Алина Гребенкина, э-309
Вариант 2 (13 октября 2012)
В качестве условия задачи представлены данные о двух факторах Хi(2) и Хi(3), а также о зависимой переменной Уi. В анализе участвует 30 наблюдений:
N |
Xi(2) |
Xi(3) |
Yi |
1 |
85,5 |
-13 |
28,89711793 |
2 |
40,5 |
-71 |
-307,0420699 |
3 |
40,5 |
-30 |
-20,50835083 |
4 |
63 |
-27 |
-32,51220636 |
5 |
67,5 |
-12 |
67,92873883 |
6 |
67,5 |
-27 |
-36,83925888 |
7 |
4,5 |
-87 |
-365,0802037 |
8 |
81 |
-49 |
-214,2252598 |
9 |
58,5 |
-29 |
-38,38206328 |
10 |
63 |
-35 |
-89,74960806 |
11 |
76,5 |
-25 |
-40,08020104 |
12 |
72 |
-97 |
-534,0446786 |
13 |
72 |
-64 |
-304,0461209 |
14 |
27 |
-62 |
-226,1294095 |
15 |
31,5 |
-86 |
-401,1559593 |
16 |
63 |
-84 |
-434,7973033 |
17 |
40,5 |
-92 |
-454,9618916 |
18 |
4,5 |
-65 |
-216,2293141 |
19 |
18 |
-87 |
-385,8604148 |
20 |
22,5 |
-52 |
-146,7915814 |
21 |
58,5 |
-59 |
-249,7164027 |
22 |
72 |
-88 |
-473,5142786 |
23 |
22,5 |
-41 |
-70,05208563 |
24 |
27 |
-91 |
-427,0390642 |
25 |
85,5 |
-67 |
-346,4849361 |
26 |
67,5 |
-63 |
-294,7714893 |
27 |
22,5 |
-73 |
-294,7595001 |
28 |
9 |
-97 |
-438,6091208 |
29 |
81 |
-48 |
-208,5582177 |
30 |
49,5 |
-67 |
-292,583516 |
(А) Вычисляем матрицу
Из имеющихся данных формируем матрицу Х - матрицу регрессоров. Каждый столбец матрицы характеризует отдельную переменную (первый столбец матрицы состоит из единиц, поскольку Xi(1)=1), число строк матрицы совпадает с числом наблюдений (30).
Для вычисления матрицы производится несколько шагов: исходная матрица Х (30х3) транспонируется, матрица Хт (3х30) перемножается с матрицей Х, затем от полученного произведения (матрицы 3х3) берется обратная матрица. Все вычисления производятся в Exel с использованием функций ТРАНСП, МОБР, МУМНОЖ и клавиш F2 + Ctrl-Shift-Enter. Результатом является матрица (3х3) следующего вида:
матрица (Хт*Х)(-1) |
||
0,5826 |
-0,0049 |
0,0051 |
-0,0049 |
0,0001 |
0,0000 |
0,0051 |
0,0000 |
0,0001 |
Для удобства применен числовой формат чисел с ограничением на четыре знака после запятой.
(Б) Оцениваем параметры β1, β2, β3 линейной модели множественной регрессии
Для того, чтобы
определить оценки коэффициентов линейной
модели множественной регрессии
, необходимо воспользоваться формулой:
,
где
- это вектор, составленный из оценок
коэффициентов. Для получения вектора
матрица пункта (а) перемножается с
транспонированной матрицей Хт и
с вектором Уi. В
результате получаем вектор:
вектор МНК - оценок (Хт*Х)^-1*Хт*У |
|
250,0883345 |
|
-1,493117693 |
|
7,002030678 |
|
МНК-оценки коэффициентов
модели определены. Уравнение множественной
регрессии:
(В) Вычисляем коэффициент детерминации r2
Коэффициент детерминации в случае модели множественной регрессии находится так же, как и коэффициент детерминации модели парной регрессии:
Воспользуемся
определением коэффициента детерминации
и рассчитаем RSS, а также
TSS. Для расчета этих величин
определяем среднее значение Уi
(
),
а также значение
.
В результате вычисления, представленных
в приложении (файл Exel),
получаем следующие величины:
RSS = 833885,7
TSS = 833985,4
R2 = RSS/TSS = 0,999880425
(г)
- оцениваем ковариационную матрицу
оценок параметров
Ковариационная матрица оценок параметров имеет вид:
)
,
в то время как оценка ковариационной
матрицы заключается в исчислении
выражения:
,
,
Расчеты
выражений обозначены в файле-приложении
Exel;
результаты расчетов:
.
Умножим
на единичную матрицу In, а затем перемножим
матрицу
и матрицу
.
получаем оценку ковариационной матрицы
оценок:
матрица V^(β^)=(Хт*Х)(-1) * σ2 * In |
||
2,151922 |
-0,018124108 |
0,018896402 |
-0,01812 |
0,00024075 |
-0,000102932 |
0,018896 |
-0,000102932 |
0,000231046 |
(Д) Оцениваем стандартные ошибки оценок параметров модели
Для расчета стандартных ошибок оценок параметров модели множественной регрессии существует формула:
,
где
- это соответствующий диагональный
элемент матрицы
.
Воспользуемся данной формулой для
расчета каждого SE,
получим результат:
стандартные ошибки |
|
SE (B1^) |
1,466943045 |
SE (B2^) |
0,015516113 |
SE (B3^) |
0,015200213 |