1avdin_v_v_matematicheskoe_modelirovanie_ekosistem

Зависимость скорости чистой продукции органического вещества от интенсивности ФАР, концентрации СО2, в атмосфере и количества воды можно выразить формулой Х.А. Молдау (H. Moldau) [25]:

где а – начальный наклон кривой фотосинтеза, Si (i = 1, 2, 3) – площадь поверхности листьев, ствола и корней соответственно, ri, τi (i = 1, 2, 3) – коэффициенты дыхания роста и дыхания существования, α и β – эмпирические константы, y – параметр, ха-

рактеризующий водный режим растения:

y = (ψ m − ψa )rs , (ψs − ψ r )

где ψm – водный потенциал на мезофильных клетках, ψа – потенциал воды окружающего воздуха, ψs – водный потенциал почвы, ψr – водный потенциал поверхности корней, rs – гидравлическое сопротивление воды на поверхности корней.

Третий фундаментальный процесс – рост растений. В модели необходимо учитывать, что свежие ассимилянты не используются немедленно на рост и накапливаются на резерв. Резервы используются при наступлении подходящих условий, зависящих от микроклимата. В оптимальных условиях сдвиг между производством ассимилянтов и их использованием на рост – порядка нескольких часов. Ассимилянты используются на построение биомассы отдельных частей растений. Закономерности этих процессов малоизучены.

Моделирование в полном объёме требует задания функций роста. Как правило эти функции являются эмпирическими зависимостями для данного вида. Учёт функций роста для разных видов существенно отличается, поэтому подробные модели фитоценозов построены только для одновидовых сообществ. Существуют менее подробные модели для двухвидовых сообществ.

Модель развития фитоценоза включает следующие блоки: фотосинтетический, ростовой, гидрометеорологический и почвенный. Фотосинтетический блок задаёт расчёт фотосинтеза, дыхания и транспирации. Ростовой блок описывает рост отдельных органов растений. В гидрометеорологическом блоке рассчитываются параметры внешней среды: распределения интенсивности ФАР, температуры, концентрации СО2 и влажности воздуха по вертикали в фитоценозе, водного потенциала растений и почвы и т. д.

Модели данного класса являются незамкнутыми. Входными параметрами в них являются климатические условия, содержание воды и питательных веществ в почве.

Моделирование годичной продукции растений. В качестве главных факторов,

определяющих годичную продукцию растений в естественных БГЦ, считаются климатические условия данной местности. Основные из них: температурный и световой режим и режим увлажнения растений.

По исследованиям А.В. Дроздова [26] годичную продукцию можно определить как функцию двух переменных: радиационного баланса R (ккал/(см2 год)) годо-

61

вой суммы осадков r (мм/год) для различных точек земной поверхности. По гипотезе А.А. Григорьева и М.И. Будыко [27], при заданном значении R продуктивность достигает максимума при таком количестве осадков r, при котором тепло, необходимое для его испарения L r (L – скрытая теплота парообразования) равно радиационному балансу, т. е. R/Lr = 1.

Исследования Н.И. Базилевич и А.В. Дроздова [26] показали, что максимум продуктивности при постоянном R не всегда наблюдается при R/Lr = 1. Для R > 40 ккал/(см2 год) максимум продуктивности при R/Lr < 1, при R < 40 ккал/(см2 год) максимум продуктивности при R/Lr > 1. Х. Лит (H. Lieth) [28] предложил оценивать годичную продукцию растений Rp (г/(см2 год)) как функцию среднегодовой температуры воздухаТ, °Сисреднегодового количестваосадковr (мм):

R P = 3000{[(1+ exp(1,315 − 0,119T))−1],[1− exp(− 0,000664r)]}.

