svetlosanov_v_a_osnovy_metodologii_modelirovaniya_prirodnykh

причину и действие односторонне. Мы говорим, что действие А вызывает результат В. Но такое понимание не полно. Результат В представляет новое состояние системы, изменения которой в будущем повлияет на действие А».

Упрощенная блок – схема всей мировой системы представлена на рис. 1.8.

Рис. 1.8 Упрощенная блок – схема модели Форрестера

Цифры в прямоугольниках обозначают следующие блоки модели: 1 – рождаемость, 2 – смертность, 3 – плотность населения, 4 – темпы потребления ресурсов, 5 – темпы добычи ресурсов, 6 – оставшаяся часть ресурсов, 7 – фонды в сельском хозяйстве, 8 – генерация фондов, 9 – относительная величина фондов, 10 – износ фондов, 11 – поглощение загрязнения, 12 – образование загрязнения, 13 – относительное загрязнение.

Взаимодействие представленных на блок – схеме компонентов описано системой дифференциальных уравнений.

Методика составления уравнений по Форрестеру следующая. Все уравнения в модели Д. Форрестера дифференциальные и составлены по одному принципу. Слева написана производная по времени каждого компонента, справа два члена. Один со знаком плюс, другой со знаком минус. Согласно системно – динамическому методу Д. Форрестера

- 51 -

изменение во времени каждого из пяти указанных выше компонентов является результатом действия двух составляющих. Одна из них способствует увеличению производной компонента (т.е. росту компонента), другая способствует уменьшению той же производной компонента. Результирующее изменение зависит от той составляющей, которая по абсолютному значению больше. Если больше первая составляющая, то происходит рост, если больше вторая, то происходит убывание переменной. Если первая и вторая составляющие по абсолютному значению равны, то компонент не изменяется во времени. Такое представление было использовано для 4-х компонентов рассмотренной Д. Форрестером мировой системы. Исключение составил (один из пяти) компонент под названием «Ресурсы». Последние (т.е. ресурсы) считались невозобновимыми и, следовательно, отсутствовал первый член уравнения.

Теперь посмотрим на уравнениях Форрестера для описания мировой динамической системы как высказанные принципы претворены в жизнь. Система пяти уравнений, описывающих по Д. Форрестеру динамические процессы на глобальном уровне, выглядит следующим образом:

Здесь P – численность населения Земного шара в исследуемый момент времени t ,

B – усредненный по возрастам темп рождаемости, нелинейно зависящий от многих факторов,

D – усредненный по возрастам темп смертности, нелинейно зависящий от многих факторов

Здесь K – капитал (основные фонды). За единицу капитала Д. Форрестер принял условную величину – усредненный капитал, приходящийся на одного жителя Земли.

- 52 -

Здесь P – численность населения Земли в момент времени t,

ck - нормальная средняя скорость генерации

капиталовложений на душу населения в начальный момент времени,

K c - унитарный множитель, характеризующий

возможности населения вкладывать собственные средства в расширение производства.

капитала от уровня питания (зависимость представлена как табличная функция), а X q - зависимость сельскохозяйственного капитала от «качества» жизни, который будет определен позднее, T2 - константа, численное значение которой находится по определенному правилу.

X1 - износ доли сельскохозяйственных фондов,

X1 = X / Tx , где Tx - постоянная износа, определяющая

среднее время жизни основных фондов в сельском хозяйстве (в модели принята в расчет величина Tx = 15 ).

Где Z – общее загрязнение окружающей среды.

- 53 -

(усредненная) средняя нормальная скорость загрязнения на одного человека, Z k - функция зависимости загрязнения от

роста удельного капитала (зависимость задается в табличном виде).

загрязнения окружающей среды, Tz - усредненное по разным

загрязнителям время естественного рассасывания загрязнения (функция задана таблично) в зависимости от уровня

загрязнения. Величина Tz нелинейно возрастает с увеличением уровня загрязнения.

здесь R - добыча невозобновимых ресурсов, Rc -

нелинейная функция зависимости темпов добычи ресурсов от материального уровня жизни.

Легко видеть, что, действительно, каждое дифференциальное уравнение (4 из 5) представлено тремя членами: слева производная компонента, справа два члена со знаком плюс и минус. Для компонента, характеризующего ресурсы, справа остается только член со знаком минус.

Интегрирование описанных выше уравнений не представляло бы никаких трудностей, если бы не было одной тонкости в написанных уравнениях. Дело в том, что написанные справа члены (для ресурсного компонента только один член) являются сложными нелинейными функциями, зависящими от многих параметров, которые в свою очередь являются переменными во времени.

