Sem_razmyshleniy_na_temy_filosofii_matematiki_pdf

неправильно полагать, что в математике всё доказывается, нет сомнений, что понятие доказательства играет в мате­ матике центральную роль. «Со времён греков говорить „математика11— значит говорить „доказательство44» — так начинает свои «Начала математики» Николя Бурбаки [6, с. 231]. Вместе с тем мы отмечали, что понятие дока­ зательства не принадлежит математике (математике при­ надлежит лишь его математическая модель — формаль­ ное доказательство). Оно принадлежит логике, лингви­ стике и больше всего — психологии.

Итак, термин «доказательство» — один из самых главных в математике — не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказатель­ ство — это убедительное рассуждение, убеждающее

нас настолько, что с его помощью мы способны убеж­ дать других [12, с. 8]. Пожалуй, всё-таки следует уточ­ нить, что под словом «нас» в этом определении понима­ ются те, кто слушает или читает доказательство, а не те, кто его воспроизводит, т. е. произносит или пишет.

Восприняв доказательство, мы делаемся в известной степени агрессивными, готовыми убеждать других с по­ мощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не готовы, значит, мы ещё не восприняли предъяв­ ленного нам рассуждения как доказательства, а если

ипризнали его доказательством, то просто чтобы отмах­ нуться.

Заметим, что понятия, присутствующие в нашем опре­ делении доказательства, — либо логико-лингвистические («рассуждение»), либо психологические («убеждающее», «способны убеждать»). Это полностью отвечает сути дела: само представление о доказательстве неразрывно связано с языковыми средствами и с социальной психоло­ гией человека. И то и другое изменяется с ходом истории. Меняется языковое оформление доказательств. Меняется

ипредставление об убедительности.

441

Представление об убедительности зависит не только от эпохи, но и от социальной среды. К сожалению, я не могу сейчас вспомнить, где читал пассаж на следующую тему. Кардиналы, современники Галилея, были неглупые люди, некоторые из них могли воочию наблюдать горы на Луне в Галилеев телескоп, а также с пониманием сле­ дить за логикой рассуждений Галилея. Однако для них их собственные взгляды, основанные на априорной догме, были убедительнее любого эксперимента и любой логи­ ки. (Интересный анализ того, как априорно суженное представление о способах доказывания препятствует признанию некоторых фактов, приведён в статье С. П. Божича [13].)

Представление об убедительности того или иного рассуждения зависит от многих факторов. Выявление этих факторов — важная задача логики и психологии. В число таких факторов входит, например, разделение понятий (а точнее, терминов) на осмысленные и бес­ смысленные. Понятия флогистона и теплорода, считав­ шиеся осмысленными в XVIII в., признаются сейчас бессмысленными. Эйнштейн открыл, что бессмыслен­ ным является и понятие одновременности двух собы­ тий — если считать его объективным, не зависящим от наблюдателя (более точно, Эйнштейн открыл, что одно­ временность не двуместное отношение между двумя со­ бытиями, а трёхместное отношение, членами которого являются 1-е событие, 2-е событие и наблюдатель). С другой стороны, такое «очевидно бессмысленное по­ нятие», как бесконечно малое число, вот уже полвека на­ полняется точным смыслом в рамках так называемого

нестандартного анализа. С изменением представлений об осмысленности или бессмысленности понятий меня­ ется и представление о самой сущности научной исти­ ны. Меняется представление об очевидности. Как в своё

442

время все знали, что гроза вызывается высшими силами, так теперь все знают, что причина грозы — атмосферное электричество. Неспособность инертных газов образовы­ вать химические соединения была настолько очевидной, что это свойство закрепили в самом названии «инерт­ ные». Когда же в 1962 г. были получены первые соедине­ ния, которые эти газы образуют с другими веществами, химики, по-видимому, не испытали никакого стыда, а лишь с удовольствием констатировали, что «для объяс­ нения строения этих соединений не потребовалось прин­ ципиально новых представлений о природе химической связи» (Большая Советская Энциклопедия, 3-е изд., ста­ тья «Инертные газы»).

