svetlosanov_v_a_osnovy_metodologii_modelirovaniya_prirodnykh

при t → ∞

Если численность первого вида ограничена, то соотношение (1.34) означает, что численность второго вида стремится к нулю. Исследование уравнения (1.34) показало, что при конкуренции за общую пищу со временем исчезает тот вид,

у которого соотношение ε будет меньше.

γ

Рассмотрим теперь случай сосуществования двух видов, один из которых является хищником по отношению к другому. Уравнения, описывающие динамику численности видов в данном случае, выглядят следующим образом:

dN1 = α1 N1 − β1 N1 N 2

dt

(1.35)

dN 2 = −α 2 N 2 + β 2 N1 N 2

dt

Здесь N1 - численность жертв, N 2 - численность

хищников.

При составлении уравнений (1.35) введены следующие гипотезы:

1) пища для жертв имеется в неограниченном количестве и, соответственно, прирост жертв в единицу времени считается прямо пропорциональным общему числу

жертв (α1 N1 ),

2) в единицу времени умирает постоянная доля существующих хищников, что описывается членом уравнения

( − α 2 N 2 ),

3) хищник питается жертвами (член уравнения + β 2 N1 N 2 ). Знак + означает, что данное обстоятельство (в результате пересечения хищника с жертвой - хищник сыт)

- 41 -

способствует росту популяции хищника. При этом вводится гипотеза, что количество съеденных в единицу времени жертв пропорционально числу встреч хищника с жертвой, т.е. произведению численности хищников на численность жертв с

некоторым коэффициентом β 2 . Смысл этого коэффициента

заключается в том, что не каждая встреча хищника и жертвы заканчивается трагически для жертвы.

Решение уравнений (1.35) приводит, за исключением стационарного случая, к периодическим колебаниям

численности N1 (t) и N 2 (t ) с амплитудой, которая зависит от

начальных условий и является следствием выбранной Вольтерра cпециальной формы уравнений.

В 1936 г. А.Н. Колмогоров предпринял попытку переработать вольтерровскую теорию борьбы за существование (Kolmogoroff, 1936). Позднее им был количественно исследован более общий по сравнению с уравнением (1.35) вид уравнений (Колмогоров, 1972):

dN1 = K1 (N1 ) − α (N1 ) N 2 dt

(1.36)

dN 2 = K 2 (N1 ) N 2 dt

Автором сделаны предположения о том, что хищники не взаимодействуют друг с другом и что прирост за малые промежутки времени числа жертв при наличии хищников равен приросту в отсутствие хищников минус число жертв, потребленных xищником. Следует отметить, что уравнения (1.29, 1.35) справедливы только для небольшого изменения численности популяции около положения равновесия. Когда численность сильно уменьшается, модель становится неприемлемой из-за нелинейной зависимости прироста численности от количества корма.

Приведенные выше уравнения не включают рассмотрение внутривидовой конкуренции. Уравнения Вольтерра с учетом внутривидовой конкуренции были написаны Костицыным (Kostiszin, 1937)

- 42 -

Здесь внутривидовая конкуренция учтена введением членов − γ i N i2 (i=1,2)

Пищевая конкуренция между двумя популяциями, находящимися на одном уровне, была разработана Вольтерра (Volterra, 1931 ) и экспериментально проверена Г.Ф. Гаузе (1935), Парком (Park, 1948). Система уравнений имела следующий вид:

-максимальные возможные численности в данных условиях,

α1 ,α 2 - коэффициенты борьбы за существование. При

сравнении легко увидеть, что уравнения (1.37) отличаются от уравнений (1.38) наличием конкуренции внутри видов.

Методология построения математических моделей Лотки – Вольтерра легла в основу построения моделей глобального развития.

ИССЛЕДОВАНИЕ МИРОВЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

(СОЗДАНИЕ РИМСКОГО КЛУБА И ЕГО РАБОТА).

