Sem_razmyshleniy_na_temy_filosofii_matematiki_pdf

не следует ни за каким натуральным числом, и т. д.». Та­ ким образом, они опираются на понятия ‘ноль’ и ‘следо­ вать за’ (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т. е. что такое ‘ноль’ и что такое ‘следовать за’), а лишь указывают связи между ними. Причём аксиомы сформулированы таким образом, что если ноль этих аксиом — это обычный Ноль1Натураль­ ного Ряда, а «следование за» означает непосредственное следование одного числа за другим в Натуральном Ряду (так что за Нолём следует Единица, за Единицей —- Двой­ ка и т. д.), то все эти связи будут выполнены в Натураль­ ном Ряду. Иными словами, аксиомы Пеано оказываются верными, истинными утверждениями при естественной их интерпретации на Натуральном Ряду. Но они, разуме­ ется, будут верны не только на Натуральном Ряду, но и на всякой структуре, изоморфной2 Натуральному Ряду. На­ пример, если интерпретировать встречающийся в аксио­ мах Пеано термин «ноль» как наименьшее простое чис­ ло, а термин «следовать за» — как переход от одного про­ стого числа к ближайшему за ним следующему, то при такой интерпретации все аксиомы Пеано окажутся вер­

1 Названия Членов Натурального Ряда — Ноль, Один (Едини­ ца), Два (Двойка) и т. д. — мы пишем с прописной буквы, чтобы подчеркнуть уникальность, т. е. абсолютную единственность, этих членов. Слова «Ноль», «Один» (или «Единица»), «Два» (или «Двойка») и т. д. — собственные имена в абсолютном смысле (та­ кие, как слова «Солнце», «Луна», «Земля»), у каждого из них един­ ственное значение — количество элементов пустого, одноэлемент­ ного, двухэлементного и т. д. множества. А «ноль» аксиом Пеано является именем собственным лишь относительно, в пределах дан­ ного контекста, а точнее, в контексте той структуры, которая опи­ сывается этими аксиомами. Таких структур много, и в каждой из них свой ноль.

2 По поводу понятий «изоморфизм», «изоморфный» мы отсы­ лаем читателей ко второй из двух статей «Изоморфизм» в 3-м из­ дании Большой Советской Энциклопедии [14].

401

ными. Выходит, они, эти аксиомы, не дают даже воз­ можности отличить Натуральный Ряд от совокупности всех простых чисел. Повторяю, они на это и не претенду­ ют. Они претендуют на то, чтобы, как говорят, «опреде­ лить Натуральный Ряд с точностью до изоморфизма»1. Более точно это означает, что аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много математических структур, причём все эти структуры изоморфны Натуральному Ряду и, сле­ довательно, изоморфны между собой. Ещё более точно, аксиомы Пеано определяют весь класс таких структур. Любую такую структуру будем называть натуральным рядом (с маленькой, или строчной, буквы!). Таким обра­ зом, Натуральный Ряд есть один из натуральных рядов.

Говоря коротко, изоморфизм двух математических структур — это взаимно-однозначное соответствие между совокупностями элементов первой структуры и второй структуры, сохраняющее определённые на этих структурах операции и отношения. В нашем при­ мере изоморфизм между структурой N (Натуральный Ряд с операцией «следовать за») и структурой Р (про­ стые числа с операцией «следовать за») задаёт беско­ нечная таблица

Операция «следовать за» при этом соответствии дей­ ствительно сохраняется: 6 следует за 5, и одновременно

1 Хотя обычно говорят «с точностью до изоморфизма», возмож­ но, более правильным было бы говорить «с точностью до изомор­ фии». Дело в том, что изоморфизм — это математический объект, а именно такое соответствие между двумя структурами, которое сохраняет свойства этих структур (несколько более точно — сохра­ няет характерные для этих структур отношения и операции). Изо­ морфия же двух структур означает факт существования изоморфиз­ ма между ними.

402

17 следует за 13, и вообщеу следует зах в верхнем ряду тогда и только тогда, когда соответствующие им члены нижнего рядар у ир х (именно в этом порядке!) следуют один за другим (следуют всмысле, определённом для Р).

Иногда говорят, что Натуральный Ряд — это есть ряд

ноль, один, два, три, ..., сто двадцать шесть, ...

(его членами являются выражения, составленные из русских букв и пробелов между словами); или ряд

0, 1, 2, 3, . . . , 126, . . .

(его членами являются выражения, составленные из арабских цифр); или ряд

0 , 1, I I ,..., CXXVI,...

(его членами являются выражения, составленные из римских цифр с добавлением придуманного нами сим­ вола 0 — «римский ноль»1).

Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд (который состоит из абстрактных количественных категорий и не может быть изображён), а есть всего лишь ряд имён, обозначений для его членов, т. е. для натураль­ ных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имён мо­ жет рассматриваться как один из натуральных рядов с ма­ ленькой буквы.

