Sem_razmyshleniy_na_temy_filosofii_matematiki_pdf

сом: можно ли отделить математику от словесных форму­ лировок? Иначе говоря, пребывает ли математика исклю­ чительно в математических текстах или же математика имеет некоторую отличную от текстов сущность, а тексты служат лишь тем или иным (и потому, может быть, не всеща удачным) способом выражения этой сущности? Повидимому, этот вопрос, который мы назвали более «глубо­ ким», применйм не только к математике, но и к любой другой науке. Математика же выделяется среди других наук тем, что она есть, по формулировке Энгельса из «Диа­ лектики природы», «абстрактная наука, занимающаяся умственными построениями, хотя бы и являющимися от­ ражениями реальности»1[1, с. 529].

По-видимому, всё же математические понятия, как и всякие разумные понятия, существуют в виде пред­ ставлений, не обязательно связанных с текстами. Опре­ деляющие же эти понятия словесные тексты следует признать важным, но не единственным средством их усвоения.

Думается, сегодня мы располагаем более совершен­ ными инструментами внедрения в сознание обучающе­ гося понятий предела и предельной точки последова­ тельности (обучающегося, не имеющего специальных «математических способностей», которые — при со­ временном понимании этого взятого в кавычки слово­ сочетания — предполагают умение свободно воспри­ нимать именно словесные формулировки). Представим себе экран, на котором отображается траектория дви­ жения точки, неограниченно приближающейся к неко­ торой неподвижной точке, которая и есть предел. Этот сюжет многократно повторяется с изменением как поло­

1 Эти построения вряд ли могут быть осуществлены человече­ ским умом, если они не опираются на общечеловеческую логику, а следовательно, на реальность, из оперирования с которой эта ло­ гика происходит.

461

жения предела (чтобы не создавалось ложного впечат­ ления, будто у всех последовательностей один и тот же предел), так и способа приближения движущейся точ­ ки к пределу (чтобы не создавалось, в частности, лож­ ного впечатления, что расстояние между движущейся точкой и её пределом изменяется монотонно). Можно представить и аналогичную наглядную иллюстрацию понятия предельной точки, когда траектория хотя и не­ ограниченно приближается временами к этой точке, но вместе с тем опять-таки временами отдаляется от неё на большое расстояние. Кажется правдоподобным, что у любого наблюдающего такие картинки возникнет правильное представление и о пределе, и о предельной точке.

Можно быть уверенным, что с внедрением компьюте­ ров преподавание пойдёт по пути визуализации понятий, традиционно считавшихся совершенно абстрактными. (Колмогоров, кстати, неоднократно высказывал мысль, что следует изучать те наброски, которые делает на бу­ маге математик, занимаясь самыми абстрактными по­ строениями. Изучать надо даже те движения пальцами, которые математик в это время производит. Колмогоров полагал, что это может быть полезным и для математи­ ки, и для психологии.)

Если бы излагаемая тема имела только педагогиче­ ское значение, мы бы не останавливались на ней так по­ дробно в сочинении философского характера. Однако тема выходит за рамки педагогики, смыкаясь с вопросом об онтологической природе математических сущностей. Вопрос же этот, как и всякий разумный теоретический вопрос, имеет прикладное значение — в данном случае, в порядке обратной связи, педагогическое. В самом деле, если математическое понятие имеет сущность, отдель­ ную от воплощения в словесном определении или фор­ муле, то можно надеяться на лучшее понимание этой

462

сущности путём демонстрации различных её проявле­ ний (а не только формулировки).

Чтобы не быть голословными, приведём пример. В учебном пособии [25, с. 71-72] приведена формула, определяющая некое математическое понятие — так на­ зываемый конус Кларка. Сформулировав определение, авторы пишут: «Однако с первого взгляда невозможно понять ни свойств конуса Кларка, ни самого смысла его формального определения». И дальше они сперва приво­ дят эвристические соображения, позволяющие уяснить конус Кларка, а затем переводят эти соображения на язык нестандартного анализа. Здесь можно уловить мысль, что понятие конуса Кларка существует как бы само по себе; определение же в виде формулы — лишь один из спосо­ бов (и не наиболее удобный) постижения этого понятия, а для лучшего постижения полезны описания вроде «ре­ зультаты разглядывания множества в микроскоп» [25, с. 86]. Независимо от того, так ли это на самом деле, пред­ ставляется плодотворной следующая рабочая гипотеза: подлинно глубокое математическое понятие или матема­ тическое утверждение должно быть в своей сути просто. А тогда есть надежда, что оно окажется понятным (или, лучше сказать, понятым): ведь к простому легче привык­ нуть, а мы не знаем иного толкования для «понять», чем «привыкнуть».