Наша задача заключается в рассмотрении и понимании методики составления и решения уравнений. Для понимания методологических аспектов системной динамики Д. Форрестера

- 54 -

рассмотрим более подробно составление и использование уравнений только одного блока «Население».

Компонент «Население» - это один из пяти переменных уровней моделируемой системы. Численность населения в любой момент времени вычисляется как численность населения в предшествующий момент времени, плюс численность населения, которое добавляется за счет рождаемости в рассматриваемый период, минус численность населения, убывающее за счет смертности. Чтобы рассчитать численность населения в какой – то момент времени, надо задать численность населения в момент времени, когда начинают делать расчет. Начальные значения должны быть заданы для каждой уровневой переменной системы. В мировой модели Форрестера начальные значения берутся для 1900 г. Численность населения в 1900 г. составляла 1.65 млрд человек.

Рис. 1.9. Блок – схема компонента «Население».

На рис. 1.9 представлена самая упрощенная структура блока «Население». Эта структура согласуется с уравнением (1.9), которое утверждает, что изменение численности населения планеты определяется темпами рождаемости и смертности. На рис. 1.9 видны две петли, определяющие численность населения. Увеличение численности населения Земного шара полностью определяется рождаемостью. На рис.

1.9этот процесс характеризуется верхней петлей (со знаком + ).

-55 -

Смертность населения способствует уменьшению численности населения. На рис. 1.9 этот процесс характеризуется нижней петлей (со знаком - ).

Для лучшего понимания динамического процесса, прежде всего, следует разобраться в кибернетических понятиях положительной и отрицательной обратной связи.

Процесс рождаемости (на рис.1.9 – это положительная обратная связь), вызывает рост населения. Но чем больше численность населения, тем выше темп рождаемости (BR). Т.е., увеличение одной величины приводит к увеличению другой величины. В этом и заключается суть положительной обратной связи. За счет такого взаимного увеличения численность населения должна экспоненциально возрастать во времени. Однако известно, что никакой физический процесс не может расти бесконечно. В любой природной системе возникают силы, направленные против процесса возрастания. В данном случае такой противонаправленной силой является смертность населения. На рис. 1.9 петля смертности изображена как отрицательная обратная связь. Население растет, но и количество жителей, умерших в течение года, также растет. Увеличение численности населения Р (за счет обратной связи) увеличивает темп смертности (DR), который в свою очередь уменьшает численность населения Р.

Если бы не было процесса рождений, то петля отрицательной обратной связи привела бы численность населения к нулю (рис. 1.6). Однако, обе петли вместе могут описывать и экспоненциальный рост и уменьшение до нуля в зависимости от того, какой эффект сильнее (рис. 1.5, рис. 1.6). Одним из возможных вариантов является равновесное состояние (рис. 1.4), что означает, что численность населения не будет изменяться во времени (т.е. рождаемость равна смертности).

Нормальный темп рождаемости (BRN) и нормальный темп смертности (DRN) определяются отношениями количества людей, родившихся и умерших за год к общей численности населения. Они определяют общий темп изменения численности населения. Коэффициенты BRN и DRN соответствуют терминам «коэффициент рождаемости» и

- 56 -

«коэффициент смертности». На рис. 1.9 введены коэффициенты BR и DR, определенные как «темп рождаемости» и «темп смертности». Эти коэффициенты связаны с соответствующими коэффициентами BRN и DRN следующими соотношениями:

BR=BRN*N и DR=DRN*N, (1.49)

где N - численность населения в текущий момент времени.

Разность этих величин характеризует чистый прирост населения.

Коэффициенты BRN и DRN названы Форрестером «нормальными», так как они соответствуют стандартной системе мировых условий, когда величины уровня питания, материального уровня жизни, плотности и загрязнения соответствуют своим «стандартным» (т.е. нормальным) значениям. Однако при отклонении численных значений от «стандартных» может произойти либо увеличение, либо уменьшение темпов рождаемости и смертности по сравнению с их нормальными значениями.