Ситуация с Натуральным Рядом имеет универсаль­ ный характер. Аналогичным образом обстоит, например, дело с тем трёхмерным евклидовым пространством,

' Не отсутствием ли «римского ноля» в традиционном наборе символов объясняется упорное исключение ноля из натурального ряда? Короче говоря, не находимся ли мы в этом вопросе в плену у латыни?

403

в котором мы живём. Отвлечёмся от того, что мы, скорее всего, живём в неевклидовом пространстве, да и вообще живём в пространстве не математическом, а физиче­ ском1, а это разные вещи. Вообразим, отвлекаясь от ре­ альности, что мы живём в совершенно конкретном трёх­ мерном Евклидовом Пространстве (мы опять употребля­ ем прописные буквы, чтобы подчеркнуть уникальность этого пространства). Конечно, его нельзя определить ни­ каким числом аксиом, а можно только «указать паль­ цем». С другой стороны, существуют многочисленные системы аксиом (наиболее известная из них принадле­ жит Гильберту [3]), определяющих это пространство «с точностью до изоморфизма». Взятое в кавычки выраже­ ние означает, что система аксиом определяет целый класс изоморфных между собой пространств, а наше «реальное» Евклидово Пространство — одно из них.

Вообще, никакая система математических аксиом ни­ когда не определяет какую-либо структуру однозначным образом, в лучшем случае — с точностью до изоморфиз­ ма. (Мы говорим «в лучшем случае», поскольку бывают

ивесьма важные системы аксиом, определяющие класс неизоморфных структур. Например, аксиомы теории групп определяют математические структуры, называе­ мые группами, но не все они изоморфны между собой.)

Подведём итоги. Определить аксиоматически Нату­ ральный Ряд невозможно. Можно пытаться определить аксиоматически понятие натурального ряда, т. е. поня­ тие произвольной структуры, изоморфной Натурально­ му Ряду. Обсуждению этих попыток мы посвящаем наше следующее размышление.

1Заметим в связи с этим, что «физический» Натуральный Ряд, скорее всего, отличается от своей математической модели — «ма­ тематического» Натурального Ряда. См. по этому поводу глубокую

инедостаточно оценённую статью П. К. Рашевского [16], вошед­

шую в настоящее издание как приложение II (см. с. 537-547).

404

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда

(со строчной буквы)?

Итак, приступим к попыткам определить аксиомати­ чески понятие натурального ряда — структуры, изо­ морфной Натуральному Ряду. Как только произносится слово «изоморфизм», тем самым предполагается, что указано, какие отношения и операции должны сохра­ няться при этом изоморфизме. Следовательно, мы долж­ ны прежде всего точно указать, какие отношения и опе­ рации мы желаем рассматривать на Натуральном Ряду и изоморфных ему натуральных рядах. В число этих операций могут быть включены нольместные операции (т. е. индивидные константы; например, индивидную константу «ноль» можно рассматривать как нольместную операцию) и одноместные отношения (т. е. свой­ ства). Указание этих выделенных операций и отношений в значительной мере произвольно. Например, можно рассматривать Натуральный Ряд (а значит, и любой изо­ морфный ему натуральный ряд): 1) как структуру лишь с отношением порядка «<», или 2) как структуру с выде­ ленным элементом «ноль» и операцией «переход к сле­ дующему», или 3) как структуру, в шторой помимо уже названных отношений и операций выделены ещё опера­ ции сложения и умножения.

Для наших целей нагляднее всего не задавать ника­ ких операций, а задать лишь отношение порядка «<» . Итак, мы рассматриваем каждый натуральный ряд как множество, на котором определено бинарное отношение порядка «<» . Именно свойства такой математической структуры мы и будем исследовать.

Перейдём к перечислению этих свойств. Каждое свойство отношения «<» в произвольном натуральном ряду должно (в силу наличия изоморфизма) иметь место

405

и в обычном Натуральном Ряду, когда отношение «<» понимается как обычное отношение порядка между на­ туральными числами. После этого замечания сформули­ руем несколько таких свойств.

1. Отношение «<» транзитивно. В символах:

VxVyVz(x < у Л у < z =>х < z).

2. Отношение «<» антирефлексивно. В символах:

Vx—|(х<х).

3. Отношение «<» связно. В символах:

VxVy(x < у V у < х V х =у).

Эти три свойства в своей совокупности утверждают просто-напросто, что «<» есть отношение строгого ли­ нейного порядка.