То, что человеческое знание меняется с ходом истории, разумеется, общее место. Здесь хотелось бы подчеркнуть, что в состав знания входят не только сами факты, но и ис­ ходные предпосылки, презумпции, на основании которых тот или иной факт делается членом системы знаний: представления об осмысленности и бессмысленности, об очевидности и неочевидности, о возможном и невозмож­ ном, о частном и общем, об убедительности и неубе­ дительности, о доказанном и недоказанном, о достовер­ ном и недостоверном. Все эти представления, хотя, воз­ можно, и меняются медленнее простых представлений о фактах, в сущности, так же исторически относительны, как и последние.

Математика иногда воспринимается как скала, непо­ движно возвышающаяся над волнами переменчивых представлений, относящихся к другим наукам. Конечно, основания для такого взгляда на математику имеются. Тем не менее взгляд на математику как нечто абсолют­ ное, видимо, являет собой преувеличение. Если матема­ тика и абсолютна, то только на уровне повседневно­ го опыта — точно так же, как абсолютна ньютоновская

443

физика в применении к явлениям «средних масштабов» (а в очень малом и в очень большом действует уже иная, эйнштейновская физика)1.

В частности, социально-историческая обусловлен­ ность представлений о «доказательствах вообще» рас­ пространяется и на математические доказательства.

Для иллюстрации сказанного автор сейчас попытается изложить вкратце свои представления о понятии доказа­ тельства в Древнем Египте, в Древней Греции и в Индии.

У нас не так много достоверных сведений о том, как излагались и воспринимались математические доказа­ тельства в древности. Многие из дошедших до нас тек­ стов весьма отрывочны; к тому же встречающиеся в них термины зачастую допускают различную интерпрета­ цию2. Многое приходится домысливать. Каждый домыс­ ливает в желательную для себя сторону, и автор этих строк, надо думать, не исключение. С учётом этих огово­ рок можно составить следующую схему.

Представление о доказательстве есть продукт соци­ альной истории общества. Мы отдаём себе отчёт в упро­ щённости наших исторических подходов, приписывая Древнему Египту централизованную государственность, хотя и там были периоды раздробленности, а Древней Греции — демократию, хотя и там случались тираниче­ ские правления. Но любая схема предполагает упро­ щения.

Итак, Древний Египет. Теократическое государство с необычайно сильной центральной властью. В качестве действенного инструмента поддержания централизации, повиновения, порядка выступает постоянное строитель­ ство пирамид, требующее колоссальных людских

иматериальных ресурсов и объединяющее усилия всей

1По поводу «расплывания в большом» представлений о натураль­ ном числе см. уже упоминавшуюся статью П. К. Рашевского [16].

2 См., например, относящееся к толкованию древнеегипетских текстов примечание переводчика С. Я. Лурье в работе [4, с. 139].

444

страны. Авторитет фараона и жрецов непререкаем. Не­ пререкаем и авторитет написанного слова. Если что-то сказал или написал жрец, писец, учитель, значит, это есть истина. Если что-то написано на папирусе, это есть истина. Убедительность основывается на авторитетно­ сти источника.

Математические тексты Древнего Египта содержат го­ товые правила без какого бы то ни было их обоснования. Говоря об отсутствии обоснования, мы имеем здесь в виду современное понимание слова «обоснование». С точки зрения древнего египтянина, написанное на па­ пирусе было полностью обосновано тем, что исходило из авторитетного источника и было запечатлено в автори­ тетной форме записи на папирусе. Факт занесения на па­ пирус, запечатления на нём и был сам по себе доказатель­ ством. Действительно, этого было достаточно для того, чтобы с его помощью убеждать других. Ряд правил для вычисления площадей треугольников и четырёхугольни­ ков не получил в наши дни однозначного толкования; идут споры, как надо понимать входящие в них термины [4, гл. IV, § 2, а]. В зависимости от толкования эти форму­ лы должны восприниматься либо как точные, либо как приближённые, либо как вообще неверные. Говоря о не­ верной формуле, мы имеем в виду выражение площади треугольника через полупроизведение основания на бо­ ковую сторону1. Многие исследователи считают, впро­ чем, что соответствующий древнеегипетский термин надо трактовать не как боковую сторону, а как высоту (и тогда формула из папируса оказывается верной). Однако, даже

