а столбцы – стержням. Для каждого узла 2 строки: первая - соответствует уравнению , а вторая - . Незаполненные элементы таблицы соответствуют нулевым элементам матрицы и вектора

Используя обратную матрицу , определим усилия в стержнях фермы

,

-0,5

0,666667

0,5

0,666667

0

0

0

1,333333

0

0

0

0,75

-1

0,75

-0,33333

0

0

1

-0,66667

1

0

-100

0,25

-0,33333

0,25

-1

0

0

0

-0,66667

1

0

0

0,3125

1,25

0,3125

0,416667

0

0

0

0,833333

0

0

-100

-0,3125

0,416667

-0,3125

-0,41667

0

0

0

-0,83333

0

0

0

0,3125

-0,41667

0,3125

0,416667

0

0

0

-0,83333

0

0

0

-0,3125

0,416667

-0,3125

1,25

0

0

0

0,833333

0

0

0

-1

0

-1

0

-1

0

-1

0

-1

0

0

-0,1875

-0,75

-0,1875

-0,25

0

-1

0

-0,5

0

0

0

0,1875

-0,25

0,1875

-0,75

0

0

0

-0,5

0

-1

0

УСИЛИЯ

-133,333

1

133,3333

2

133,3333

3

=

-166,667

4

0

5

0

6

-166,667

7

0

8

100

9

100

10

5

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.