А.М. Рябчиков [29] обнаружил линейную зависиимость годичной продукции растений от следующего «биогидротермического» потенциала:

RP = Wn/(36R),

где W – валовое увлажнение (мм/год), n – продолжительность сезона вегетации в декадах, R – годовой радиационный баланс (ккал/(см2 год)). Сезон вегетации определяется или числом дней, когда среднесуточная температура воздуха выше 10°С, или (для сухих районов) числом дней, когда уровень почвенных вод находится на уровне корневой системы растений.

Исследователями Программы оценок воздействия на климат с помощью построенных моделей функционирования некоторых естественных БГЦ оценили изменение годичной продукции при изменении среднеглобальной температуры воздуха Т. Установлено, что годичная продукция при увеличении Т на 1°С для степей, лиственных лесов, хвойных лесов и тундры увеличивается на 5–18%, а для пустынь – уменьшается на 5 % [4]

13. НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В настоящее время изучение большинства природных экосистем невозможно без учёта взаимоотношений человека с окружающей средой. В истории развития биосферы в данный момент наступил период, когда население Земли становится определяющим фактором существования и эволюции биосферы. Особый интерес сейчас вызывает проблема роста популяции человека как одна из самых противоречивых. Подходы отечественных исследователей к математическому моделированию состоят в том, чтобы рассматривать проблему «человек – окружающая среда» как проблему стабильности биосферы. Прежде всего стоит задача построения качественно адекватных моделей процессов физико-химической и биологической природы, протекающих в биосфере Земли, а затем – задача исследования характера антропогенного влияния на ход этих процессов, чтобы определить (в рамках имеющихся моделей) пределы допустимых воздействий человека на среду. В соответствии с этой концепцией модель глобальных биосферных процессов представляет собой модель

62

распределённого по поверхности Земли биогеоценоза с несколькими уровнями продуктивности и человеком как потребителем некоторой доли продукции каждого уровня. Поэтому один из важнейших блоков этой модели – блок динамики человеческой популяции, называемый демографическим блоком.

В блок динамики населения включено влияние следующих факторов: обеспеченность пищей на душу населения F (вычисляется как сумма некоторых долей растительной и животной популяции региона, а также улова океанской рыбы); доля белковой пищи животного происхождения А в рационе человека

(определяется по вкладу в величину F со стороны животных и рыб);

уровень медицинского обслуживания М (пропорционален капиталлообеспеченности на душу населения);

генетический груз человеческой популяции G (медленно растёт с развитием популяции и зависит от уровня загрязнений среды).

Половая структура населения, а также процессы миграции населения между регионами игнорируются. Возрастная структура содержит 3 группы: 0–14, 15–64, >65 лет. Четвёртая – инвалиды и нетрудоспособные лица из всех трёх групп. Вектор долей групп в общей популяции именуется возрастной структурой.

Если обозначить через St возрастную структуру в год t, то динамика населения будет описываться матричным уравнением

St+1 = D×St,

где D представляет собой демографическую матрицу 4×4, учитывающую вышеперечисленные факторы. Демографическая матрица имеет следующую структуру:

где d – соответствующие факторы (первая цифра номер в вышеприведённом списке факторов (F – 1, А – 2 и т. п.); вторая цифра соответствует номеру возрастной группы (0–14 – 1, 15–64 – 2, цифра 4 – инвалиды и нетрудосповобные лица.

Данная матрица отличается от матрицы Лесли [4] во-первых, неравенством нулю её диагональных элементов, что объясняется перекрыванием поколений последовательных лет, и, во-вторых, последней строкой, которая отражает вневозрастной характер инвалидной группы.

Диагональные элементы демографической матрицы определяются из очевидных балансовых соотношений

4

dii = 1− mi − ∑d ji , i = 1, 4 ,

j>i

63

куда входят коэффициенты смертности mi i-й группы.

Коэффициенты смертности являются убывающими функциями от обеспеченности пищей на душу населения и уровня медицинского обслуживания в данном ре-

гионе mi = mi(f, M), причём lim m (F, M) = m(min) > 0, i = 1, 4 , и определяется ми-

F,M→∞ i i

нимальной физиологической смертностью в оптимальных условиях обеспеченности пищей и медицинского обслуживания.

