3.4 Канонічні форми запису лінійних рівнянь зі сталими

коефіцієнтами

У випадку двох незалежних змінних лінійне рівняння зі сталими коефіцієнтами має вигляд

(3.23)

Йому відповідає характеристичне рівняння зі сталими коефіцієнтами. Тут характеристиками є прямі

; .

За допомогою відповідного перетворення змінних рівняння (3.23) приводиться до однієї з канонічних форм.

- еліптичний тип, (3.24)

- гіперболічний тип, (3.25)

- параболічний тип. (3.26)

Для подальшого спрощення введемо замість нову функцію

(3.27)

де і - невизначені поки що параметри. Параметри і вибираються таким чином, щоб два коефіцієнти, наприклад, при перших похідних, перетворилися на нуль ( - , - ,). Тоді канонічні форми (3.24)-(3.26) будуть мати вигляд

(3.28)

Приклад 3.3 Звести до канонічного вигляду рівняння

Розв’язок. Скориставшись формулою (3.23) та зробивши заміну , де - невизначені коефіцієнти. Будемо мати

,

,

,

.

Підставивши значення частинних похідних до рівняння та скоротивши на , отримаємо

.

Привівши подібні члени, будемо мати

.

Визначаємо та так, щоб коефіцієнти при та оберталися на нуль.

,

.

При таких значеннях та рівняння перетвориться на наступне

Ми отримали канонічне рівняння параболічного типу.

3.5 Крайові задачі

Основною задачею рівнянь з частинними похідними є математичне дослідження дослідження розв’язків рівнянь, визначення умов існування єдиного розв’язку, розробка методів розв’язку. У математичній фізиці розглядаються дві проблеми – пряма та обернена.

Різні типи диференціальних рівнянь описують різні з фізичної точки зору процеси. Для описання конкретного фізичного процесу необхідно крім самого рівняння, задати початковий стан цього процесу (початкову умову ) і режим на межі (граничні умови). Математично це пов’язано з відсутністю єдиного розв'язку диференціальних рівнянь. Додаткові умови, які дозволяють описати конкретний процес, називаються крайовими умовами (початкові і граничні крайові умови).

Розрізняють три основних типа крайових задач для диференціальних рівнянь другого порядку з частинними похідними.

1. Задачі Коші для рівнянь гіперболічного та параболічного типів: задаються початкові умови, область співпадає з усім простором , граничні умови відсутні.

2. Крайова задача для рівнянь еліптичного типу: задаються граничні умови на межі , початкові умови відсутні.

3. Мішана задача для рівнянь гіперболічного типу: задаються початкові та граничні умови.

Розрізняють три типи граничних умов.

Умова I роду – на межі області задана функція,

Умова II роду – на межі області задана нормальна похідна,

Умова III роду – на межі області задана комбінація нормальної похідної та функції.