Список литературы

1. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20. М.: Госполитиздат, 1961.

2.Пуанкаре А. О науке / Пер. с фр. под ред. JI. С. П о н-

тр я г и н а. М.: Физматлит, 1983. 560 с.

3.Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем.

И.С. Г р а д ш т е й н а под ред. П. К. Р а ш е в с к о г о . M.-J1.: Гостехиздат, 1948. 491 с.

463

4.Нейгебауэр О. Лекции по истории античных мате­ матических наук. Т. 1: Догреческая математика. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 243 с.

5.Толковый словарь русского языка / Под ред.

Д.Н. У ш а к о в а. Т. 2. М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1938. Стлб. 832.

6.Бурбаки Н. Теория множеств / Пер. с фр. Г. Н. П о-

в а р о в а и Ю .А .Ш и х ан о в и ч а под ред. В. А. У с п е н-

ск о г о. М.: Мир, 1965. 455 с.

7.Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер.

сангл. В. С. Ч е р н я в с к о г о под ред. В. А. У с п е н-

ск о г о. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 485 с.

8.Hornby A. S., Parnwell Е. С. An English-Reader’s Dictionary. L.: Oxford University Press, 1959. 511 p.

9.Юшкевич А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, 1961. 448 с.

10.Потоцкий М. В. О педагогических основах обу­ чения математике: Пособие для учителей. М.: Учпед­ гиз, 1963. 200 с.

11.Горский Д. Определение // Философская энцикло­ педия. Т. 4. М.: Сов. энциклопедия, 1967. С. 150-152.

12.Успенский В. А. Предисловие // Математика в со­ временном мире. М.: Мир, 1967. С. 5-11.

13.Божич С. П. О способах истинностной оценки естественнонаучного высказывания // Логика и эмпи­ рическое познание. М.: Наука, 1972. С. 243-255.

14.Изоморфизм // Большая Советская Энциклопе­ дия. 3-е изд. Т. 10. М.: Сов. энциклопедия, 1972. С. 98.

15.Демидов С. С. К истории аксиоматического мето­ да // История и методология естественных наук. Вып. 14: Математика. Механика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973.

С.74-91.

16.Рашевский П. К. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4 (172).

С.243-246. [В настоящем сборнике — приложение II

на с. 537-547.]

464

17.Appel К., Haken W. Every planar map is four colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. 1976. Vol. 82. No 5. Pp. 711-712.

18.Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Part I: D ischarging // Illinois Journal of Mathematics. 1977. Vol. 21. No 3. Pp. 429-490.

19.Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Part II: R educibility // Illinois Journal of Mathematics. 1977. Vol. 21. No 3. Pp. 491-567.

20.Appel K., Haken W. The solution of the Four-Color- Map problem // Scientific American. 1977. Vol. 237. No 4. Pp. 108-121.

21.Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. М.: Физматлит, 1982. 111 с.

22.Плиско В. Е. Теорема // Математическая энци­ клопедия. Т. 5. М.: Сов. энциклопедия, 1985. Стлб. 334— 335.

23.Толстите А. В. Ферма теорема // Математиче­ ская энциклопедия. Т. 5. М.: Сов. энциклопедия, 1985. Стлб. 605-608.

24.Козырев В. П., Юишанов С. В. Теория графов (Ал­ горитмические, алгебраические и метрические пробле­ мы) // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1985. Т. 23. С. 68-117.

25.Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифферен­ циалы и их применения: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1985. 86 с.

26.Уроки открывает беседа с математиком JI. Понтрягиным: Интервью академика JI. С. Понтрягина «Учи­ тельской газете» // Учительская газета. 1985. 23 мая.

27.Cantor G. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1878. Bd. 84. S. 242-258. (Русский перевод см. в работе [30, с. 22-35].)

28.Cantor G. U ber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 6 // Mathematische Annalen. 1884.

465

Bd. 23. H. 4. S. 453—488. (Русский перевод см. в работе [30, с. 106-139].)

29.Cantor G. Gesammelte Abhandlungen. Berlin: Springer, 1932. 486 S.

30.Кантор Г. Труды по теории множеств / Пер. с нем.

Ф.А. М е д в е д е в а , П. С. Ю ш к е в и ч а . Отв. редак­ торы А. Н. К о л м о г о р о в , А. П. Ю ш к е в и ч . М.: Наука, 1985. 430 с.

31.Сох D. A. Introduction to Fermat’s Last Theorem // American Mathematical Monthly. 1994. Jan. Pp. 3-14.

