1avdin_v_v_matematicheskoe_modelirovanie_ekosistem

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет Кафедра «Общая и инженерная экология»

502(07) А187

В.В. Авдин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМ

Учебное пособие

Челябинск Издательство ЮУрГУ

2004

УДК [502.3:51](075.8)

Авдин В.В. Математическое моделирование экосистем: Учебное пособие. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. – 2004. – 80 с.

В пособии, составленном в соответствии с программой приводятся систематизированные материалы, необходимые для изучения дисциплины «Системная экология, биоэкология, математическое моделирование экосистем». В пособии даются основные понятия, использующиеся в современной экологии, излагаются основные принципы, использующиеся при построении математических моделей поведения экосистем, даются примеры подходов при построении и расчётах прогностических моделей, приводятся основные сведения, отсутствующие в другой учебной литературе.

Предназначено для использования студентами специальности 280201 – «Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов», а также других специальностей при изучении экологических дисциплин.

Ил. 14, список лит. – 31 назв.

Одобренометодическойкомиссиейархитектурно-строительногофакультета.

Рецензенты: А.Г. Тюрин, Ю.В. Матвейчук.

Издательство ЮУрГУ, 2004.

1. АКТУАЛЬНОСТЬ И ЦЕЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОСИСТЕМ

Научно-технический прогресс, и, прежде всего, быстрый рост энергетической мощности цивилизации порождает многочисленные проблемы, требующие глубокого научного анализа. Они вызваны прежде всего масштабом прямого воздействия человеческой деятельности на среду. Проблемы оценки антропогенных воздействий не новы. Но до некоторого времени они носили локальный характер и могли быть получены традиционными экспериментальными методами, однако в последнее время стало очевидным, что проблема взаимодействия человеческой цивилизации и окружающей среды приобретает глобальный, общепланетый характер. Исследований локального характера, как бы важны они ни были, уже недостаточно, дальнейшее развитие человеческой цивилизации тесно связано с судьбой биосферы как единого целого. Исследование условий совместной эволюции человека и окружающей среды не вписывается ни в какое традиционное научное направление; это проблема многоплановая. Её решение – выработка условий, обеспечивающих дальнейшее развитие человеческой цивилизации как вида.

Какой бы ни представлялась нам картина будущего развития, её формализация и описание потребуют фундаментальных знаний о том, каким образом процессы активного воздействия человека меняют характер динамических процессов, происходящих в окружающей среде. И наоборот, каким образом изменение условий жизни людей, то есть характеристик биосферы, влияет на особенности социальной эволюции общества, на её структуру.

Таким образом, фронт исследований требует объединения как специалистовестественников разного профиля, так и синтеза естественнонаучных и гуманитарных знаний. Важную роль играют создание и анализ математических моделей, описывающих протекающие в биосфере динамические процессы, при этом особое значение приобретает машинная имитация изучаемых процессов. Имитационная система должна играть роль основного стержня исследований глобального экологического процесса, быть его структурной схемой. Конкретные эмпирические исследования всегда лежали и будут лежать в основе познания окружающего мира. Но мы не можем провести эксперимента со всей биосферой в целом. Поэтому необходима структуризация экспериментально-теоретических исследований, с целью получения интегрированной системы. Обладая такой системой, мы получим инструмент не только анализа и управления.

Основой математического моделирования экосистем стала активно развивающаяся в последнее время нелинейная динамика. Прогноз Станислава Лема о замедлении темпов развития науки, об уменьшении ее социальной роли и об оценке ее обществом, сделанный в книге [1], оправдывается. Знание все реже связывают с силой, а науку – с производительной силой, как было еще лет 20 назад. И дело не только в том, что экспоненциальный рост числа ученых и затрат на науку, имевший место в 60-е годы, стабилизировался и вести исследования по всему фронту интересных проблем оказалось невозможно, как и предсказывал Лем. На передний план вышли другие задачи, иной социальный заказ.