Реальный темп рождаемости зависит от многих переменных. Сюда входят как пространственные, так и возрастные характеристики. Не следует забывать, что рассматриваются процессы на мировом уровне. Общеизвестно, что в разных странах рождаемость разная. Кроме того, темп рождаемости сильно зависит от возраста женщин: у женщин старше 35-40 лет уменьшается число рождений детей по сравнению с возрастной характеристикой 16-25 лет. Следует подчеркнуть, что модель Форрестера является упрощенной (например, отсутствует демографический блок) и «точечной» (в модели нет разделения мира на регионы). Поэтому коэффициенты модели B и D являются весьма усредненными как по территории, так и по возрастам. Это, конечно, является слабым местом в модели. (В некоторых моделях других авторов этот недостаток был устранен). Тем не менее, в модели Форрестера коэффициенты, характеризующие рождаемость и смертность – это сложные функции, которые зависят от коэффициентов и численных значений в других частях мировой модели, в частности, от фондов и природных ресурсов, которые влияют на материальный уровень жизни, от плотности

- 57 -

населения, обеспеченности пищей и уровня загрязнения. Чтобы учесть взаимосвязь перечисленных выше коэффициентов, в модель введены «множители», которые изменяют базисный темп рождаемости. При начальных условиях, которые принимаются за отправную точку, все множители равны 1, т.е. они не меняют базисный темп рождаемости. В модели Форрестера вводятся таблично (и графически) зависимости B и D от перечисленных выше переменных. Численные значения этих переменных создают так называемые «множители». Если в рассматриваемый момент времени создавшиеся в мире условия лучше, чем те, которые определены как «нормальные», то множитель должен быть больше 1. И, соответственно, наоборот.

Как уже говорилось, Д. Форрестер за «нормальные» коэффициенты принял коэффициенты, соответствующие 1970 году. Соответственно, все начальные условия этого года в модель вводились как «нормальные».

Итак, в модели Д. Форрестера введено (в виде гипотезы), что величины B,D являются сложными функциями многих переменных. Вот как они выглядят математически:

B = P BRN Bc B p B f Bz

(1.50)

D = P DRN Dc D p D f Dz

где:

Bc , Dc - коэффициенты, связывающие рождаемость и смертность соответственно с материальным уровнем населения, B p , D p - коэффициенты, связывающие рождаемость и

смертность соответственно с плотностью населения,

B f , D f - коэффициенты, связывающие рождаемость и смертность соответственно с уровнем питания населения,

Bz , Dz - коэффициенты, связывающие рождаемость и

смертность соответственно с уровнем мирового загрязнения. Т.е., влияние реальных условий в мировой модели

учтено с помощью «множителей», которые изменяют «нормальные» темпы в зависимости от того, насколько благоприятно (или неблагоприятно) их воздействие в данный

- 58 -

конкретный момент времени. Так называемые «множители» в модели Форрестера задаются в виде графиков. Теперь надо осмыслить, как делаются количественные расчеты, т.е. как интегрируются написанные уравнения. При интегрировании программа в каждый момент времени должна рассчитать значения B и D с учетом всех «множителей». Соответственно, в модели будет либо рост населения, либо его стабилизация, либо уменьшение.

Проанализируем поэтапно (по Форрестеру), как коэффициенты B и D зависят от других параметров (плотности населения, обеспеченность пищей, загрязнения, наличия природных ресурсов, материального уровня жизни).

Рис. 1.10. Упрощенная блок – схема влияния плотности населения на его рост

Две петли отрицательных обратных связей на рис. 1.10 показывают связь численности населения с величиной максимально допустимой плотности. Стрелки на рис. 1.10 показывают: при росте численности населения Р увеличивается его относительная плотность CR, множитель зависимости темпа рождаемости от плотности уменьшается, темп рождаемости BR понижается и численность населения Р уменьшается. Соответственно, для нижней петли: при увеличении численности населения Р возрастает его относительная плотность CR, множитель зависимости темпа смертности от плотности населения увеличивается, темп смертности DR растет, в результате численность населения Р уменьшается. Таким образом, в системе (численность

- 59 -

населения – плотность населения) существуют две петли отрицательных обратных связей, обе способствуют уменьшению численности населения. Общий вывод: увеличение плотности населения через существующие в системе отрицательные связи приводит к уменьшению темпа рождаемости, возрастанию темпа смертности, и, в целом, к уменьшению численности населения.

Теперь рассмотрим систему: численность населения – наличие пищи для населения.

Рис. 1.11. Упрощенная блок – схема влияния на рост населения обеспеченность последнего пищей.

В этой системе также существуют две петли отрицательных обратных связей, регулирующие численность населения в соответствии с фондами (капиталовложениями) и пищевыми ресурсами, которые создают уровень обеспеченности пищей. Во внешней петле при росте населения Р уменьшается относительная величина фондов в сельском хозяйстве, что является причиной уменьшения пищевого потенциала фондов (т.е. уровень питания, приходящийся на одного человека). Соответственно уменьшаются: относительный уровень питания FR, множитель зависимости темпа рождаемости от уровня питания, темп рождаемости BR.

- 60 -