Задача №3/3 Дифференциальные уравнения.

А) Найти динамику цены P(t) на товар по заданным из статистики соотношениям, описывающим прогноз спроса D(t) и предложения S(t) при начальных условиях P(0)=1.1;3 P’(0)= -17; 1,5

D(t)=5p”+10p’+18p+8; S(t)=4p”-3p’-12p+11;

D(t)=3p”+3p’+8p-5; S(t)=2p”-1p’+5p+7;

Решение:

Динамика установления равновесия цены определяется равенством D(t)=S(t), т.е. 5p”+10p’+18p+8=4p”-3p’-12p+11;

p”+13p’+30p=3 – линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

p”+13p’+30p=0, т.е. P_0P

Характеристическое уравнение

k²+13k+30=0;

2) Частное решение неоднородного уравнения

P_4P =A=const; p’=p”=0;

P”+13p’+30p=3; 0+0+30A=3; A=3/30=0.1

3)Полное решение P= P_0P+P_4P= +0.1 получим после определения значений произвольных постоянных С₁ и С₂ интегрирования, используя начальные условия.

При t = 0

=

= ;

;

б) Решить: линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Решение.

1) ; ;

; ;

2) ; ; ;

; ;

Задача № ¾.

Метод наименьших квадратов для обработки статистических данных.

В результате исследования в автопарке зависимости между срокам эксплуатации автомобилей и расходами на их ремонт получены следующие статистические данные, сведённые в таблицу.

Т(лет)	1	2	3	4	5	6	7	8
S(ден.ед.)	100	120	130	140	155	170	185	200

100 120 145 160 185 - - -

Найти:

1. аналитическую зависимость стоимости ремонта S от срока эксплуатации Т.

2. Предполагаемую величину затрат на ремонт S (11) (7) к 11 (7)-му году эксплуатации.

Решение.

n	T	S	T²	T S
1	1	100	1	100
2	2	120	4	240
3	3	130	9	390
4	4	140	16	560
5	5	155	25	775
6	6	170	36	1020
7	7	185	49	1295
8	8	200	64	1600
	36	1200	204	5980

Примечание: Нанесенные статданные

В системе координат S-T(см.рис.)позволяют функциональную зависимость представить по линейному (не квадратичному)закону, из расчета чего и cоставлена расчетная таблица:

S=aT+b,где коэффициенты а и b определим из системы уравнений

204a+36b=5980

36a+8b=1200

=

=

=

S=13,81T+87,86

Если известен уровень дохода, то можно, подставив эту цифру вместо S, определить тот момент времени T, после которого эксплуатация автопарка становится убыточной, т.е. затраты на ремонт выше доходов.

Задание № 4.

Оптимальное управление.

Задача №4/1 .

Исследование операций. Линейное программирование.

Найти максимум и минимум линейного функционала Y (x)= -x₁ + 3x₂ при условиях

Y=4X1+6X2

9x₁- 2x₂  0 9x₁- 2x₂ = 0 (1)

x₁ + x₂  8 уравнения x₁ + x₂ = 8 (2)

-x₁ + 3x₂  -6 границ -x₁ + 3x₂ = -6 (3)

5x₁ + 3x₂  15 множества 5x₁ + 3x₂ = 15 (4)

x₁  0; x₂  0 x₁ = 0; x₂ = 0

Исходное положение функционала

Y=0

-x₁ + 3x₂ = 0

3x₂ = x₁ ; x₂ = 1/3 x₁

При x₁ = 3 x₂ = 1

(1)x₂= 4,5x₁; (3)x₁ =0; x₂ =-2

x₁ =1; x₂ =4,5 x₁ =6; x₂ =0

x₁ =2; x₂ =9 x₂ =1/3x₁ –2

гиперплоскость гиперплоскость сверху

снизу

(2)x₁ =0; x₂ =8 (4)x₁ =0; x₂ =5

x₁ =8; x₂ =0 x₁ =3; x₂ =0

x₁=0; x₂ =0 x₁ =0; x₂ =0

гиперплоскость гиперплоскость сверху

снизу

Для поиска в множестве экстремальных значений необходимо исходный функционал Y=0 подвергнуть аффинному преобразованию, что в системе координат соответствует пропорциональному изменению координат по всем осям (примечание: так натуральная фигура превращается в её модель и наоборот). В нашем двумерном случае (x₁ и x₂) соответствует параллельному переносу линии Y=0 до крайней верхней точки С (это максимум и до крайних нижних точек линии ED (это минимум). Примечание: координаты любой точки линии ED равноценны, так как ED║Z(0).

1. Вычислим Zmax, для чего:

а) определим координаты точки С, как пересечение прямых (1) и (2)

=

=

=

Проверка: 9·1,45-2·6,54=13,08-13,08=0

Zmax = -1,45+3·6,54 = 18,17

2)Вычислить Zmin, для чего:

а) определим координаты точки D, как пересечение прямых (2) и (3)

=

=

=

Проверка: 7,5+0,5=8

Б) Проконтролируем , подставив координаты т. E(6;0)

Таким образом, оптимальный план задачи:

1) =18,17 при =(1,45;6,54)

2) =-6 при =[ ]