Предполагается, что репродуктивный потенциал популяции целиком сосредоточен во 2-1 возрастной группе. Сформулировать зависимость коэффициента рождаемости d12 от факторов модели практически невозможно, так как она определяется не уровнем жизни, а этническими традициями, поэтому считается, что d12 – региональная константа.

Коэффициенты перехода в следующую возрастную группу d21 и d32 определяются из соображений длительности соответствующей возрастной группы и гипотеза равномерности распределения внутри группы, а именно: d21 =1/15, d32 =1/50.

Из всех возможных переходов в инвалидную группу наибольший вклад даёт коэффициент перехода из младшей группы, отражающей эффекты генетически обусловленных болезней и недостаточность белкового питания в раннем возрасте. Таким образом, d41 = d41 (G, A) – возрастающая функция своих аргументов. Коэффициенты d42 и d43 пренебрежительно малы по сравнению с остальными параметрами модели.

Матричная модель хороша тем, что она позволяет использовать уже имеющуюся демографическую статистику, которая собирается по возрастным группам. Необходимо отметить, что демографическая динамика зависит от большого числа факторов, которые, конечно, можно учесть в матричной модели, однако из-за этого модель становится очень громоздкой. В то же время для целей моделирования достаточно более грубого описания демографической динамики – через динамику общей численности населения.

Влияние многочисленных факторов окружающей среды и социальных аспектов на динамику общей численности в i-м регионе Gi проявляется через рождаемости RG и смертность MG:

dGi/dt = (RGi – MGi)Gi, i = 1, m.

Рождаемость и смертность зависят в модели от обеспеченности пищей и её качества, загрязнённости среды, газового состава атмосферы, материального уровня жизни, энергообеспеченности и плотности населения. Эти зависимости описываються следующими выражениями:

где hGi – коэффициент, отражающий качество потребляемой населением пищи, называемый «неусвояемость пищи», hGi = 0 при идеальном уровне качества пищи; kGi и µ′Gi – постоянные составляющие процессов соответственно рождаемости и смертно-

сти, τGOi и τGCi – показатели зависимости смертности от качества окружающей среды

64

(концентраций О2 и СО2 соответственно), проявляющиеся через физиологические функции человека, ωGi – показатель степени влияния на смертность физиологических особенностей среды обитания человека с учётом плотности населения, функции HGVi

(H FRi), HGOi (H Oi), HGCi (H Ci), HGMSi (H MSi), HGGi (H Gi) и HGZi (H Zi) отражают соот-

ветственно влияние на рождаемость (смертность) таких факторов окружающей среды как обеспеченность пищей, концентрация О2 и СО2 в атмосфере, материальный уровень, плотность населения и загрязнённость среды. При этом функции H Oi и H Сi аппроксимируют медико-биологические зависимости смертности от газоваого состава атмосферы, проявляющиеся через заболевания.

Для дальнейшего моделирования необходимо более подробно рассмотреть функции, указанные в уравнениях (52) и (53). Для этого принимают следующие гипотезы.

В экологии человека большое место занимают исследования зависимостей питания. Результаты исследований говорят о значительной зависимости питания от национальных особенностей и социального уклада жизни. Например, в некоторых воинских отрядах древних народов воины обедали, стоя на одной ноге и опираясь другой нагой на возвышение. Таким образом, они пережимали пополам желудок и наедались не переедая. А богатые древние римляне для потребления большого количества пищи использовали пёрышко, с помощью которого вызывали рвоту, опорожняли желудок и продолжали трапезу. В первом приближении можно принять гипотезу о том, что рождаемость подчиняется закону Ивлева для низших видов, то есть описывается функцией с насыщением (сравните с формулой (44))

HGVi = 1 – exp(–VGi),

где VGi – эффективный размер пищи, определяемый как взвешенная сумма составляющих пищевого спектра человека, куда входят доли животной и растительной пищи для разных регионов, доли пищи получаемой в промышленности, доля рыбно-

где нормированная обеспеченность пищей FRGi = FRGi(t) описывается соотношениями

FRGi = VGi / GiFRGi0, FRGi0 = VGi(t0) / Gi(t0).

