Sem_razmyshleniy_na_temy_filosofii_matematiki_pdf

совершить за свою жизнь ограниченное число восхо­ ждений, так и математик узнаёт ограниченное число до­ казательств.

Следующая общая для альпинизма и математики чер­ та является существенной — это известная условность

ввыборе точки отсчёта. Собственно восхождение начи­ нается не с уровня моря, а с точки, куда профессиональ­ ные альпинисты могут добраться как бы без труда, хотя для обычных людей попадание в эту точку может пред­ ставить весьма большие трудности. Собственно доказа­ тельство начинается с аналогичной точки: эта точка расположена на некоем общекультурном (имеется в виду математическая культура) уровне. Впрочем, при совре­ менном состоянии математики область, очерчиваемая

всложных словах частью «обще-», постоянно уменьша­ ется, и ныне многие доказательства начинаются с точки, доступной лишь узким специалистам. Ещё одна общая черта математики и альпинизма — расчленённость на этапы, наличие достаточного числа промежуточных остановок.

Откуда же у математика берётся убеждение, что дока­ занные теоремы, доказательства которых он так никогда и не узнает, действительно являются доказанными, т. е. располагают доказательствами? Видимо, такое убеж­ дение основано не на чём ином, как на доверии. Это по­ ложение внешне не должно казаться слишком странным. В самом деле, многие ли читатели этих строк видели остров Пасхи? Ведь убеждение не видевших остров

втом, что он существует, также основано в конечном счё­ те на доверии. Но если современное доказательство осно­ вано на доверии к авторитету, то в чём же его принципи­ альное отличие от древнеегипетского?

Ответ на этот непростой вопрос заключается, возмож­ но, в том, что доказательства постепенно переходят из разряда явлений индивидуального опыта в разряд явле­

451

ний опыта коллективного. Тенденция к выдвижению на первый план коллективного вообще характерна для исто­ рии цивилизации. Хорошо известно (и подробно обсуж­ дено), что с развитием человеческого общества возникают и неуклонно усиливаются разделение и кооперация труда. Лишь в глубокой древности человек мог сам, лично про­ изводить всё необходимое для себя; сейчас каждый вы­ нужден пользоваться результатами труда других. Изве­ стно (хотя и не столь подробно обсуждено), что одновре­ менно происходит разделение и кооперация научных знаний. Трудно сказать, когда — по-видимому, в Средние века — ещё находились отдельные учёные, способные охватить всю доступную их современникам сумму зна­ ний. Сейчас каждый вынужден так или иначе использо­ вать знания других. Аналогично обстоит дело и с доказа­ тельствами: деятельность в сфере производства и потреб­ ления доказательств стала в такой же степени объектом разделения и кооперации, как и деятельность в сфере про­ изводства и потребления знаний. Само понятие убеди­ тельности начинает терять свой индивидуализированный оттенок и всё больше приобретает коллективный харак­ тер. По-видимому, следует постепенно приучаться гово­ рить об убедительности не для отдельного индивидуума, а для некоторого научного коллектива. При этом коллек­ тивная убедительность отнюдь не означает равную «непо­ средственную убедительность» для каждого в отдельности члена коллектива. Коллектив выступает не как простая сумма членов, а как единое целое. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части до­ казательства найдётся свой «отвечающий за неё» член кол­ лектива, для которого непосредственно убедительна имен­ но эта часть (а другие члены коллектива полагаются в дан­ ном вопросе на этого члена).

Век информатики вносит свои коррективы и в пред­ ставления о доказательствах. Возникают, например, слу­

452

чаи, когда доказательство требует перебора столь боль­ шого числа вариантов, что этот перебор делается не­ доступным человеку — а машине доступен. Допустим, машина перебрала все требуемые варианты и перебор привёл к нужным результатам. Можем ли мы считать, что получили доказательство? А что, если машина дала так называемый сбой? (Но ведь и человек может ошибаться!) Кроме того, необходима гарантия, что сама программа (работы машины) составлена правильно; правильность программы требует особого доказательства, и теория та­ ких доказательств образует специальный раздел теорети­ ческого программирования.

