Sem_razmyshleniy_na_temy_filosofii_matematiki_pdf

от той, которая имеет место для континуум-гипотезы, ведь, как мы знаем, доказано, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть (точнее, Гёдель

в1939 г. показал, что её нельзя опровергнуть, а Коэн

в1963 г. — что её нельзя доказать). Для гипотезы (теоре­ мы) Ферма такое доказательство — доказательство того, что её невозможно ни доказать, ни опровергнуть, — от­ сутствует. Спрашивается, доказательство пока отсутству­ ет (и остаётся надежда получить его в будущем) или это

впринципе невозможно? Если бы такое доказательство удалось получить, это, несомненно, принесло бы матема­ тике большую пользу, поскольку раз навсегда закрыло бы шлюз для потока безграмотных попыток доказать теоре­ му Ферма1.

Ксожалению, такое доказательство невозможно. И мы сейчас разъясним, почему невозможно. Правда, остаётся теоретическая возможность того, что удастся доказать, что теорему Ферма нельзя доказать. Появление такого доказательства также перекрыло бы вышеназванный шлюз, но тогда, вероятно, возник бы поток попыток опро­ вергнуть теорему Ферма (например, путём предъявления

вкосвенной форме четвёрок астрономически больших чисел п, х, у, z, для которых нужное равенство было бы практически непроверяемым).

Итак, предположим:

(а) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя доказать;

(б) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть.

Наша цель теперь — показать, что (а) и (б) несовме­ стимы, т. е. не может быть, чтобы оба эти утверждения

1 Этот прогноз, сделанный мной при первой публикации очер­ ка, оказался слишком оптимистическим. Как мне сообщили в Рос­ сийской академии наук в январе 2001 г., поток поступающих туда лжедоказательств теоремы Ферма не иссяк.

431

были истинны одновременно. На самом же деле мы об­ наружим, что (б) несовместимо даже с более слабым, чем (а), утверждением (а,): теорему Ферма нельзя доказать. А именно, мы покажем, что из (б) следует: теорема Фер­ ма поддается доказательству, что исключает (а,).

Начнём с некоторых предварительных комментариев. Всякую четвёрку натуральных чисел п, х, у, z, такую, что

п > 2 , х > 0 , у > 0 , z > 0 u x n+ y n= zn, условимся называть

четвёркой Ферма. Теорема Ферма гласит, что четвёрок Ферма не существует в природе. Опровергнуть какуюлибо теорему’ — это значит доказать истинность проти­ воположного. Опровергнуть теорему Ферма — значит доказать, что четвёрки Ферма существуют.

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Фер­ ма существуют, то их не существует.

З а м е ч а н и е . Пусть А — какое-либо утвержде­ ние. Нет никаких причин считать, что если нельзя до­ казать, чтоА верно, то А неверно. Однако — ив этом содержание леммы — это так, коль скоро А есть утверждение «четвёрки Ферма существуют».

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поведём доказательство от противного. В самом деле, предположим, что чет­ вёрки Ферма существуют. Выпишем какую-либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел а, Ь, с, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т. е. проверим, выполняютсяли неравенства а > 2, b >О, с > 0, d >0 и равенство ba + (f = da. Предъявление чет­ вёрки a > 2 , b > 0 , c > 0 , d > 0 вкупе с указанной про­ веркой образует доказательство существования чет­ вёрки Ферма. Разумеется, если четвёрка состоит из гигантских чисел, то время, потребное на проверку, может превосходить длительность жизни человека,

1 Мы по-прежнему пользуемся неточной терминологией и отож­ дествляем слово «теорема» со словом «утверждение», а не со сло­ восочетанием «доказанное утверждение».

432

а то и всего человечества (а объём вычислений — размеры видимой Вселенной). Однако мы от этого от­ влекаемся и считаем, что даже и в этом случае про­ верка того, что предъявленная четвёрка является чет­ вёркой Ферма, возможна в принципе. Философ скажет, что здесь мы используем так называемую аб­ стракцию потенциальной осуществимости, как раз и состоящую в отвлечении от ограниченности наших реальных возможностей в пространстве и времени.

Лемма 2. Если нельзя опровергнуть теорему Фер­ ма, то теорема Ферма верна.

З а м е ч а н и е . Не видно причин, почему это должно быть верно для любой теоремы.