Наука стала важной областью технологии после того, как с конца прошлого века на ее основе началось стремительное совершенствование средств защиты и на-

3

падения. Радио и компьютеры, самолеты и космические корабли развивались и применялись прежде всего в военном секторе экономики. Однако в большой степени эта задача исчерпала себя, многие высокоэффективные виды оружия снимаются с вооружения и уничтожаются, началась «гонка разоружения». Разумеется, противоборство продолжается, но его научная компонента стала гораздо меньше, чем раньше.

С другой стороны, производство товаров и технологий – другой заказчик науки – тоже изменилось. Ограниченность многих важнейших ресурсов сейчас диктует отказ от многих товаров, услуг, проектов. По-видимому, эта тенденция будет нарастать.

При этом возникли новые сферы научной активности. Это широкий круг проблем, связанный с устойчивостью и безопасностью развития. Глобальные изменения климата, экологической ситуации, техносферы, экономики и других ключевых систем показали неготовность современной науки отвечать на многие кардинальные вопросы. Большинство из них связаны с коллективным поведением и с прогнозом поведения сложных систем в различных условиях. Поэтому нелинейная динамика здесь может сыграть важную роль.

Специализация науки, ее прикладные успехи в XX веке имели ряд побочных последствий. Возникла своеобразная цеховая раздробленность – непонимание и незнание специалистами происходящего даже в смежных областях, отсутствие научной картины мира. Это оказывает сдерживающее влияние на развитие самой науки – многое переоткрывается в соседних областях, а многие проекты выполняются в контексте, смысл которого к моменту окончания работы оказывается утраченным. Отношение к ученым в обществе напоминает взгляд на средневековых ремесленников, нужных для того, чтобы производить разные товары. Научные школы все чаще перенимают дух цеховой замкнутости.

Один из создателей квантовой механики Е. Вигнер [2] полагал, что есть два подхода к научному осмыслению мира, которые предлагаются, соответственно, физикой и психологией, между которыми не может быть переброшен мост. В такой утрате надежды на построение единой самосогласованной научной картины реальности он видел одно из принципиальных ограничений для развития самого научного знания.

Исходя из этого, особенно необходимой становится разработка междисциплинарных подходов. Поэтому нелинейная динамика, связанная с поиском единых механизмов в нелинейных явлениях различной природы, в физических, химических, биологических, социальных системах, выходит на первый план. Единство мира, с точки зрения этого подхода, проявляется в универсальности математических моделей, описывающих реальность, в возможности построить математическое описание данного явления с различной точностью с помощью одного набора «кубиков» – базовых моделей. Поэтому роль нелинейной науки в общенаучном контексте как «языка междисциплинарного общения» может оказаться очень большой.

В настоящее время цивилизация проходит очень крутой поворот. Меняются не только политические, экономические, социальные траектории отдельных стран, этносов, регионов, но и их исторические пути. Решения, которые принимаются сейчас, могут изменить сценарий развития, жизнь людей на много поколений вперед. Поэтому ключевой становится проблема выбора норм, целей, приоритетов, экономических, социальных, политических и иных технологий.

4

Цена принимаемых решений здесь очень велика. Например, по оценкам экспертов, последний кризис обойдется мировой экономике более чем в триллион долларов. Экономические реформы последних лет в России привели к тому, что страна, занимавшая второе место в мире по валовому внутреннему продукту, оказалась на пятнадцатой позиции.

Диапазон управляющих воздействий здесь также очень широк. Реализуя идею устойчивого и безопасного развития, Швеция отказывается от атомной энергетики. Во Франции, где более 70 % электроэнергии вырабатывается на АЭС, форсированное развитие этого сектора экономики, напротив, рассматривается как эффективный способ сохранения окружающей среды.

Возникает принципиальная общая задача построения альтернативных сценариев развития сложных, необратимо развивающихся систем. Эти проблемы тем более актуальны, поскольку приходится выбирать не между хорошим и лучшим, а между плохим и очень плохим вариантом.