Реально компьютер был привлечён для решения про­ блемы четырёх красок. По простоте формулировки эта проблема, состоящая в доказательстве гипотезы четырёх красок, мало уступает проблеме Ферма (состоящей в до­ казательстве гипотезы Ферма), а по естественности поста­ новки (и прикладному значению) её превосходит. Вот фор­ мулировка этой гипотезы в Большой Советской Энцикло­ педии (изд. 3-е, том 29, статья «Четырёх красок задача»):

Четырёхразличных красок достаточно для того, чтобы раскрасить любую карту так, чтобы никакие две облас­ ти, имеющие общийучасток границы, не были окрашены в один и тот же цвет. Проблема четырёх красок возник­ ла в картографической среде: впервые наблюдение о доста­ точности четырёх красок было сделано в 1852 г. при со­ ставлении карты графств Англии. Обнаружилось, что ги­ потеза четырёх красок подтверждается во всех известных частных случаях. Сравнительно просто удаётся доказать (и это было сделано в 1890 г.), что для любой мыслимой карты достаточно пяти красок. Попытки же доказать ана­ логичное утверждение для четырёх красок долгое время (в течение ста лет) были безуспешны.

В1976 г. Аппелем и Хакеном было анонсировано [17],

ав 1977 г. изложено [18, 19] решение проблемы, осно­

453

ванное на сведёнии решения к большому числу част­ ных случаев, рассмотрение которых можно поручить машине. Машина всё проверила, и таким образом было получено доказательство того, что всякую карту можно раскрасить четырьмя красками так, как нужно.

Казалось бы, проблема была закрыта. Однако всё не так просто. Доказательство обладало двумя неприятными особенностями. Во-первых, рассуждения авторов были столь длинны и сложны, что никому не удавалось прове­ рить их во всей полноте. Во-вторых, существенная часть доказательств состояла в использовании компьютера; именно компьютер, а не человек проверял, обладает ли каждая из почти двух тысяч специально отобранных карт некоторым требуемым качеством. Первая особенность была впоследствии устранена (если не полностью, то в очень большой степени) другими авторами, значитель­ но упростившими первоначальные рассуждения Аппеля и Хакена. А вот избежать того, что в истинности большо­ го числа фактов удостоверяется не человек, а компьютер, не удалось. А что, если компьютер ошибся? Ведь такое иногда случается. Поэтому утверждение, что проблема четырёх красок решена, у многих вызывает сомнение.

Сами Аппель и Хакен высказывают такие мысли по поводу своего доказательства: «...При доказательстве было осуществлено беспрецедентное применение ком­ пьютеров. Дело в том, что используемые в доказатель­ стве вычисления делают его более длинным, чем тради­ ционно считается допустимым. На самом деле правиль­ ность предложенного доказательства вообще не может быть проверена без помощи компьютера. Более того, не­ которые из решающих идей доказательства материализо­ вались посредством компьютерных экспериментов. Не исключено, конечно, что в один прекрасный день появит­ ся короткое доказательство теоремы о четырёх красках...

Вместе с тем не исключено, что такое короткое доказа­

454

тельство вообще невозможно. В этом последнем случае возникает новый и интересный тип теорем, для которых не существует доказательств традиционного типа» [20].

К о м м е н т а р и й . Остановимся на ситуации с до­ казательством Аппеля и Хакена чуть подробнее. Основная идея этих авторов связана со следующими представлениями. Прежде всего, авторы переходят от раскраски областей карты к раскраске вершин плос­ кого графа, причём такого, который представляет со­ бою триангуляцию. Далее, они называют конфигура­ цией любой подграф, образованный циклом и внут­ ренностью этого цикла. Конфигурация называется сводимой, если некоторыми стандартными методами можно доказать, что она не может быть вложена в ми­ нимальный контрпример к гипотезе четырёх красок. Множество конфигураций называется неизбежным, если каждая плоская триангуляция содержит как под­ граф одну из конфигураций множества. Из определе­ ний немедленно следует, что для решения (положи­ тельного) проблемы четырёх красок достаточно предъявить неизбежное множество сводимых конфи­ гураций. Авторы предъявляют в явном виде 1834 сво­ димые конфигурации, образующие неизбежное мно­ жество [19, с. 505-567]. Длина цикла в каждой из этих конфигураций — 14 или менее того. И для по­ иска неизбежного множества, и для доказательства сводимости его членов использовался компьютер. Однако если в первом случае (построение множества) компьютер выполнял вспомогательные функции, по­ скольку само доказательство неизбежности найден­ ного (теперь уже неважно, каким способом) множе­ ства не опирается на машинные вычисления, то во втором случае (проверка сводимости) использование компьютера являлось существенным компонентом