Зависимость рождаемости от материального уровня населения MSGi описывается функцией с насыщением, так что наибольшее значение рождаемости наблюда-

мальной к минимальной рождаемости с изменением MSGi задаётся константой a*GMSi . Зависимость рождаемости от материальной обеспеченности имеет вид:

65

где MSGi является функцией, куда входят различные региональные экономические, социальные и природные факторы.

Зависимость смертности от материального уровня описывается убывающей функцией:

которая аппроксимирует зависимость Дж. Форрестера, показывающую, что смерт-

ность с увеличением доли капитала на душу населения падает со скоростью b′′ до

µGi

уровня b′µGi ; b*µGi – показатель скорости.

Рождаемость и смертность в определённых пределах являются соответственно убывающей и возрастающей функциями плотности населения. Пусть загрязнённость среды, зависит от плотности следующим образом: ZGGi = Gi(t) / Gi(t0). Тогда зависимость рождаемости и смертности от плотности и загрязнённости среды будут иметь следующий вид:

где два штриха соответствуют скорости, звёздочка – константе, а один штрих – некоторому минимальному уровню, на который кривая выходит при насыщении.

Важным аспектом является состояние природной среды обитания. В рамках данной модели природная среда описывается такими показателями как концентрации О2, СО2 и пыли в атмосфере и загрязнённости собственно биосферы, влияющей на генные изменения. Выражения описываются аналогичными зависимостями.

14. МОДЕЛИРОВАНИЕ АНТРОПОГЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА БИОСФЕРУ

Основная закономерность, отмечаемая многими исследователями, состоит в том, что темпы воздействия человека на биосферу находятся в прямой зависимости от роста численности населения. Основные тенденции в хозяйственной деятельности человека характеризуются организацией глобальных процессы в биосфере, таких как производство энергии, промышленных материалов и пищи. В целом одной из основных характеристик степени развития человеческого общества является энергетический потенциал, от которого в прямой зависимости находятся другие параметры, определяющие состояние производства и экономики. Между экономикой и энергетикой существует корреляционная связь, хорошо описываемая линейным регрессионным уравнением V = kVee + bVe. V – бюджет региона, е – вырабатываемая в нём энергия, b – минимальный уровень капитала при отсутствии вырабатываемой энергии.

Общая схема модели социально-экономических процессов предложена Н.Н. Моисеевым с соавторами [30]. Согласно этой схеме и структуре экономического блока глобальной модели Дж. Форрестера [31] в качестве одного из компонентов примем капиталовложения Vi (i = 1, m), динамика которых описывается уравнением:

66

где TVGi – постоянная времени износа основных фондов, множители GVGi и VMGi определяют скорость генерации фондов от материального уровня MSGi населения i-го региона. Эта зависимость описывается логарифмической функцией:

VMGi = kMGVi ln(1+ k*MGVi MSGi ),

где коэффициент kMGVi выбирается из равенства

kMGVi ln[1+ k*MGVi MSGi (t0 )] = 1.

Тогда коэффициент GVGi в (54) приобретает смысл объёма фондов, генерируемых в момент t0 на одного жителя региона. Постоянная времени износа основных фондов является функцией научно-технического прогресса и в модели может рассматриваться как управляющий параметр.

Основные фонды определяют интенсивность антропогенной активности. Из распределение отражает региональную стратегию управления ресурсами, обуславливает скорости протекания многих процессов. В частности, генерация загрязнений и их утилизация существенно регулируются этим распределением.

Генерация загрязнений. Основной компонент отрицательной антропогенной активности – загрязнение окружающей среды. Воздействию в основном подвержены три земных геосферы: гидро-, лито- и атмосфера. Так как все три оболочке участвуют в круговороте веществ, то при воздействии на одну из них, влияние оказывается и на остальные. Поэтому, например сжигание конечного продукта очистки сточных вод нельзя считать выходом из положения.