Проблема «проектирования будущего», поиска устойчивых и безопасных траекторий развития имеет непосредственное отношение к нелинейной динамике. В самом деле, социально-технологические объекты представляют собой сложные иерархические системы, различные процессы в которых разворачиваются на разных характерных временах. Степень их неустойчивости, их пределы предсказуемости также различны. В экономической системе горизонт прогноза резко уменьшился: если еще 15 лет назад нормой в мире было 5-летнее директивное или индикативное планирование, то сейчас об этом говорить не приходится. В мире становится все больше предложение «быстрых денег» и все меньше предложение «медленных». Но, с другой стороны, устойчивое развитие общества требует медленно меняющихся стратегических целей, шкалы общественных ценностей и норм, культуры и идеологии. Нужна техника, теории, формализм, который позволял бы анализировать возможную динамику таких «разновременных систем» и на этой основе направлять развитие.

Такие исследовательские программы, получившие название теоретической истории или исторической механики, активно обсуждаются в последние годы [3]. История выступает идеальным полигоном для тестирования, совершенствования и верификации таких методик. При этом следует отдавать себе отчет, что многие ситуации, альтернативы, возможные решения, возникающие сейчас, являются стандартными, каноническими, не раз разыгрывавшимися на исторических подмостках. В то время как другие оказываются принципиально новыми, где опираться на исторические аналоги не приходится. Этот круг междисциплинарных, «плохо поставленных проблем», связанных с организацией общества и его перспективами является важнейшим «социальным заказом» и для нелинейной динамики, и для всей современной науки.

Цель математического моделирования [4] заключается в построении адекватных прогностических моделей, которые могут предсказать развитие биосферы или отдельных её частей на ближайшие 200–300 лет. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

дать современную трактовку понятия системного анализа и проблемы «человек – биосфера»; обосновать необходимость естественнонаучного подхода для разрешения данной проблемы;

5

определить современные концепции биосферы, экосистемы, биогеоценоза; разработать модели глобальных биогеохимических циклов углерода, кислорода, азота, воды, атакжемоделиэкосистем, антропогенных воздействийит. п.; экспериментально проверить адекватность разработанных моделей; определить перспективы их развития.

2. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Системный анализ – это прикладная дисциплина, занимающаяся решением конкретных проблем, возникающих в процессе проектирования и анализа сложных технических, биологических, экономических и прочих систем. Системный анализ занимается прежде всего развитием методов исследования сложных междисциплинарных проблем, связанных к тому же с организацией процедур принятия решений. Именно поэтому системный анализ является естественным развитием теории исследования операций и теории управления. Системный анализ включает в себя широкий круг проблем, в том числе и методологических, связанных с математическим моделированием, то есть с описанием изучаемых процессов на языке математики.

Так как системный анализ является дисциплиной синтетической, объединяющей исследования разной физической природы, системный анализ ответственен за язык междисциплинарных исследований. Таким языком является язык математических моделей, причём моделей, машинно-реализуемых. Научным фундаментом системного анализа является методология моделирования. Важное место в системном анализе занимают проблемы реализации моделей на компьютере.

В основе математического моделирования процессов биологической природы лежит представление о биологической системе, для которой справедливы все законы физики и химии. Это утверждение долгое время было дискуссионным. Наиболее острые споры вызывала проблема справедливости второго закона термодинамики, поскольку в живой природе существует много процессов, сопровождающихся локальным уменьшением энтропии. В 30-е гг. было установлено, что любой процесс, протекающий в живой природе подчиняется всем законам физики и химии, а наблюдающееся локальное уменьшение энтропии – следствие метаболизма, т. е. процессов использования живой материей вещества и энергии, без которых невозможно существование жизни. Однако все сомнения относительно подчинённости существования биологических систем законам физики и химии отпали только в 70-е гг. с появлением науки синергетики. Последняя возникла после ряда экспериментальных открытий явлений самоорганизации в неживой природе, и создания и развития затем теоретической базы – неравновесной термодинамики. Основателем этого нового направления можно считать И.Р. Пригожина – бельгийского физико-химика, русского по происхождению. Именно его работы по неравновесной термодинамики и самоорганизации неравновесных систем явились фундаментом синергетики [5, 6]. В настоящая время синетргетика является интенсивно развивающейся междисциплинарной отраслью науки. В последнее время многие области науки «открывают для себя» явление самоорганизации и процессы формирования диссипативных структур. В частности, многие эксперты полагают, что создание приборов с использованием нанопроводов, оптико-электронных систем на квантовых точках, одноэлектронных приборов потребует нового поколения технологий, использующих пространственную