32.Сингх С. Великая теорема Ферма / Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2000. 288 с. (Оригинальное издание: Singh S. Fermat’s Last Theorem. L.: Fourth Estate, 1997.)

33.Thomas R. An update on the Four-Color Theorem // Notices of the American M athematical Society. 1998. Vol. 45. No 7. Pp. 848-859.

34.Самохин А. В. Проблема четырёх красок: неокон­ ченная история доказательства // Соросовский образо­ вательный журнал. 2000. Т. 6. № 7 (56). С. 91-96.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Проблема континуума и языки второго порядка

На языке второго порядка можно написать такую си­ стему аксиом, что наличие или отсутствие у неё модели будет равносильно соответственно подтверждению или опровержению континуум-гипотезы. А если соединить все эти аксиомы знаком конъюнкции, то возникнет формула второго порядка, которая тогда и только тогда имеет мо­ дель, когда континуум-гипотеза справедлива; такая форму­ ла и была обещана на с. 425, в конце четвёртого размыш­ ления. Указанную систему аксиом мы и намерены выпи­ сать в настоящем приложении.

466

Пусть множество М обладает следующими свойства­ ми: 1) его мощность континуальна; 2) в нём выделено не­ которое такое подмножество Q счётно-бесконечной мощности, что всякое подмножество множества, содер­ жащее, в свою очередь, Q в качестве подмножества, име­ ет мощность либо счётно-бесконечную, либо контину­ альную. Легко проверить, что возможность такого мно­ жества равносильна подтверждению континуум-гипотезы. Поэтому всякое такое М временно условимся называть подтверждающим. Наша цель — выписать систему ак­ сиом, задающую подтверждающее множество. Для этого мы воспользуемся следующей теоремой из теории упо­ рядоченных множеств: всякое линейно упорядоченное множество, обладаю щ ее плотным в нём счётно­ бесконечным подмножеством и такое, что любое его се­ чение дедекиндово, имеет мощность континуума. (На­ помним, что сечением линейно упорядоченного множе­ ства называется такое его разбиение на два класса, нижний и верхний, что любой элемент нижнего класса предшествует любому элементу верхнего класса. Сече­ ние называется дедекиндовым, если либо в нижнем клас­ се есть наибольший элемент, либо в верхнем классе есть наименьший элемент, но не то и другое вместе.) Система аксиом, которую мы собираемся выписать, как раз и за­ даст нам в качестве подтверждающего такое линейно упорядоченное множество, причём в роли Q выступит плотное подмножество. (Напомним, что линейно упоря­ доченное множество называется плотным, коль скоро для любых двух его различных элементов найдётся тре­ тий, расположенный между ними.)

Но прежде чем выписывать аксиомы, необходимо указать сигнатуру. Наша сигнатура имеет четыре члена. Она состоит из константы Oq, имени Q одноместного отношения (т. е. свойства), имени -< двуместного отно­ шения и имени «'» одноместной операции. Об этих чле­

467

нах сигнатуры не требуется знать ничего, кроме того, что будет записано в аксиомах.

Как известно, носителем модели называется множе­ ство её элементов. Все операции и отношения модели считаются заданными на её носителе.

Начнём выписывать аксиомы, попутно их комментируя.

HI. \ / х \ / у \ / z{x < у А у < z= > х <z).

Н2. Vx_,(x Ах).

НЗ. V xV y(xA yV y A xV Х = у ) .

Аксиомы Н1-НЗ утверждают, что отношение А пред­ ставляет собою строгий линейный порядок, определён­ ный на носителе модели. Таким образом, этот носитель оказывается линейно упорядоченным множеством.

Н4. УР{ ЗхР(х)А 3 у “ 1Р(у) Л VxУу[Р(х) Л^Р(у) => => х А у] => [ 3 и[Р{и) А V х (Р (х ) => х А и V х = и)] V 3 v[—'P(v)A V y (-'Р(у) => v А у Vy = v)]] Л

—| [Зм [Р (м )Л V х (Р (х ) => х А MV х = и)] А 3 v[ ^P (v) Л Vy( Р(у) => v Ау Vy = v)]]}.

Аксиома Н4 утверждает, что линейный порядок на носителе является дедекиндовым. (Сечение образуется областями истинности свойств Р и - 1Р .)

Н5. VxVz[x Az => 3y(Q (y)A x АуЛу A z)].

Аксиома Н5 утверждает, что между любыми двумя элементами носителя найдётся элемент из области ис­ тинности свойства Q (т. е. из множества тех элементов носителя модели, которые обладают этим свойством). Иначе говоря, аксиома утверждает, что эта область плотна в носителе.

468