Изменение концентрации Zi загрязнения, генерируемого i-м регионом, происходит со скоростью, определяемой скоростью производства загрязнений ZkVGi и их разложения ZTVi:

dZi/dt = ZkVGi – ZTVi.

Пусть скорость генерации загрязнений в каждом регионе пропорциональна средней плотности населения (коэффициент kZi) и зависит от объёма фондов на душу населения VRGi = Vi/Gi (V – объём бюджета, G – число жителей):

ZVRGi = kZiGiZVGi,

где ZVGi – количество вырабатываемых загрязнений.

Темп разложения загрязнений аддитивно зависит от естественной скорости разложения ZTi и от скорости искусственной ассимиляции ZVi, которая определяется

67

Увеличение скорости ассимиляции загрязнений за счёт вкладываемого капитала описывается зависимостью ZVi = UZGiVi/GZGi, где GZGi – стоимость очистки единицы загрязнений.

В целом процесс генерации загрязнений является более сложным. В некоторых случаях, для повышения эффективности моделей, необходимо детализировать причины возникновения загрязнений и учесть случайные аварии.

Загрязнение атмосферы. Наряду с рассмотренным ранее накоплением в атмосфере углекислого газа, нарушение теплового баланса Земли может быть вызвано загрязнениями, изменяющими оптические свойства атмосферы. К таким загрязнениям относятся: промышленная грязь и пыль, радиоактивные вещества, выхлопные газы автомобилей, дым, молекулярные примеси, пары воды и др. Молекулярные примеси могут привести к изменению температуры Земли на 5°С. Наиболее опасными являются примеси, спектр поглощения которых приходится на «окна прозрачности» атмосферы, такие как СН4, пары воды, SO2, H2S, CO, оксиды азота и др. Эти компоненты делятся на устойчивые и кратковременные. Кратковременные, типа SO2 и паров Hg в атмосфере неустойчивы, не могут далеко распространяться, переводя локальные аномалии в глобальные. Долговременные загрязнители типа СО могут накапливаться в атмосфере, и имеют кумулятивный эффект. Загрязняющие вещества влияют как на здоровье людей, так и на климат Земли.

Для получения основного уравнения модели, отражающего загрязнение атмосферы, введём показатель замутнённости атмосферы В, измеряемый массой посторонних примесей в воздухе над единицей площади поверхности земли. Изменение этого показателя определяется долей NBj общего загрязнения Zj, попадающего из j-го региона в атмосферу; количеством отходов, производящих энергию предпри-

m

ятий (коэффициент NAj), содержанием водяных паров в атмосфере ∑WiA (m – чис-

i=0

ло сухопутных регионов, океан считается за один регион) и скоростью её естественного просветления TB−1. Скорость естественного просветления обратно пропорциональна времени TB оседания частиц пыли и дыма. Влияние паров воды на изменение

– время оседания паров воды, ρВ – коэффициент оседания. Динамика изменения замутнённости описывается следующим уравнением:

где Bn – скорость загрязнения атмосферы в результате естественных процессов выветривания, эрозии и др. (≈0,78 т/(км2 год)), bGCj – свободный член в линейном уравнении, описывающим связь между энергетикой и экономикой.

Загрязнение океана. Мировой океан загрязняется сточными водами, загрязнениями атмосферы, которые попадают с осадками, при различных авариях. Основные загрязнения океана – нефть, Pb, Hg, As и другие тяжёлые металлы. Тяжёлые металлы накапливаются в морских организмах, что делает их непригодными для по-

68

требления человеком. Фоновые природные концентрации тяжёлых металлов в океанских водах сейчас в 5–10 раз превышены.