455

доказательства, и на каждую конфигурацию ушло примерно 10 минут машинного времени такой про­ верки. Оценивая доказательство Аппеля и Хакена, ав­ торы обзора [24] указывают, что для доказательства понадобилось четыре года и 1200 часов машинного времени и что текст его занимает 139 страниц, в том числе 99 страниц рисунков, в среднем более 30 рисун­ ков на страницу. Они отмечают также, что «существен­ но переборный характер доказательства затрудняет его проверку (по оценке Аппеля, проверка всех деталей требует 300 часов машинного времени)». Названные 300 часов относятся, по-видимому, к проверке своди­ мости. Однако, как мы уже отмечали, сомнения вызы­ вает как раз немашинная часть — проверка неизбежно­ сти предъявленного множества конфигураций. Дело в том, что непосредственно в тексте статей [18] и [19] эта проверка исчерпывающим образом не проводится. В статье [18, с. 460], в подстрочном примечании, сооб­ щено, что детали доказательства неизбежности предъ­ явленного множества (более точно, детали доказатель­ ства лежащей в основе этой неизбежности так называе­ мой теоремы о разрежении) содержатся на микрофишах1, образующих специальное приложение к журналу. Автор этих строк, изучавший журнал в библиотеке, указанного приложения, однако, не обнаружил.

Что же касается авторов обсуждаемого доказатель­ ства, то они отдавали себе отчёт в сложности его вос­ приятия. В статье [33, с. 852] приводится следующая цитата из неназванной статьи Аппеля и Хакена 1986 г. (перевод даётся по статье [34, с. 95]):

Читатель должен разобраться в 50 страницах тек­ ста и диаграмм, 85 страницах с почти 2500 дополни-

1 Микрофиша — отдельно взятый кадр микрофильма, очень маленький слайд.

456

тельными диаграммами, 400 страницах микрофишей, содержащих ещё диаграммы, а также тысячи отдель­ ных проверок утверждений, сделанных в 24 леммах основного текста. Вдобавок читатель узнаёт, что про­ верка некоторых фактов потребовала 1200 часов компьютерного времени, а при проверке вручную по­ требовалось бы гораздо больше. Статьи устрашающи по стилю и длине, и немногие математики прочли их сколько-нибудь подробно.

Доказательство Аппеля и Хакена продолжало вызы­ вать сомнения до конца XX века. Вот что пишет Ро­ бин Томас, автор упомянутой статьи [33]:

[...] Трудности с доказательством Аппеля и Хакена можно уложить в два пункта:

(1)часть доказательства основана на использова­ нии компьютера и не может быть проверена вручную;

(2)даже та часть, для которой ручная проверка предполагается возможной, не подвергалась, насколь­ ко мне известно, независимой проверке.

Далее Р. Томас указывает, что он и трое его коллег (N. Robertson, D. P. Sanders, P. Seymour) пытались про­ верить доказательство Аппеля и Хакена, но вскоре сдались и поняли, что разумнее разработать собствен­ ное доказательство. Что они и сделали. Доказатель­ ство четырёх авторов следует основным идеям Аппе­ ля и Хакена и не устраняет трудности (1), но в значи­ тельной мере ликвидирует трудность (2), будучи гораздо более проверяемым в своей некомпьютерной части. Тем не менее и это новое доказательство вызы­ вает скептицизм. Вот что пишет о нём А. В. Самохин, завершая свою статью [34]:

Компьютерная часть всё ещё остаётся скорее предметом веры. Ведь даже проверка распечаток

457

всех программ и всех входныхданных не может гаран­ тировать от случайных сбоев или даже от скрытых по­ роков электроники (вспомним, что ошибки при выпол­ нении деления у первой версии процессора Pentium были случайно обнаружены спустя полгода после на­ чала его коммерческих продаж — кстати, математи­ ком, специалистом по теории чисел). По-видимому, единственный способ проверки компьютерных резуль­ татов — написать другую программу и для другого типа компьютера. Это, конечно, совсем непохоже на стандартный идеал дедуктивных рассуждений, но именно так осуществляется проверка утверждений во всех экспериментальных науках. Из которых матема­ тика, стало быть, исключена напрасно.

