2.3 Загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння з частинними похідними
Розглянемо однорідне рівняння (2.5). Його інтегрування зводиться до розв’язання наступної системи звичайних диференціальних рівнянь
(2.10)
де .
Визначивши всі інтеграли системи (2.10) отримаємо розв’язок, що містить довільну сталу . Знайшовши з цих розв’язків отримаємо лінійно незалежну функцію
(2.11)
Теорема 2.3 Всякий розв’язок системи (2.10) є розв’язком однорідного рівняння (2.5) і навпаки: всякий розв’язок однорідного рівняння (2.5) є розв’язком системи (2.10).
Теорема 2.4 Однорідне рівняння (2.5) та рівняння (2.10) мають лінійно незалежних розв’язків, а всі інші розв’язки можна записати у вигляді
(2.12)
Висновок: Розв’язок , де - довільна функція є загальним розв’язком або інтегралом однорідної системи.
Звідси алгоритм інтегрування однорідного рівняння
Скласти систему звичайних диференціальних рівнянь (2.10) та знайти її розв’язок.
Отримані розв’язки системи (2.10) записати у вигляді (2.12) .
Зауваження 1 Загальний розв’язок звичайного диференціального рівняння містить довільні сталі, а розв’язок рівняння в частинних похідних – довільні функції.
Зауваження 2 Це правило зберігається і коли однорідне рівняння містить шукану функцію . Тоді до розв’язків (2.11) додається ще один – .
Для однорідного рівняння з частинними похідними з двома невідомими
(2.13) маємо відповідне звичайне диференціальне рівняння
Якщо це рівняння має аналітичний розв’язок, то його можна записати у вигляді , а загальний інтеграл у вигляді
(2.14)
Приєднавши до (2.14) самоочевидний розв’язок
, визначимо сім’ю інтегральних поверхонь рівняння (2.13) у вигляді .
Приклад 2.1
Знайти загальний інтеграл .
Розв’язок. Згідно алгоритму, складаємо рівняння
, або . Приєднуємо . Тоді загальний інтеграл записуємо у вигляді або або .
Приклад 2.2.
Знайти загальний розв’язок рівняння
Розв’язок.
Складаємо систему звичайних диференціальних рівнянь, відповідну заданому рівнянню
Шукаємо розв’язок кожного рівняння отриманої системи окремо.
2.2.1
2.2.2
Вважаючи, що , маємо
Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Розв’яжемо його, застосувавши підстановку Бернуллі.
Покладемо
Знайдемо функцію за умови
Підставляємо значення для в рівняння
Отже, маємо:
Скориставшись співвідношенням між оберненими тригонометричними функціями
та ,
будемо мати .
2.2.3
Покладемо та помножимо обидві частини рівняння на
Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Розв’язуючи його як і попереднє, отримаємо розв’язок у вигляді
Отже, загальний розв’язок рівняння можна записати у вигляді
.
Приклад 2.3
Знайти загальний розв’язок рівняння
Розв’язок. Складемо систему рівнянь
Отже
Звідси загальний розв’язок системи можна записати у вигляді
або