Создание мировых математических моделей тесно связано с организацией под названием «Римский клуб», основателем и пожизненным президентом которого был А. Печчеи. История создания и деятельность Римского клуба изложена в автобиографической книге А. Печчеи

- 43 -

«Человеческие качества», переведенной на русский язык в 1985 году. А. Печчеи был специалистом в области управления промышленностью, главой фирмы «Фиат» в Латинской Америке. Он также был руководителем известных компаний «Италконсульт» и «Оливетти». Организатор и руководитель по призванию, мыслитель с широким кругозором, А. Печчеи активно содействовал возникновению нескольких международных организаций, таких как Международный институт прикладного системного анализа (Австрия), компании «Адела» (Атлантическое развитие Латинской Америки), которая стала преуспевающей международной компанией, занимающейся финансированием и развитием. Элемент новизны компании «Адела» состоял в ее корпоративной структуре и статусе коллективного предприятия. Капитал «Аделы» состоял из взносов многих крупнейших промышленных и финансовых компаний из разных стран. Акционерами компании были 230 крупных корпораций из 23 стран мира. Новизна деятельности компании «Адела» состояла также в ее общественной направленности. Хотя прибыль компании лежала в основе всех ее действий, тем не менее, в приоритеты компании входили международная и социальная ответственность за все свои действия.

Создание международных организаций и работа в них во многом способствовали пониманию А. Печчеи проблем мировой экосистемы, контроля за процессами, которые загрязняют окружающую среду, а также проблем, связанных с возрастанием численности населения планеты. С каждым годом А. Печчеи все явственнее ощущал, что человечество не понимает или недооценивает проблемы (экономические, технические, социальные, демографические и политические), которые стоят перед обществом в целом. Все эти проблемы взаимосвязаны и должны быть рассмотрены как единое целое. Указанные проблемы не могут быть сдержаны государственными границами, они быстро набирают силу и создают глобальную проблему современности. Эти проблемы охватывают все сферы человеческой деятельности, поэтому ими надо заниматься постоянно и серьезно.

- 44 -

Но сначала надо было показать, к чему придет мировое сообщество, если темпы развития всех планетарных процессов останутся прежними. Для того чтобы оценить все угрожающие человечеству опасности, А. Печчеи решил для начала найти единомышленников, которые бы, так же как и он, глубоко понимали мировые проблемы. Он планировал обсудить с ними мировые проблемы и попытаться найти выход из создавшегося положения. В результате было отобрано около 30 ученых, специалистов в различных областях: экономики, социологии, физики и др. Им было предложено встретиться в Риме 6-7 апреля 1968 года. Такая встреча состоялась. Однако участники встречи оказались не готовыми решать мировые процессы. На встрече не было даже единства у всех присутствующих. Дискуссию вызвало уже слово «система». Некоторые участники встречи считали бесперспективным делать анализ мировых проблем и рекомендовали изучать частные проблемы. Цель, которую ставил перед собой А. Печчеи – немедленно начать работу над решением глобальных проблем, вставших перед человечеством, не была достигнута. Тем не менее, были и положительные моменты данной встречи. Одним из результатов встречи можно считать образование группы сподвижников, которая согласилась с общим проектом изучения мировых проблем человечества в целом. Таким образом возникла организация, известная теперь как «Римский клуб». Она получила название по имени города, где состоялась историческая встреча.

Римский клуб сформулировал две основные цели своей деятельности. Первая цель – пропагандистская: жители планеты должны знать проблемы, которые стоят перед человечеством в целом и временные сроки для решения данных проблем. Вторая цель – конкретное решение проблем. Так как проблемы касаются каждого жителя планеты, следовательно, надо использовать все возможности для решения вставших перед человечеством проблем.

По принятой совместной договоренности Римский клуб был ограничен в своей численности: не более чем 100 членов. По составу он должен включить в себя: ученых, государственных деятелей, управленцев, педагогов из разных

- 45 -

стран мира. Члены Римского клуба считали, что у него должен быть собственный (пусть небольшой) бюджет, чтобы не зависеть от каких - либо источников финансирования. Было сформулировано, что Римский клуб не является политической организацией. Он должен стать транскультурным центром, т.е. использовать все имеющиеся в наличие научные дисциплины, идеологии, культурные ценности, но не связывать себя с какой - либо из них. Римский клуб должен содействовать свободному обмену мнений. Весьма любопытно (такое встречается не часто), что члены Римского клуба постановили: данная организация прекращает свое существование, как только выполнит свою миссию. Было также постановлено, что Римский клуб инициирует различные проекты, но выводы и решения данных проектов лежат на их исполнителях. Римский клуб не несет ответственности за выводы, сделанные этими исполнителями.

