Sem_razmyshleniy_na_temy_filosofii_matematiki_pdf

Бывают и неэлементарные формулы, но они принад­ лежат неэлементарному языку. В этом языке допускают­ ся переменные более сложной природы — предикатные переменные валентности 1, значениями которых служат свойства (= одноместные отношения), предикатные пере­ менные валентности 2, значениями которых служат би­ нарные (= двуместные) отношения и т. п., а также функ­ циональные переменные (значением функциональной переменной валентности 1 может быть любая одномест­ ная операция, такая, как, скажем, «следование за», а зна­ чением функциональной переменной валентности 2 мо­ жет быть любая двуместная операция, такая, как скажем, сложение). Аксиома индукции служит примером неэле­ ментарной формулы. Более точно, неэлементарный язык с описанными только что возможностями называется языком 2-го порядка: это значит, что в нём допускаются переменные, пробегающие по отношениям и операциям (каковые отношения и операции должны быть определе­ ны на элементах структуры), но не рассматриваются бо­ лее сложные переменные, значениями которых могут служить, скажем, свойства операций или операции над отношениями (или свойства отношений, такие как «тран­ зитивность»), Аксиома индукции служит примером не­ элементарной формулы языка 2-го порядка (или просто примером формулы 2-го порядка).

Казалось бы, — и наличие аксиом Пеано это как бы подтверждает — возможна система неэлементарных ак­ сиом 2-го порядка (т. е. аксиом, записанных в виде фор­ мул этого неэлементарного языка), определяющая поня­ тие натурального ряда в следующем точном смысле:

1)N является моделью этой системы;

2)всякая модель этой системы изоморфна N. Однако здесь возникают неожиданные, но совершен­

но фундаментальные трудности семантического (можно даже сказать — гносеологического) характера. Дело

421

в том, что уже для языка 2-го порядка (не говоря уже о более сложных неэлементарных языках) само понятие модели теряет необходимую ясность. Это положение ил­ люстрируется следующим примером, связанным с так называемой проблемой континуума.

Как известно, количество элементов какого-либо множества называется кардинальным числом, или мощ­ ностью, этого множества. Понятие кардинального чис­ ла, или мощности, является обобщением понятия нату­ рального числа, поскольку натуральные числа — это мощности конечных множеств. Среди бесконечных мощностей выделяются следующие две: мощность мно­ жества всех натуральных чисел и мощность множества всех действительных чисел (или всех точек какой-либо прямой). Первая обозначается К0 (читается «алеф-ноль») и называется счётно-бесконечной мощностью (или бес­ конечной счётной, а чаще — просто счётной, хотя не­ редко бывает полезным называть счётными не только счётно-бесконечные, но и конечные мощности, т. е. на­ туральные числа); вторая обозначается с (строчное готи­ ческое «це») и называется мощностью континуума, кон­ тинуальной мощностью. Эпитеты «счётно-бесконечный» («бесконечный счётный», «счётный») и «континуаль­ ный» распространяются и на множества соответству­ ющих мощностей. Очевидно1, К0 < с.

Знаменитая проблема континуума состоит в выяс­ нении того, существует или нет промежуточная мощ­ ность, т. е. мощность т , удовлетворяющая неравенству

Х0 < m < с.

1 Точнее, это становится очевидным, если разумным образом рас­ пространить отношение строгого порядка «<» с конечных мощностей (т. е. конечных количеств) на все мощности, включая и мощности бес­ конечные (т. е. бесконечные количества).

422

Знаменитая континуум-гипотеза состоит в том, что такой мощности нет. Философский смысл континуумгипотезы очевиден: не существует количества, промежу­ точного между количеством всех натуральных чисел и количеством всех точек прямой линии (или равным ему количеством всех действительных чисел)! Эквива­ лентная формулировка континуум-гипотезы: всякая бес­ конечная часть континуального (т. е. имеющего контину­ альную мощность) множества либо сама имеет мощ­ ность континуума, либо же имеет счётно-бесконечную мощность.