Наряду с вредными для биоты загрязнителями в океан в огромных количествах поступают биогенные элементы, вносимые с бытовыми стоками и смытыми с полей удобрениями. В некоторых случаях такие стоки безвредны, но часто они приводят к эвтрофикации – вторичному биологическому загрязнению. При этом происходит чрезмерное размножение и развитие водорослей, которые потребляют весь растворённый в воде кислород, вызывая массовую гибель остальной составляющей биоты. Процессы эвтрофикации могут быть вызваны и естественными факторами (например в районе Перуанского течения), но в данном случае они сбалансированы и не опасны для динамики океанских экосистем

Океан способен к самоочищению. Тяжёлые металлы включаются в нерастворимые соединения моллюсков и оседают на дне, нефть и другие органические вещества испаряются и окисляются микрофлорой и под действием ультрафиолетовой части солнечного спектра, превращаясь в безвредные соединения. В конечном счёте речь идёт об оценке качества воды в биосфере, которое определяется концентрацией содержащихся в ней компонентов загрязнителей. Если обозначить через y вектор из этих компонентов, то одномерное уравнение динамики для него будет иметь следующий вид:

где х – пространственная переменная, ∆(x, t) – коэффициент турбулентной диффузии, Q(x, t) – интенсивность потока воды в направлении Х, А – перпендикулярная направлению потока площадь, G(y, x, t) – скорость разложения загрязнителя, S(x, t) – интенсивность генерации загрязнителя в точке х в момент времени t.

Кроме того, в уравнении (55) необходимо добавить граничные условия: y(x,0) = g(t), x Ω,

y(x, t) = f(t), x Γ(Ω),

∂y(x, t) = h(t), x Γ(Ω),

∂x

где Ω и Γ(Ω) – область изменения х и её граница.

Рассмотрим случай, когда загрязнителем является нефть. Пусть в момент t = 0 в районе функционирования некоторой экосистемы на границе атмосферы и океана появляется выброс нефтепродуктов. Нефть, при попадании в океан, растекается по поверхности воды, образуя огромные нефтяные пятна. 1 тонна нефти образует пятно диаметром около 12 км2. Нефтяная плёнка нарушает газообмен океана с атмосферой и ухудшает светопропускание. Часть нефти (около 35 %) испаряется. Микроорганизмы используют углеводороды нефти в качестве источника углерода и водорода, многие микробионты способствуют транзиту нефти в грунт. Обозначим через y1, y2, и y3 концентрации нефтепродуктов в воде, атмосфере и донных отложениях, а через δ – толщину пятна в начальный момент времени t = 0. Тогда задача определения концентрации нефтепродуктов в каждой из трёх сред сводится к следующей краевой задаче:

69

где g1i (x, t) – функция, учитывающая уменьшение концентрации нефтепродуктов в i-й среде за счёт химического окисления, g2i (x, t) – то же, но за счёт биохимического

окисления, αi = αi(x), βi = βi(x), γi (i = 1, 2, 3) – коэффициенты соответственно турбулентной диффузии, адвекции и гравитационного оседания, Ω1 = {x: 0 < x < x1}, Ω

2 = {x: –∞ < x < 0}, Ω3 = {x: x1 < x < x2} – окрестности нефтяного пятна, h1, h2, h3 –

коэффициенты пропорциональности для процессов соответственно испарения, биохимического окисления и оседания, ξ(х) – функция, отражающая уменьшение концентрации нефтепродуктов в воде вследствие уноса водяной пыди и движения воздуха у поверхности воды.

Условия (56)–(59) являются начальными, а (60)–(62) – граничными. Равенства (63) характеризуют изменение во времени концентраций нефтепродуктов на стыках различных сред. Первое из условий (61) очевидно, а второе говорит о том, что в осадках нефтепродукты находятся только в слое толщиной х2 – х1. Условие (62) выражает факт пропорциональности градиентов изменения концентраций на стыке воды и донных осадков. Условия (63) выражает закон сохранения: сумма масс нефтепродуктов, находящихся в любой момент времени в атмосфере, морской воде и дон-

70