6

самоорганизацию, самоформирование и другие нелинейные эффекты [7–10]. Открытое и объяснённое в последние годы в лазерной термохимии явление возникновения стержневых структур при движении по поверхности окисляющегося металла лазерного луча постоянной интенсивности также находится в рамках нелинейной динамики [11]. Сюда можно отнести и недавно появившееся задачи – проекты ускорения элементарных частиц в кильватере мощной электромагнитной волны [12]. Или теорию мощных атмосферных вихрей, объясняющую нелинейные эффекты, наблюдавшиеся при столкновении кометы Шумейкера-Леви с Юпитером в 1994 г. [13]. Сейчас об этих явлениях можно говорить на языке, разработанном в 90-х годах XX века нелинейной динамикой, опираться на сформулированные понятия и базовые математические модели. Более того, успешная реализация какого-либо из упомянутых проектов может изменить и само направление нелинейной динамики, поставить новые фундаментальные задачи [14].

Итак, при описании процессов биотического уровня мы должны основываться на законах сохранения – вещества, энергии, количества движения и т. д. Это первый основополагающий принцип любого моделирования. Кроме того, необходимы соотношения, определяющие интенсивности потоков вещества, энергии и т. п. в зависимости от состояния отдельных компонентов системы. Например, если мы рассматриваем систему из двух популяций, особи одной из которых служат пищей для другой (система «хищник – жертва»), то кроме балансовых уравнений для биомасс нам необходимо знать скорость потребления жертвы хищником, которая, естественно, зависит как от численности жертвы, так и от численности хищника. Эту зависимость называют трофической функцией. Конкретный вид трофической функции определяется многими факторами: охотничьей стратегией хищника, защитным поведением жертвы, наличием убежищ, питания, местными условиями и т. д. Таким образом трофическая функция является некоторой обобщённой, усреднённой по всей популяции характеристикой поведенческих реакций индивидуальных организмов.

Термин «организм» в биоэкологии означает систему, имеющую собственные цели и определённые возможности их достижения. Любое живое существо является организмом. Но, кроме того, под это определение попадают и группы животных. Иногда даже целые популяции могут проявлять свойства организма. При создании математической модели организма кроме законов сохранения должны быть составлены соотношения, описывающие обратные связи.

На биологическом уровне организации материи свойства организмичности исчерпываются быстро. Простой биоценоз организмом уже не является. В этом случае, при моделировании мы можем обойтись без учёта механизмов обратных связей и ограничиться только законами сохранения и некоторыми агрегированными описаниями функций поведения, которые будут фигурировать в виде тех или иных параметров уравнений, описывающих трофические функции или функции конкуренции.

При описании процессов общественной природы ситуация значительно усложняется. Человек прогнозирует результаты собственных действий, организует процессы переработки информации. Таким образом, одновременно с описанием процессов преобразования вещества, энергии, движения мы должны иметь модель информационного процесса.

Существенным вопросом является следующий: насколько корректно говорить о современном человечестве как о едином целом. В действительности популя-

7

ция Homo sapiens представляет собой объединение разнообразных гомеостатических групп, объединенных по классовому, расовому, религиозному и др. принципам. Эти объединения могут быть как чётко структурированы – образуют, например, суверенные государства, так и в большой степени аморфны. Но тем не менее все они обладают соответствующими интересами, целями, и, что особенно важно, потенциалом к их достижению. Области гомеостазиса, а, следовательно, и цели этих групп не совпадают. И тем не менее при всей множественности целей у них существует одна общая цель – сохранение гомеостазиса всего человеческого рода. Пример такой ситуации – «путешественники в одной лодке». У каждого путешественника есть свои цели, но есть и одна общая цель – доплыть до берега. Математическая модель данной ситуации показывает, что у путешественников есть возможность договориться о таком распределении усилий, который определит компромисс, неулучшаемый одновременно для всех и исключающий опасность обмана: субъект, нарушивший договорённость, несёт основные потери.