1 Вот что говорит по этому поводу академик J1. С. Понтрягин: «Первая известная нам математическая рукопись — это рукопись Ахмеса, составленная за две тысячи лет до нашей эры. В ней содержатся некоторые алгебраические и геометрические правила— например, вы­ числение площади треугольника [...] Однако в папирусе Ахмеса была допущена ошибка. Согласно ему, площадь равнобедренного треуголь­ ника равна произведению основания на половину боковой стороны — а каждый сегодняшний школьник знает, что это неверно» [26].

445

если бы этот термин означал в действительности не высо­ ту, а боковую сторону, соответствующую (неверную, с на­ шей, современной точки зрения) формулу следует считать доказанной в древнеегипетском понимании, ведь эта фор­ мула убедительно обоснована тем, что она (конечно, запи­ санная не с помощью математических символов, а посред­ ством слов) содержится в авторитетном документе.

Иначе обстояло дело в Древней Греции. Сравнительно (с Египтом) небольшие государственные образования с народными собраниями. В народных собраниях высту­ пают ораторы, не являющиеся носителями априорного ав­ торитета. Они должны убедить слушателей посредством рассуждения. Формулирование правильных рассуждений становится повседневной и актуальной потребностью. Отсюда — зарождение логики у Сократа и окончательное оформление её в виде науки у Аристотеля. Отсюда же — приближающиеся к современным представления о дока­ зательстве начало дедуктивного метода в математике. Основой математической убедительности становится рас­ суждение. Возникает понятие об основах правильных рассуждений — аксиомах и правилах логического выво­ да. Убедительно (и следовательно, доказуемо) то, что мо­ жет быть получено «законным рассуждением» из отправ­ ных утверждений, признаваемых справедливыми. (Если задуматься над тем, какие дисциплины опираются на по­ нятие доказательства, то окажется, что таких дисциплин две: математика и юриспруденция. По-видимому, местом их рождения следует признать Древнюю Грецию: именно там возникла культура убеждения путём рассуждения,

вчастности — путём прения сторон. В этом смысле мате­ матику можно назвать младшей сестрой юриспруденции.)

Наконец, Индия. Хотя те геометрические иллюстра­ ции, на которые мы собираемся ссылаться, относятся к средневековой Индии, скорее всего, они появились уже

вИндии древней. Вообще, датировка индийских матема­

446

тических представлений вызывает значительные трудно­ сти, поскольку одни тексты могут представлять собою изложение других, более ранних. С другой стороны, это

ине так существенно: в то время как средневековый Еги­ пет и средневековая Греция не имели ничего общего с Древним Египтом и Древней Грецией, средневековая Индия оставалась хранителем духовного наследия древ­ ней Индии. Существенной чертой этого наследия явля­ лось и является придание статуса высшей достоверности внутреннему озарению. Непосредственное внутреннее озарение представляет собой основной источник знания

иобладает неоспоримой убедительностью. То, что позна­ но таким образом, считается доказанным. Чтобы убедить в этом другого, надо привести его в такое состояние, что­ бы и он мог испытать внутреннее озарение. Поэтому гео­ метрические доказательства выглядели так: чертёж, а под ним подпись: «Смотри!»

