5. Расчет траектории системы во времени после возмущения

5.1. Исходные условия

Система описывается уравнением

. (5.1)

Положения равновесия системы определяется из (5.1) при

. (5.2)

В начальный момент времени при система получает возмущение , в результате которого координата мгновенно изменяется от до . После этого, начиная с момента времени , система совершает свободное движение.

Необходимо определить эту траекторию системы во времени методом численного интегрирования (методом Эйлера первого порядка) дифференциального уравнения (5.1) при разных заданных значениях шага интегрирования .

5.2. Расчет траектории системы

5.2.1. Положения равновесия системы определяются при условии (5.2), т.е. решая алгебраическое уравнение второго порядка

. (5.3)

Задание: найти положения равновесия системы (5.1) из уравнения (5.3).

5.2.2. Траектория системы (5.1) после возмущения, в результате которого координата при мгновенно изменяется от до , определяется шаг за шагом методом Эйлера первого порядка для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Формула Эйлера для этой цели получается, если в уравнении (5.1) дифференциалы и dt заменить приращениями и . Тогда вместо (5.1) будем иметь

, (5.4)

или . (5.5)

Зададим значение , например, . Подставим в формулу (5.5) значение х в момент после возмущения. Тогда имеем

, (5.6)

где - есть изменение координаты на первом шаге интегрирования от до .

С учетом (5.6), оценка значения координаты в конце первого шага с помощью формулы Эйлера будет равна

. (5.7)

Выполнение операции иллюстрируется на рис. 5.1.

П овторим ту же последовательность операций для следующего шага:

, , .

В результате получаем значение координаты в конце второго шага интегрирования при . Повторяя эти операции шаг за шагом, получим траекторию движения системы при заданном возмущении на интервале времени от до . Эта траектория приближенная, поскольку мы заменили непрерывную функцию во времени, определяемую уравнением (5.1), ломаной ли-

Рис. 5.1 нией, определяемой уравнением (5.4).

Задания:

• при заданных и большем значении положения равновесия определить методом Эйлера первого порядка траекторию движения системы (5.1);

• оценить, к какому положению равновесия движется система;

• определить траекторию движения системы при тех же условиях, что и в первом задании, но при , увеличенном в 4 раза по сравнению с заданным его значением для первого задания данного пункта;

• то же, но при , увеличенном в 10 раз;

• дать оценку погрешности интегрирования в последнем задании (при , увеличенном в 10 раз) по отношению к первому заданию данного пункта.

Методические указания

При использовании метода Эйлера следует уяснить, что данный метод применим для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (т.е. обязательно должны быть заданы начальные условия Коши), что этот метод является одношаговым, т.е. решение уравнения в точке, принадлежащей интервалу интегрирования, можно найти по информации о решении лишь в одной предыдущей точке. Решение ищется в форме таблицы, по которой в дальнейшем строится траектория движения системы. Точность расчета по численному методу Эйлера зависит от шага интегрирования по оси : чем меньше шаг, тем точнее расчет по методу Эйлера.