Изучая сложные системы, мы часто сталкиваемся с недостатком информации и экспериментального материала. Поэтому наряду с математическими моделями в системном анализе часто приходиться работать с так называемыми квазимоделями – субъективным представлением об изучаемом предмете, которое возникло у исследователя на основе его личного опыта, интуиции, системы ассоциаций и т. п. Это субъективное представление порождает определённые приёмы исследования, определённую психологию, которую называют неформальными методами анализа. Объединение формальных методов анализа и неформальных процедур – одна из основных задач системного анализа.

Изучение процессов глобального характера было основано работами В.И. Вернадского, который показал, что эволюция биосферы Земли – результат сложного взаимодействия живой и неживой материи. Возникновение атмосферы, структура океана и поверхностных особенностей суши – всё это результат деятельности жизни [15].

Особенности современных глобальных процессов состоят в том, что процессы представляют собой сложную суперпозицию естественной эволюции и человеческой деятельности, интенсивность которой в последние десятилетия стала сравнима с интенсивностью естественных процессов. Однако исследователей на данный момент интересуют эволюционные изменения в ближайшие 2–3 сотни лет: если человечество сможет выжить в ближайшие 200–300 лет, то шансы продолжить существование резко возрастут.

3. БИОСФЕРА: СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ

Впервые представление о биосфере как «области жизни» было предложено Ж.-Б. Ламарком в начале XIX века. В геологию термин и понятие «биосфера» ввёл Э. Зюсс в 1875 г., выделивший биосферу как одну из земных оболочек. Создателем современных представлений о биосфере был В.И. Вернадский (1926 г. – первые концепции) [15].

По Вернадскому, биосфера – наружная оболочка Земли, область распространения жизни. Биосфера включает:

«живое вещество»;

8

«биогенное вещество», т. е. органическо-минеральные или органические продукты, созданные живым веществом (каменный уголь, нефть, торф, подстилка, гумус и т. д.); «биокосное вещество», созданное живыми организмами вместе с неживой приро-

дой (вода, атмосфера, осадочные породы).

Биосферу Вернадский рассматривал как форму космической организованности: «Твари Земли являются созданием сложного космического процесса, необходимой и закономерной частью стройного космического механизма, в котором – нет случайности». При этом он отмечал, что благодаря космическим излучениям вещество биосферы становится активным: «По существу биосфера может быть рассматриваема как область земной коры, занятая трансформаторами, переводящими космические излучения в действенную земную энергию – электрическую, химическую, механическую, тепловую и т. д.»

В.И. Вернадским предложен метод «эмпирического обобщения» – системный метод. Эмпирические обобщения – это система аксиом, отражающих уровень эмпирических знаний, которые могут быть положены в основу любой, развиваемой далее формальной теории. Имея систему эмпирических обобщений, при построении моделей можно идти двумя путями: либо оставаться в рамках этой системы, строя модели, называемые феноменологическими (описательными), либо, дополняя существующие эмпирические обобщения некоторыми гипотезами, получать новые модели явления. Выбор этих моделей-гипотез должен производиться единственным способом: по совпадению предсказанных и вновь наблюдаемых фактов. Если совпадение имеет место, то гипотеза становится эмпирическим обобщением, но более высокого уровня.

В.И. Вернадский в основу системного анализа биосферы положил следующие эмпирические обобщения: (данные положения не включают гипотез).