Примеры таких чертежей с подписями «Смотри!», от­ носящиеся к XII и XVI вв., приведены, например, в мо­ нографии [9, с. 76,154]. Чертёж XTV в. (он воспроизведён также в статье [15, с. 75]), на наш взгляд, достоин того, чтобы излагаться в сегодняшней средней школе: он на­ гляднее современных доказательств показывает, что пло­ щадь круга равна площади прямоугольника, стороны ко­ торого суть полуокружность и полудиаметр круга. Поэто­ му мы приводим этот чертёж здесь (рис. 5).

СМОТРИ!

Рис. 5

447

Автор отдаёт себе отчёт в том, что его мнение по по­ воду индийских доказательств расходится с мнением та­ кого авторитета в области истории математики, как А. П. Юшкевич, который пишет [9, с. 155]: «Лаконич­ ность выводов в индийских сочинениях по математике или наличие в последних чертежей с одной лишь припи­ ской „Смотри!“ не следует рассматривать как проявление особого подхода к проблеме доказательства или особого хода мышления». На наш взгляд, как раз следует. Почему же в противном случае такого рода «Смотри!» мы не встречаем нигде, кроме Индии?

На рис. 6 приведён ещё один чертёж с подписью «Смотри!». Он относится к XII в. и представляет собой доказа­ тельство теоремы Пифагора, опира­ ющееся на формулу квадрата разности двух чисел.

Ценные соображения об эволюции понятия математического доказательства высказывает С. С. Демидов, кото­ рый, в частности, указывает, «что дока­

зательность математических рассуждений также в конеч­ ном итоге есть их убедительность. То, что нам казалось убедительным вчера, уже не кажется таким сегодня» [15].

Определение доказательств как убеждающего текста делает понятие доказательства довольно-таки субъектив­ ным (для кого текст убеждающий, а для кого нет). Нам это не представляется недостатком определения. Такова суть вещей. Употреблённое выше слово «делает», пожалуй, не­ удачно. Наше определение не столько делает понятие до­ казательства субъективным, сколько отражает субъек­ тивный характер этого понятия. Тем интереснее уяснить задачу, от решения которой мы весьма далеки: почему же всё-таки понятие доказательства носит характер общекуль­ турный в том смысле, что в пределах одной и той же куль­

448

в доказательстве разрешается использовать в виде готовых формулировок, уже не требующих доказательств, теоремы, полученные ранее. Будет ли такое рассуждение доказа­ тельством, т. е. убеждающим текстом, для того, кто не зна­ ком с доказательствами этих установленных ранее теорем? Мы не берёмся дать однозначный ответ на этот вопрос. За­ метим ещё, что само слово «ранее» вносит дополнитель­ ный субъективный «релятивистский» момент (хронологи­ ческая последовательность двух почти одновременно доказанных теорем может по-разному определяться раз­ ными наблюдателями). Если же запретить ссылаться в до­ казательстве на какие бы то ни было ранее доказанные теоремы и восходить непосредственно к определениям и первичным, неопределяемым понятиям (о которых мы рассуждали в нашем первом размышлении), то такое пол­ ное доказательство может в ряде случаев простираться на тысячи страниц математического текста (и быть затрудни­ тельным для восприятия даже ещё более, чем доказатель­ ство, опирающееся на факты, хотя бы и неизвестные чита­ телю, но ясно сформулированные).

Изучение трудных математических доказательств можно сравнить с альпинистским восхождением на вер­ шину. Уровень моря соответствует начальным понятиям. Восхождение от уровня моря может занимать месяцы, а его математический аналог (понимание доказатель­ ства) — годы. В обоих случаях много промежуточных остановок. Первая — общий высокогорный лагерь, в ко­ тором собираются альпинисты, направляющиеся на раз­ личные окрестные вершины. Этому этапу соответству­ ет получение серьёзной математической подготовки, до­ статочной для овладения более специальными темами. Затем начинается движение к избранной вершине, опятьтаки с остановками в промежуточных лагерях. Для ма­ тематика роль этих лагерей и остановок играют соот­ ветственно теории и теоремы. Как альпинист может

450