Создаётся впечатление, что с развитием математики (и появлением всё более и более сложных и длинных доказательств) доказательства теряют своё главное свой­ ство — свойство убедительности. Непонятно, что же тогда остаётся от доказательства, ведь убедительность является их свойством по определению. Кроме того, с усложнением доказательства возрастает элемент его субъективности. Конечно, формальное доказательство объективно. Но, во-первых, формальными доказательствами обладают не сами суждения, а их выражения, записи в формализован­ ных языках. Во-вторых, проверка утверждения, что дан­ ный текст является формальным доказательством, хо­ тя и осуществляется алгоритмически, может, при объ­ ёмистом тексте, вызвать значительные практические трудности.

Большие доказательства начинают жить по каким-то своим, макроскопическим законам. При чрезмерном воз­ растании объёма доказательства расплывается само пред­ ставление о доказательстве — подобно тому как в «боль­ шом» расплывается понятие о натуральном числе (ещё раз отсылаем читателя к статье П. К. Рашевскош [16]).

458

Получается, что хотя все доказательства должны по определению быть убедительными, одни из них убеди­ тельнее других, т. е. как бы являются доказательствами в большей степени, чем другие. Возникает нечто вроде градации доказательств по степени доказательности — явление, которое, конечно, в корне противоречит перво­ начальным представлениям об одинаковой непреложно­ сти всех доказательств. Но ведь и математические исти­ ны допускают нечто вроде такой градации. Каждое из следующих трёх утверждений: «2 2 = 4», «1714 > 31й», «300! > 100300» — истинно. Однако мы говорим: «Верно, как 2 • 2 = 4», но не говорим: «Верно, как 1714 >31"» или «Верно, как 300! > 100300».

7. Можно ли сделать математику понятной?

Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когдаты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному.

Давид Гильберт1

Почему математика непонятна столь многим? Эта проблема волновала великого Пуанкаре. Вот что он пи­ сал в своём известном трактате «Наука и метод»: «Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать мате­ матику? Не парадоксально ли это? В самом деле... здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания» [2, с. 353].

Скорее всего, «виноваты» обе стороны. Виноваты нематематики, которым дурное преподавание помешало

1 Гильберт приписывает это высказывание «старому француз­ скому математику», чьего имени он, однако, не называет.

459

понять математику и даже привило неприязнь к ней (как указывает Пуанкаре, «зачастую ум людей, нуждающийся

вруководящей нити, слишком ленив для поисков её» [2, с. 354]). Виноваты математики, не желающие тратить усилий на разъяснение математики непосвящённым (а сколько людей удивляется, что в математике ещё оста­ лось что открывать!). Конечно, в математике всегда оста­ нутся многочисленные детали, недоступные непрофес­ сионалу (и даже профессионалу, но в другой области ма­ тематики). Но ведь так обстоит дело всюду, в шахматах например. Многие ходы Карпова и Каспарова в их сра­ жениях друг с другом были непонятны даже гроссмей­ стерам. В то же время гораздо больше из математики, чем принято думать, могло бы быть объяснено широким кругам доброжелательных слушателей и читателей — не

вдеталях, конечно, а на уровне общей сути. Разумеется, это требует от математиков целенаправленной деятель­ ности в новом для них направлении. Возможно, что

вэтом и состоит их нравственный долг перед человече­ ством.

«Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сна­ чала хорошо узнать то, что их останавливает» [2, с. 354]. Во многих случаях, по-видимому, препятствием является сложное логическое строение математических определе­ ний и утверждений — строение, в котором логические связки и кванторы существования и общности чередуют­ ся друг с другом. Всякий преподававший математический анализ знает трудности, возникающие на пути параллель­ ного усвоения понятия предельной точки последователь­ ности, определение которой имеет структуру V е \/к З п (А Л В), и понятия предела последовательности, определе­ ние которого имеет структуру V e 3 к V п(А^> В). Однако что препятствует пониманию: сложности смысла или про­ блемы словесного выражения? Автор не знает ответа на этот вопрос, который связан с ещё более глубоким вопро­

460