1. Аксиома однородности: в течение всех геологических периодов не наблюдалось непосредственного создания живых организмов из косной материи. В биологии аналог – закон Реди («живое – только из живого»). «Однородность» – следствие математического описания. Например, изменение массы живого вещества будет иметь следующий вид: dN / dt = Nf(N, ). Здесь N(t) – масса живого вещества, µ –

некоторый параметр, f(N,µ) – относительная скорость роста (должна быть конечной). Очевидно, что при N(t0) = 0, где t0 – начальный момент времени, N(t) ≡ 0, и оператор F = N f является в этом смысле однородным.

2.Существующие факты не могут ответить на вопрос о происхождении жизни на Земле. Поскольку для ответа на этот вопрос нужно привлекать те или иные гипотезы о предбиосферной истории Земли, то тем самым мы должны выйти за рамки эмпирического обобщения. Поэтому постулируется следующее утверждение, называемое аксиомой эргодичности: какова бы ни была предбиосферная история Земли, развитие биосферы в течение всего геологического периода должно давать нам современную биосферу. Процесс эволюции биосферы детерминирован и устойчив по отношению к начальным периодам её истории.

3.Аксиома непрерывности: лишённые жизни геологические эпохи не наблюдались. То есть современное живое вещество генетически связано с живым веществом прошлых эпох.

9

Следующие аксиомы являются законами сохранения или аксиомами стационарности.

4.Средний химический состав живого вещества и земной коры на протяжении эволюции неизменен.

5.Количество живого вещества в среднем одинаково для всего геологического времени.

Эти обобщения в настоящее время вызывают наибольшие возражения со стороны биологов, геохимиков. геологов и др. Однако приводимых фактов пока недостаточно для опровержения данных и формулирования новых эмпирических обобщений. Наблюдавшиеся в разные геологические эпохи изменения массы живого вещества можно объяснить, например, флуктуациями около постоянного среднего уровня (то же можно сказать и о химическом составе живого вещества и земной коры). Более корректным может являться объяснение колебаний массы живого вещества с позиций неравновесной термодинамики: раз биосфера – непрерывно эволюционирующая система, далёкая от состояния равновесия, значит к ней применима гипотеза автоколебательного эволюционного механизма. А эта гипотеза говорит о том, что в системе должны наблюдаться периодические изменения характеристик: свойств, состава и т. д.

6.В чём бы явления жизни не состояли, энергия, запасаемая и выделяемая живыми организмами, есть лучистая энергия Солнца; через посредство организмов она регулирует химические процессы в земной коре (в частности, глобальные биохимические циклы).

7.Основную роль в усвоении и перераспределении лучистой энергии Солнца играют зелёные растения.

Биосфера – существеннейшая составная часть общей жизни Земли как планеты, энергетический экран между Землёй и космосом, превращающий определённую часть космической, в основном солнечной, энергии в органическое вещество. Поступление солнечной энергии – это энергетический вход в биосферу. Из биосферы выходят геологические отложения, ведущие к образованию осадочных и метаморфических пород, – «область былых биосфер» по Вернадскому. Кроме того, биосфера отдаёт некоторую часть энергии – частью в виде излучений, частью в виде химической энергии осадочных отложений (каменный уголь, сапропель и др. органические вещества).

По своей структуре биосфера – сложная, иерархически организованная система. В пределах каждой структурной единицы процессы преобразования протекают автономно. Вместе с тем, вся живая материя объединена специфической формой организации и общими механизмами регулирования потоков энергии и круговорота веществ. Направление и интенсивность потоков энергии и вещества определяются структурой геохимических циклов, циркуляцией атмосферы и воды. Нарушения или изменения этих циклов, к которым всё чаще приводят антропогенные воздействия, могут менять как локальные, так и глобальные характеристики биосферы.

Вструктуре биосферы можно выделить такие составляющие как атмосферу и гидросферу, автотрофные (растения) и гетеротрофные организмы, почвы и т. д. В биосфере естественно различать континенты и океаны, которые в свою очередь подразделяются на всё более и более мелкие элементы (природные зоны, ландшафтные единицы, биогеоценозы, сообщества и т. д.).

10