Планировалось, что Римский клуб проводит одно пленарное заседание в год. В 1970 году на одно из ежегодных пленарных заседаний был приглашен профессор прикладной математики и кибернетики Массачусетского технологического института, специалист по исследованию экономических процессов с помощью математических моделей Джей Форрестер. На это имя следует обратить особое внимание, так как с ним связано новое научное направление: исследование мировой динамики с помощью математических моделей.

МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ГЛОБАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ПО МЕТОДИКЕ

ФОРРЕСТЕРА.

В настоящее время имеется несколько десятков мировых математических моделей. Наиболее известной математической моделью считается «Мировая модель – 3», (Meadows et al., 1972) созданная интернациональной группой под руководством Д. Медоуза. Книга, переведенная на разные языки (включая русский язык), опубликованная в разных странах миллионным тиражом, по праву считается научным бестселлером. Создание большинства мировых математических

- 46 -

моделей правомерно связано с организацией «Римский клуб». Каждая из этих моделей внесла свой определенный вклад в методологию глобального математического моделирования. Об этих моделях будет рассказано ниже.

Одна из целей данных лекций является изложение методологии математического моделирования, которая включает рассмотрение мировых моделей.

Уже упоминалось, что создание мировых моделей тесно связано с именем Джея Форрестера. Д. Форрестер вошел в историю науки как «отец» мировых математических моделей сложных социально – экономических систем. Хотя его модель является более упрощенной, чем последующие модели других авторов, методологию математического моделирования мировых моделей можно лучше понять, рассматривая идеи Д. Форрестера, которые были выдвинуты им при создании первой математической мировой модели. Методика моделирования сложных социально – экономических систем описана в книге Д.

Форрестера «World dynamics» (Forrester, 1971), выпущенной за рубежом в 1971 году и переведенной на русский язык как «Мировая динамика» в 1978 году (Форрестер, 1978).

Создав за очень короткий срок (4 недели) в 1971 году свою первую «мировую модель», известную под названием «Мир – 1», а затем, немного скорректировав ее и назвав «Мир – 2», Д. Форрестер открыл новое направление научных исследований – изучение мировых динамических процессов с помощью математического моделирования.

Дадим небольшую информацию о личности Джея Форрестера. Основатель так называемой «системной динамики», Д. Форрестер – считается крупным специалистом в области теории управления. В момент работы и создания первой мировой математической модели он был профессором в Школе управления Альфреда П. Слоуна в Массачусетском технологическом институте (МТИ) в США. Во время Второй мировой войны он занимался разработкой цифровых ЭВМ. В 1968 г. Д. Форрестер был награжден премией «Изобретатель года», учрежденной Университетом Д. Вашингтона и золотой медалью В. Поулсена, учрежденной Датской академией технических наук. Хорошо известны исследователям также

- 47 -

другие работы Д. Форрестера, которые были опубликованы до разработки первой мировой математической модели. В своей работе «Industrial dynamics», выпущенной за рубежом в 1961 году (в русском переводе эта работа известна как «Основы кибернетики производства» 1971 г.), Д. Форрестер рассмотрел промышленное производство как сложную динамическую систему. В работе «Urban dynamics» (1969), также переведенной на русский язык под названием «Динамика развития города» (1974 г.) изложены в системной интерпретации процессы урбанизации. Основные идеи, опубликованные в этих двух книгах, легли в основу построения первой мировой математической модели.

Указанные работы Д. Форрестера во многом способствовали созданию в МТИ методологии междисциплинарных исследований сложных динамических систем, получившей название «системной динамики». В дальнейшем системная динамика, опирающаяся на идеи управления в промышленности, стала основой исследований динамических экономических, социальных, экологических систем. В основе системной динамики лежит методика анализа сложной иерархической системы, представление внутренних связей системы в виде диаграмм, написание уравнений динамической системы, т.е. получение математической модели и исследование модели на ЭВМ. Системная динамика нашла применение в различных областях, особенно на стыке различных дисциплин.

