2.6. Криволинейное движение.

2.6.1. Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение).

Если траектория движения материальной точки представляет собой кривую линию, то такое движение мы будем называть криволинейным.

При таком движении изменяется как по величине, так и по направлению. Следовательно, при криволинейном движении .

Рис. 2.11

Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории (рис. 2.11). Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Пусть в точке M₀ скорость , а в точке М – . При этом считаем, что промежуток времени t при переходе из точки М₀ в точку М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.

В

Рис. 2.12

ектор изменения скорости . (В данном случае разность 2^х векторов и будет равна ). Разложим вектор , который характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению на две составляющие и . Составляющая , которая является касательной к траектории в точке М₀,характеризует изменение скорости по величине за время t, в течение которого была пройдена дуга М₀М и называется тангенциальной составляющей вектора изменения скорости ( ). Вектор , направленный в пределе, когда t  0, по радиусу к центру, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальной составляющей вектора изменения скорости ( ).

Таким образом, вектор изменения скорости равен сумме двух векторов .

Тогда можно записать, что

.

При бесконечном уменьшении t0 угол  при вершине M₀АС будет стремиться к нулю. Тогда вектором можно пренебречь по сравнению с вектором , а вектор

будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение численно равно производной от модуля скорости по времени и направлено по касательной к траектории.

Вычислим теперь вектор , называемый нормальным ускорением. При достаточно малом t участок криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизны M₀O и MO будут равны между собой и равны радиусу окружности R.

Повторим рисунок. М₀ОМ = МСD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 2. 12). При малом t можно считать |v₀|=|v|, поэтому М₀ОМ = МDC подобны как равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при вершине.

Поэтому из рис. 2.11 следует

 ,

но S = v_ср.t, тогда .

Переходя к пределу при t  0 и учитывая, что при этом v_ср. = v находим

, т.е. (2.5)

Т

Рис. 2.13

.к. при t  0 угол   0, то направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости , т.е. вектор . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального и нормального ускорений (рис. 2.13). Т.к. вектора этих ускорений взаимно перпендикулярны , то модуль полного ускорения равен ; Направление полного ускорения определяется углом  между векторами и :