До к а з а т е л ь с т в о . Лемма 2 есть просто пере­ формулированная лемма 1. Ведь «опровергнуть тео­ рему Ферма» — значит «доказать, что четвёрки Фер­ ма существуют», а «теорема Ферма верна» — значит «четвёрки Ферма не существуют».

Лемма 2, которую мы доказали, имеет строение «если Р , то Q». Поэтому если Р имеет доказательство, то и Q имеет доказательство (доказательство Q состоит в сочета­ нии доказательства леммы с доказательством Р). Поэтому имеем сформулированное ниже следствие леммы 2.

Следствие леммы 2. Если существует доказатель­ ство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует идоказательство того, что теорема Ферма верна, т. е., попросту, доказательство теоремы Ферма.

Ввиду важности этого следствия ещё раз сформули­ руем его: если существует доказательство того, что

теорему Ферма нельзя опровергнуть, то теорему Фер­ ма можно доказать. Итак, если верно (б), то теорему Ферма можно доказать, что и представляет собою обе­ щанное отрицание утверждения (а,).

433

Полученное противоречие и завершает наше рассу­ ждение о том, что (aj) и (б), а тем более (а) и (б), несо­ вместимы.

Возникает следующий естественный вопрос: а почему проведённое рассуж дение нельзя повторить для континуум-гипотезы, о которой шла речь в конце нашего предыдущего, четвёртого, размышления? В самом деле, гипотеза (теорема) Ферма утверждает, что нет четвёрок Ферма, а континуум-гипотеза — что нет множеств мощ­ ности, промежуточной между Х0 и с. Давайте заменим четвёрку Ферма на множество промежуточной мощно­ сти, теорему Ферма — на континуум-гипотезу и повто­ рим только что проведённое рассуждение. Мы должны, обязаны где-то споткнуться, ведь утверждения (а') и (б'), получаемые из (а) и (б) заменой слов «теорема Ферма» на слово «континуум-гипотеза», оба верны. Где же мы споткнёмся? А вот где: в доказательстве леммы 1 (разу­ меется, не в первоначальной формулировке, а в той, где слова «четвёрки Ферма» заменены словами «множества промежуточной мощности»). Приведённое выше доказа­ тельство леммы 1 основывалось на следующей идее: можно фактически предъявить четвёрку чисел а, Ь, с, d и удостовериться, что она образует четвёрку Ферма. Но что значит «предъявить множество»? Могут возразить, что и мы, собственно, предъявляем не числа как количе­ ственные категории — их предъявить невозможно, мож­ но только написать их имена (например, в виде ноля со штрихами или в виде десятичной записи). Но дело в том, что каждое натуральное число имеет имя, чего нельзя сказать о множествах: множеств больше, чем имён (если понимать последние как конечные комбинации знаков какого-нибудь алфавита). Но даже если ограничиться множествами, имеющими имена, и предъявлять вместо множеств эти имена, всё равно остаётся главная труд­ ность: как проверить, что предъявленное множество име-

434

ет промежуточную мощность? Проверить, что четвёрка чисел есть четвёрка Ферма, в принципе (если отвлечься от количества шагов и необходимого пространства), не­ сложно: надо подставить числа в уравнение и сравнить левую и правую части. Способа же, который позволил бы по предъявленному множеству определить его мощность или хотя бы определить, будет ли эта мощность удовлет­ ворять неравенству S0 < m < с, не существует.

З а м е ч а н и е . Можно указать на ещё одно философ­ ское различие между ситуацией с теоремой Ферма и си­ туацией с континуум-гипотезой. Обсуждая вопрос о воз­ можных доказательствах теоремы Ферма или её возмож­ ных опровержениях (т. е. доказательствах её отрицания), мы исходили из понятия доказательства в общем, не­ формальном смысле; об этом понятии — наше шестое размышление. Упоминавшиеся же открытия Гёделя, установившего, что континуум-гипотезу нельзя опро­ вергнуть, и Коэна, установившего, что континуумгипотезу нельзя доказать, утверждают невозможность

формальных доказательств в рамках некоторого ранее известного конкретного представления о формальном доказательстве — более точно, в рамках некоторой кон­ кретной аксиоматики теории множеств, а именно так называемой системы Цермело — Френкеля. Однако считается (мнение это представляет собой не что иное, как акт веры), что система Цермело — Френкеля позво­ ляет формализовать любое неформальное математиче­ ское доказательство. Это и даёт право говорить, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опроверг­ нуть какими-бы то ни было средствами, допускаемыми современной математикой.