Любопытно, что Д. Форрестер рассматривал созданные им модели «Мир – 1» и «Мир – 2» как «учебные». Д. Форрестер пишет (Форрестер, 1978): «На протяжении ряда лет, преподавая динамику социальных систем, мы обнаружили, что простое описание процесса модельной формализации и машинной имитации не является эффективной формой обучения. Студент должен сам принимать непосредственное участие в этом процессе. Он должен сам осуществлять и прочувствовать каждый этап исследования. Но большинство из них не в состоянии представить себе модификацию метода при переходе от одной области применения к другой. Чтобы преодолеть эту трудность, стало необходимым создать рабочую модель.

- 48 -

Мировая модель, описываемая ниже, была создана с этой целью».

В процессе моделирования сложной системы методом системной динамики Форрестер выделяет три этапа.

Первый этап – это концептуализация исследуемой проблемы. Сюда входит словесное описание рассматриваемой системы, точная формулировка проблемы, определение основных переменных, указание интервала времени, на котором исследуется поведение системы, перечень параметров, которые следует учитывать в модели, перечень диапазонов этих параметров. Первый этап заканчивается построением блок – схемы исследуемой проблемы, в которую входят все переменные системы с указанием обратных связей, имеющихся в системе.

Второй этап включает построение математической модели с учетом всех динамических процессов системы. При недостатке имеющейся информации для переменных исследуемой системы вводятся определенные гипотезы, на основе которых составляются дифференциальные уравнения модели.

Третий этап – это интегрирование составленных дифференциальных уравнений, анализ результатов и их интерпретация. Полученные результаты сравниваются с имеющимися статистическими данными. Проводится анализ чувствительности модели к изменению некоторых параметров. Полученные результаты и их расхождение с имеющимися данными служат критерием того, насколько удачно создана модель. В случае неудовлетворительного совпадения результатов со статистическими данными делается анализ создавшейся ситуации. В некоторых случаях можно будет обойтись введением или изменением коэффициентов модели. В определенных случаях может потребоваться изменение структуры модели.

С самого начала своей работы автор дал определение понятию «мировая система», которое не является однозначным и общепринятым. Под «мировой системой» Д. Форрестер определяет самого человека (его численность и его деятельность), производство, сельское хозяйство, социальные и

- 49 -

экономические аспекты антропогенной активности, технологию и окружающую среду. Взаимодействие этих элементов определяет динамические компоненты системы. Автор вводит в

модель 5 основных компонентов:

Население, Капиталовложения (фонды), Природные ресурсы, Фонды, вкладываемые в сельское хозяйство, Загрязнение окружающей среды.

Все эти компоненты взаимодействуют друг с другом и составляют структуру сложной социально – экономической системы.

Кроме указанных пяти переменных Д. Форрестер ввел в

модель понятие «качество жизни», которое определил как «меру функционирования мировой системы». Математически «качество жизни» в определенный момент времени определялось как произведение стандартного «качества жизни» на 4 сомножителя, которые в свою очередь зависели от уровня питания, уровня загрязнения, материального уровня жизни и плотности населения. Под стандартным качеством жизни взяты условия жизни населения в 1970 г., которые в модели принимались за 1. Все сомножители описывались нелинейными зависимостями. Наиболее весомым сомножителем был уровень питания. Низкий уровень питания больше влиял на качество жизни, чем низкий материальный уровень жизни или высокий уровень загрязнения. Однако при достаточном уровне (наличии) пищи дальнейшее увеличение уровня питания не влияло на повышение качества жизни. Вторым по весомости сомножителем был материальный уровень жизни. Далее по степени убывания сомножителями были плотность населения и загрязнение окружающей среды.

Согласно Д. Форрестеру при создании модельной структуры мировой системы самой важной концепцией является идея, что все изменения в структуре полностью определены петлями обратных связей: положительными и отрицательными. «Петля обратной связи – это замкнутая цепочка взаимодействия, которая связывает исходное действие с его результатом, изменяющим характеристики окружающих условий, которые, в свою очередь, являются «информацией», вызывающей дальнейшее изменение. Мы часто рассматриваем

- 50 -