И с т о р и ч е с к а я справка.Континуум-гипотезу высказал ещё в XIX в. Георг Кантор (1843-1918) — великий немецкий (впрочем, родившийся в СанктПетербурге и проведший там первые одиннадцать лет жизни) философ и математик, создатель теории мно­ жеств. Он высказал эту гипотезу не как гипотезу, а как положительное утверждение. А именно: в напи­ санной в 1877 г. статье «К учению о многообразиях» [27, с. 257; 29, с. 132], Кантор заявил, что всякое бес­ конечное множество точек на прямой имеет либо кон­ тинуальную, либо счётно-бесконечную мощность и что это утверждение устанавливается «с помощью индуктивного рассуждения, которое мы не будем здесь приводить». «Строгое исследование этого во­ проса, — завершалась статья, — мы откладываем до другого раза». И действительно, с 1879 г. Кантор на­ чал отдельными порциями публиковать трактат под названием «О бесконечных линейных точечных мно­ гообразиях»; эта серия публикаций должна была увенчаться доказательством заявленного утвержде­ ния. В шестой публикации [28] названной серии это утверждение и в самом деле было доказано, но лишь для узкого класса множеств (а именно, для так назы­

423

ваемых замкнутых множеств). Соответствующая тео­ рема была сформулирована в самом конце статьи [28], и её формулировка сопровождалась утверждени­ ем, что «эта замечательная теорема» (dieser merkwiirdige Satz) остаётся справедливой и для произволь­ ных множеств и что это будет доказано в последу­ ющих параграфах трактата. Таким образом, Кантор, во-первых, доказал, что не существует такого количе­ ства, промежуточного между счётно-бесконечным и континуальным, которое служило бы количеством элементов какого-либо замкнутого множества на пря­ мой линии, а также, во-вторых, обещал предъявить доказательство более сильного утверждения, а имен­ но: что ни для какого (а не только замкнутого) множе­ ства точек на прямой линии количество этих точек не может быть промежуточным. Статье [28], завершён­ ной 15 ноября 1883 г., суждено было стать последней в серии. Кантор обнаружил, что не в состоянии вы­ полнить своё обещание, поскольку не располагает до­ казательством для общего случая. Это осознание име­ ло драматические последствия. В мае 1884 г. Кантора постиг первый приступ нервной болезни. Через ме­ сяц приступ прошёл, но болезнь уже не отпускала свою жертву, а с 1899 г. приступы участились. После 1897 г. Кантор уже ничего не публиковал, а в 1918г. умер в нервной клинике.

Ныне известно (в силу результатов, полученных К. Гё­ делем и П. Коэном), что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Говоря «доказать» и «опровергнуть», мы имеем в виду все мыслимые сред­ ства, допускаемые современной математикой. А значит, повисает в воздухе вопрос о самом смысле континуумгипотезы. В самом деле, смысл утверждения, истинность или ложность которого заведомо нельзя установить ника­

424

кими средствами, воспринимается как туманный. Эта чрезвычайная ситуация радикально отличается от такого часто встречающегося положения, когда мы просто чегото не знаем (но хотя бы ясно понимаем сам вопрос1).

Оказывается, что можно выписать формулу 2-го по­ рядка, которая тогда и только тогда имеет модель (т. е. та­ кую структуру, в которой она становится верна), когда континуум-гипотеза справедлива. Можно выписать и та­ кую формулу 2-го порядка, наличие у которой модели равносильно, напротив, наличию промежуточной мощно­ сти, т. е. справедливости отрицания континуум-гипотезы. Таким образом, для формул 2-го порядка вопрос о нали­ чии у них модели может оказаться столь же туманным, как сама континуум-гипотеза. (Пример формулы, облада­ ющей указанным свойством, интересующийся читатель найдет в приложении к данной статье, на с. 466-469.)

Кажется сомнительным, чтобы язык со столь неяс­ ной семантикой мог служить удовлетворительным средством для аксиоматического определения чегонибудь, в частности натурального ряда.

И действительно, если мы проанализируем исполь­ зование аксиомы индукции в процессе доказательства того, что любая модель аксиом I—III изоморфна N, мы увидим, что здесь, по существу, используется то самое понятие натурального числа, которое мы ещё только со­ бираемся аксиоматически определить. Наше свойство Р0означает «иметь вид 0" '». Многоточие между штри­ хами в выражении «О"-'» как раз и пытается заменить собою общее представление о натуральном числе. А вы­ разить свойство Р0без априорного представления о на­ туральном числе или без заменяющих его многоточия или слов «и так далее» невозможно.

1 А залог ясности понимания вопроса состоит в ясности по­ нимания возможных ответов на него.

425

5. «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя

ни доказать, ни опровергнуть?»