Обсуждаемая тема имеет самое тесное отношение к знаменитой теореме Гёделя о неполноте. Теорема эта утверждает, что какое бы ни было предложено понятие

435

формального доказательства, имеется такое утверж­ дение о натуральных числах, что ни оно само, ни его от­ рицание не обладает формальным доказательством в рамках предложенного понятия. Мы исходим из оче­ видности того, что возможны различные определения формального доказательства. Эти определения отличают­ ся друг от друга набором допускаемых аксиом и правил вывода. Могут быть такие представления о формальном доказательстве, в котором вообще не используются ни ак­ сиомы, ни правила вывода. Короче говоря, подходы к по­ нятию формального доказательства могут быть весьма различны. Но все эти подходы имеют и фундаменталь­ ную общность, выражаемую в следующих принципах:

1)каждое формальное доказательство есть текст, т. е. конечная цепочка знаков, выбранных из некоторого ал­ фавита;

2)каждый текст, составленный из букв рассматривае­ мого алфавита, поддается алгоритмической проверке на предмет того, является ли он формальным дока­ зательством или нет, и если да, то какого именно утверж­ дения;

3)только истинные утверждения могут обладать фор­ мальными доказательствами.

Всилу третьего принципа предъявление формально­ го доказательства какого-либо утверждения гарантирует его истинность и, следовательно, может считаться его доказательством. Обратное, конечно, не предполагает­ ся: не предполагается, что каждое истинное или даже содержательно доказуемое утверждение имеет — при заранее заданном понятии формального доказа­ тельства — формальное доказательство. Анализ теоре­ мы Гёделя о неполноте показывает, что утверждение,

окотором в ней идёт речь, всегда имеет вид 3 х51(х), где — некоторое свойство натурального числа х. Это свойство зависит от рассматриваемого понятия фор­

436

мального доказательства, но всегда алгоритмически проверяемо1(подобно тому как алгоритмически прове­ ряемо свойство четвёрки чисел «быть четвёркой Фер­ ма»), Итак, теорема Гёделя утверждает, что ни 3 х51(х), ни - 13 х51(х) не имеют формального доказательства.

Ужесточим наши требования к представлениям о фор­ мальном доказательстве. А именно, потребуем, чтобы выполнялось следующее условие: коль скоро для какогото алгоритмически проверяемого свойства 51 утвержде­ ние 3 х51(х) оказывается истинным, то это утверждение 3 хЩх) обладает формальным доказательством. Это тре­ бование довольно естественно; оно реализуется при фор­ мализации следующих уже встречавшихся выше этапов: 1) предъявления некоторого с; 2) проверки, что это с удо­ влетворяет свойству 51; здесь существенно и то, что с можно фактически предъявить, и то, что 51(c) можно фактически проверить.

Наше требование вытекает, в частности, из следу­ ющих двух ещё более естественных требований:

1) если для числа с справедливо (алгоритмически) проверяемое свойство 51, то 51(c) обладает формальным доказательством;

2) для какого угодно свойства 51, если для некоторо­ го с утверждение 51(c) обладает формальным доказа­ тельством, то и 3 х51(х) обладает формальным доказа­ тельством.

Теперь, прибегнув к рассуждениям, аналогичным тем, которые применялись в связи с теоремой Ферма, приходим к следующему выводу: если ни утверждение 3 х51(х), ни его отрицание —>3 х51(х) не обладают фор­ мальным доказательством, то одно это уже позволяет заключить, которое из этих двух утверждений верно,

аименно: верно —<Зх51(х).

1Это значит, что существует алгоритм, который для любого

спроверяет, верно ли 21(c) или нет.

437

В самом деле, если бы было верно 3 х51(х), то это утверждение обладало бы формальным доказатель­ ством; стало быть, Зх?1(х) неверно, а -■ Эх51(х) верно1.

Давайте ещё раз оценим парадоксальность ситуа­ ции: из одного только факта, что ни А, ни не-А не об­

ладают формальным доказательством, можно заклю­ чить, которое из этих двух высказываний истинно на самом деле.

6. Что такое доказательство?