Прежде чем двигаться дальше, остановимся и задума­ емся: а зачем, собственно, мы перечисляем эти свойства? А вот зачем. Мы надеемся, что, перечислив некоторое число свойств, мы сумеем дать аксиоматическое определе­ ние натурального ряда. Более подробно наш план таков. Сперва мы выписываем некоторое число характерных для Натурального Ряда свойств. Затем мы объявляем эти свой­ ства аксиомами и определяем натуральный ряд как произ­ вольную математическую структуру, удовлетворяющую выписанным аксиомам. Мы не претендуем на то, что ров­ но одно определённое множество с заданным на нём би­ нарным отношением «<» будет удовлетворять нашим ак­ сиомам (такая претензия была бы совершенно нереальна), но претендуем на то, что все такие множества (с задан­ ным на них отношением) окажутся изоморфными между собой. А поскольку наши аксиомы будут выполняться на

406

Натуральном Ряду (так мы будем выбирать аксиомы), то Натуральный Ряд будет одной из попарно изоморфных структур, удовлетворяющих аксиомам, и значит, все эти изоморфные между собой структуры будут изоморфны и Натуральному Ряду. Если нам удастся достичь изложен­ ной только что цели, мы и будем считать, что сумели ак­ сиоматически определить натуральный ряд.

Можем ли мы, имея в виду поставленную цель, до­ вольствоваться тремя выписанными свойствами — акси­ омами? Разумеется, нет. Этим аксиомам удовлетворяют все линейно упорядоченные множества, среди которых много неизоморфных и, следовательно, заведомо неизо­ морфных Натуральному Ряду N. Например, множество R всех действительных чисел с обычным отношением по­ рядка будет удовлетворять выписанным трём аксиомам. Наблюдая совместно N и R, мы замечаем, что N имеет по крайней мере два свойства, которых нет в R. Вот они.

4. В N есть наименьший элемент. В символах:

3 xVy(x=y V х < у ) .

5. В N за каждым элементом х непосредственно сле­ дует некоторый у. («Непосредственно» — это значит, что между х и у нет третьего элемента.) В символах:

Vx3y(x <уЛ —I3z(x < zAz <у)).

Эти пять аксиом уже значительно сужают круг удо­ влетворяющих им линейно упорядоченных множеств. Этим аксиомам удовлетворяет Натуральный Ряд, а так­ же, например, такое множество действительных чисел (рассматриваемое с обычным порядком):

407

Наличие этой, отличной от N, структуры (*), удовлет­ воряющей аксиомам 1-5, ещё не служит препятствием к тому, чтобы считать эти аксиомы аксиоматическим определением натурального ряда, ведь эта структура изоморфна N (и, таким образом, может признаваться на­ туральным рядом). Графическое изображение порядка на

(*) (и на N) приведено на рис. 1.

Рис. 1

Легко заметить, однако, что аксиомам 1-5 удовлетворя­ ет и такая структура (т. е. множество плюс отношение порядка):

Графический образ этой порядковой структуры приве­ дён на рис. 2.

( К К К К Н -

Рис. 2

В этой структуре у двух элементов (у 0 и у 10) нет непо­ средственных предшественников. Запретим эту ситуа­ цию следующей аксиомой 6.

6. Если у двух элементов х, и х2 нет непосредствен­ ных предшественников, то они равны. В символах:

Vx1Vx2{[-3 y 1(y1< x1A - 3 z 1(у, <z,Az, <х,))]А д [^3у2(у2<х2 A - 3 z 2(y2<z2Az2 <х2))] =>х, =х2}.

Аксиома 6 исключает структуру (**), но не исключа­ ет такой структуры:

408

Возьмём теперь какое-либо множество с каким-либо определённым на нём бинарным отношением (не обяза­ тельно отношением строгого порядка), обозначаемым че­ рез «<» . Всякое такое множество с отношением «<» бу­ дем называть структурой сигнатуры <. Таким образом, структура сигнатуры < состоит из множества (называе­ мого носителем структуры) и отношения «<». Назначим для каждой индивидной переменной носитель структуры в качестве области изменения этой переменной. Тогда каждая формула становится либо высказыванием, как вторая, третья и пятая формула из приведённого только что списка, либо высказывательной формой, как первая и четвёртая формулы. Формулы, превращающиеся в вы­ сказывания, называются закрытыми1, только их мы и бу­ дем впредь рассматривать. Про (закрытую) формулу, ста­ новящуюся — при рассмотрении на данной структуре — истинным высказыванием, говорят, что она истинна на данной структуре или выполняется на данной структу­ ре, а про структуру — что она удовлетворяет данной

формуле.

Среди структур сигнатуры < выделена структура N — наш обычный Натуральный Ряд с обычным отношением порядка. Будем называть аксиомой любую закрытую фор­ мулу, превращающуюся в истинное высказывание при интерпретации на структуре N. Так вот, какое бы — ко­ нечное или бесконечное — количество аксиом мы ни вы­

1 Нетрудно заметить, что свойство закрытости формулы не за­ висит от того, применительно к какой структуре мы рассматриваем эту формулу; это свойство может быть определено чисто синтак­ сически по внешнему виду формулы. (Все переменные должны быть связаны кванторами; в этом и состоит закрытость.)

410