Именно так было озаглавлено пятое размышление

вопубликованном в 1987 г. первоначальном тексте этой работы. В то время убеждение в справедливости Вели­ кой теоремы Ферма основывалось на некой иррацио­ нальной вере: доказательство теоремы отсутствовало, отсутствовало и опровержение. Напомним, что опровер­ жение какого-либо утверждения состоит в доказатель­ стве его ложности; опровергнуть утверждение — значит доказать, что оно является ложным, иначе говоря, дока­ зать его отрицание.

Однако с тех пор в мировой науке произошло важное событие: более чем через 350 лет после того, как была сформулирована Великая теорема Ферма, она была нако­ нец доказана! Автором доказательства стал сорокалетний англичанин Эндрю Уайлс (A. Wiles), выпускник аспиран­ туры Кембриджа, переехавший в 1980-е гг. в Америку и ставший профессором Принстонского университета.

Доказательство Уайлса рождалось с драматизмом, до­ стойным Великой теоремы. После многих лет упорной работы к маю 1993 г. Уайлс был убеждён, что обладает доказательством, которое он изложил в общих чертах

втрёх лекциях, прочитанных в его родном Кембридже 21-23 июня 1993 г. В номере от 5 июля 1993 г. известный американский журнал «Тайм» посвятил этому событию статью с подзаголовком «Решена самая знаменитая математическая проблема в истории». В январе 1994 г. популярный математический журнал опубликовал ста­ тью [31] о многовековой осаде Великой теоремы Фер­ ма — осаде, завершившейся предпринятым Уайлсом се­ милетним штурмом; впрочем, в конце статьи содержа­ лось следующее примечание:

426

На декабрь 1993 г. рукопись Уайлса ещё не обна­ родована. Кен Райбет (Ken Ribet) отмечает, что при­ менительно кдлинным рукописям подобная задержка является сравнительно нормальной. Большинство экспертов продолжает верить в то, что в основном доказательство правильно.

Однако когда Уайлс записал своё доказательство, в нём обнаружился пробел (т. е. недоказанный логиче­ ский переход). Над учёным нависла угроза провала. (Здесь уместно вспомнить судьбу Георга Кантора.) К сча­ стью, в сентябре 1994 г. с помощью своего ученика Ри­ чарда Тэйлора (R. Taylor) Уайлс сумел пробел устранить. Уточнённое доказательство Уайлса теперь уже не под­ вергается сомнению в мире математиков. Подробнее обо всём этом можно прочесть в замечательной книге Сай­ мона Сингха [32].

Итак, теорема Ферма доказана. Поэтому избранный нами в качестве заголовка вопрос «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опро­ вергнуть?» потерял свой смысл и потому взят в кавычки; сегодня ответом на него должно служить уверенное «нель­ зя». Попробуем, однако, перенестись в прошлое, когда теорема Ферма ещё не была ни доказана, ни опровергну­ та. Будем рассуждать в рамках того прошедшего време­ ни, когда ещё не было известно, появится ли когда-либо доказательство или опровержение Великой теоремы. С современной точки зрения, настоящее, пятое, размыш­ ление, вероятно, следовало бы озаглавить так: «Можно ли когда-либо было ожидать (опасаться, надеяться) полу­ чить доказательство того, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?». Мы увидим, что ожидать этого было никак нельзя.

Проблема континуума, упомянутая в конце нашего предыдущего размышления, относится к числу главных

427

проблем, волновавших умы математиков. В знаменитом докладе «Математические проблемы», с которым великий Гильберт выступил в 1900 г. на Международном конгрессе в Париже, она была названа первой. Как было отмече­ но, проблема континуума оказалась неразрешимой: континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опроверг­ нуть. Перечисляя 23 основные проблемы математики, Гильберт не упомянул проблему доказательства (или опро­ вержения) Великой теоремы Ферма. По-видимому, Гиль­ берт не считал эту проблему достаточно важной. Тем не менее нет сомнения, что это самая знаменитая из не решён­ ных в то время математических проблем. И притом един­ ственная из таких проблем, известных, к сожалению, ши­ рокой массе нематематиков. Мы написали «к сожалению», ибо ощутимую долю времени математики-профессионалы тратят на изучение и опровержение сочинений ферматистов — так называются люди, не имеющие должной мате­ матической подготовки, но считающие, что они доказали теорему Ферма.