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, ка­ жутся нам большей частью лишёнными логиче­ ской строгости.

Анри Пуанкаре. Наука и метод. 1908 [2, с. 356]

В предыдущем размышлении встречался как термин «доказательство», так и термин «формальное доказа­ тельство». Иногда считают, что формальное доказа­ тельство — это такое доказательство, которое формаль­ но. Мы предпочитаем смотреть на эти понятия иначе.

Формальное доказательство — это математический объект, подобный, скажем, матрице или треугольнику. Это конечная цепочка знаков некоторого заранее фикси­ рованного алфавита, т. е., как говорят в математике, слово

вэтом алфавите. Говоря «знак», мы не имеем в виду —

вданном случае — какую-либо смысловую, содержа­ тельную сторону, но только внешнюю, графическую. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в математике, когда имеют в виду внешнюю, графическую сторону, го­ ворят не «знак», а «буква». К числу букв относят обычно

1Слова «истинно» и «верно» — синонимы. Слово «доказуемо» имеет другой смысл (даже другие смыслы).

438

буквы алфавитов реальных языков (русского, латинского и т. д.), цифры, знаки препинания. Разумно отнести к чис­ лу букв и пробел между словами (словами в обычном, не математическом смысле), изобретая для его обозначения какой-либо специальный символ, например #. Это даёт возможность рассматривать текст, т. е. последователь­ ность слов, как слово (в уточнённом выше математиче­ ском смысле). Итак, формальное доказательство — это прежде всего слово в некотором алфавите, алфавите фор­ мальных доказательств. Разумеется, этим ни в малейшей степени не исчерпывается понятие формального доказа­ тельства; мы просто хотели подчеркнуть, что понятие формального доказательства относится к разряду слов, так же как понятие треугольника — к разряду геометри­ ческих фигур.

Какие именно слова следует считать формальными доказательствами — это тема особого разговора, выходя­ щего за круг предметов, которые мы хотели бы здесь об­ судить. Подчеркнём, что можно дать различные опреде­ ления понятию формального доказательства, каждое из которых приводит к своему множеству формальных до­ казательств. Некоторые общие положения, которым должно подчиняться любое разумное определение, были изложены в предыдущем размышлении. Заметим, впро­ чем, что иногда делают ещё один шаг в сторону общно­ сти и не требуют заранее, чтобы формальными доказа­ тельствами обладали только истинные утверждения, пол­ ностью отделяя понятие формального доказательства от понятия истины. А затем это отброшенное требование вводят в виде дополнительного свойства (которым фор­ мальные доказательства, вообще говоря, могут и не об­ ладать), а именно: множество формальных доказательств называют семантически непротиворечивым, если всякое утверждение, обладающее формальным доказательством, истинно. Более точно общие представления о формаль­

439

ных доказательствах излагаются с помощью понятия дедуктики (см., например, [21]).

Подчеркнём ещё, что формальными доказательства­ ми могут обладать (или не обладать) не сами содержа­ тельно понимаемые утверждения, а лишь их записи (т. е. опять-таки слова) в каком-либо точно заданном логико­ математическом языке.

Определение понятия формального доказательства — быть может, лучше сказать: определение множества фор­ мальных доказательств — в широких пределах (обуслов­ ленных указанными выше общими ограничительными свойствами множества формальных доказательств) про­ извольно. Здесь имеется в виду тот «юридический» про­ извол, который отличает математические определения вообще. Мы имеем «юридическое» право, например, произвольно определить класс функций и назвать их «как хотим», например непрерывными.

Другое дело, что всякое разумное математическое определение обычно претендует на то, чтобы соответ­ ствовать некоторым интуитивным представлениям, от­ ражать их. Законность определения ещё не означает его разумности. Так, математическое понятие непрерывной кривой отражает (с той или иной точностью) наши ин­ туитивные, содержательные представления о траектории движущейся точки. Аналогично понятие формального доказательства отражает интуитивные представления о содержательном доказательстве.

Можно сказать, что понятие формального доказатель­ ства является математической моделью понятия доказа­ тельства — в том же смысле, в каком понятие непрерыв­ ной кривой является математической моделью понятия траектории.

Остаётся выяснить, что же такое доказательство — не формальное доказательство, а просто доказательство. Хотя, как мы отмечаем в самом начале настоящего очерка,

440