Если считать, что под теоремами следует понимать лишь те математические утверждения, истинность кото­ рых установлена путём доказательства, то теорему Фер­ ма нельзя называть теоремой, а следует называть гипоте­ зой Ферма. Ведь доказательство «теоремы Ферма» ещё не найдено1. Но если обозначать словом «теорема» мате­ матическое утверждение, истинность которого подле­ жит установлению путём доказательства, то термин «те­

1 Впрочем, не все придерживаются этой точки зрения. Так, Виктолий Иванович Будкин на с. 45 своей книги «Методика по­ знания „истины44. Доказательство Великой теоремы Ферма» (Яро­ славль: Верх.-Волж. кн. изд-во, 1975) указывает: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится пол­ ное доказательство теоремы в общем виде». Следует отметить, что подавляющему большинству ферматистов всё же не удаётся опуб­ ликовать свои псевдодоказательства.

428

орема Ферма» оказывается законным. Как бы то ни было, мы будем употреблять именно его. (Не чуждого термино­ логических проблем читателя приглашаем взглянуть на статьи «Теорема» и «Ферма теорема» в «Математической энциклопедии» [22,23].)

Много факторов способствовало популярности теоре­ мы Ферма в среде непрофессионалов. Среди них: 1) авто­ ритетность автора (теорему сформулировал великий французский математик Пьер де Ферма); 2) почтенность возраста (она была высказана около 1630 г.); 3) ро­ мантические обстоятельства, при которых она была сфор­ мулирована (Ферма записал её на полях латинского пере­ вода «Арифметики» Диофанта издания 1621 г. Восьмая задача второй книги «Арифметики» Диофанта гласит: «Заданный квадрат разложить на два квадрата». Ферма сделал к этой задаче следующее замечание (также на ла­ тыни): «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата — вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же по­ казателем. Я открыл этому поистине чудесное доказа­ тельство, но эти поля для него слишком узки». В бумагах Ферма доказательства найдено не было); 4) учреждение в 1908 г. премии Вольфскеля в 100 тысяч германских ма­ рок за доказательство теоремы Ферма («приятный» факт учреждения большой премии, естественно, получил го­ раздо большую известность, чем «неприятный» факт её обесценивания вследствие наступившей после Первой мировой войны инфляции); 5) простота формулировки.

Конечно, первые четыре фактора не смогли бы срабо­ тать, не будь теорема Ферма столь общедоступна по сво­ ей формулировке. Вот в чём она состоит: каково бы ни было целое число п, большее чем 2, уравнение х" + У' = z"

не имеет целых положительныхрешений.

Как видим, участвующее в формулировке теоремы Ферма уравнение рассматривают как уравнение с тремя

429

неизвестными: х, у, z. Поскольку п может принимать зна­ чения 3, 4, 5, 6 и т. д., то на самом деле речь идёт о бес­ конечной серии уравнений и утверждается, что ни одно из них не имеет решения в таких целых х, у, z, что х > О, у > 0, z > 0. С логической точки зрения, более естествен­ но рассматривать уравнение х" +у” - z”как одно уравне­ ние с четырьмя неизвестными п, х, у, z. Теорема Ферма, стало быть, утверждает, что это уравнение не имеет це­ лых решений, таких что п > 2, х > 0, у > 0, z > 0.

Современные эксперты сходятся во мнении, что Фер­ ма на самом деле не обладал доказательством своей тео­ ремы, хотя, возможно, умел её доказывать для двух част­ ных случаев, а именно: для случая, когда показатель сте­ пени п равен 3, и для случая, когда этот показатель равен 4. Впервые доказательства для этих двух случаев были опубликованы великим швейцарским и российским ма­ тематиком Эйлером в XVIII в. Заметим, что из доказа­ тельства теоремы Ферма для какого-либо показателя п немедленно вытекает её доказательство для всех показа­ телей, делящихся на п. Таким образом, ещё в XVIII в. теорема была доказана для всех показателей, делящихся на 3 или на 4. Далее теорема Ферма была доказана последовательно для показателей, делящихся на 5 (1825 г.), на 14 (1832 г.), на 7 (1839 г.). К 1978 г. справедливость теоремы Ферма была установлена для всех показателей, меньших 125 ООО. Однако все эти успехи не позволяют утверждать истинность теоремы Ферма в её полном объ­ ёме, т. е. утверждать отсутствие таких положительных целых чисел х, у, z, которые смогли бы удовлетворить уравнению х" + у" - z nхотя бы при одном каком-нибудь показателе п, большем чем 2.

Попытки доказать теорему Ферма продолжаются. Тео­ ретически могли бы предприниматься и попытки её опро­ вержения, но этого не происходит. Ситуация с гипотезой, называемой «теоремой Ферма», значительно отличается

430