4.2. Определение структурно-топологических характеристик системы без учета числовых параметров связей

4.2.1. Связность структуры системы определяется по формуле:

; , (4.1)

где - элемент матрицы связности, при этом , если связь между узлами и существует; , если связь отсутствует; п - число узлов.

Неравенство (4.1) выполняется, если структура системы связная, и не выполняется, если несвязная. Неравенство (4.1) превращается в равенство, если структура системы имеет минимальную связность.

Задания:

• записать матрицу связности схемы ЭЭС, представленной на рис. 4.1;

• определить, связная структура системы или нет, с помощью неравенства (4.1);

• нарисовать структуру минимальной связности из пяти узлов, когда неравенство (4.1) превращается в равенство.

4.2.2. Показатель структурной избыточности системы определяется по формуле:

; . (4.2)

Обозначения те же, что и в (4.1).

Для избыточной структуры , для структуры с минимальной связностью R=0, для несвязанной структуры .

Задания:

• определить показатель структурной избыточности для системы, представленной на рис. 4.1;

• определить показатель структурной избыточности для системы, представленной на рис. 4.1, удалив из нее связи 5-8 и 2-5;

• определить, без каких связей система, представленная на рис. 4.1, будет иметь минимальную связность.

4.2.3. Показатель структурной компактности относительно генераторных узлов определяется по формуле:

; , (4.3.)

где - минимальная длина пути между генераторами и , найденная как сумма всех на этом пути; т - число генераторов.

Чем меньше значение Q, тем структура системы компактнее.

Задания:

• определить показатель структурной компактности схемы, представленной на рис. 4.1, относительно генераторных узлов;

• нарисовать структуру системы из пяти узлов с максимально возможной компактностью, т.е. Q = Q_min.

4.2.4. Диаметр структуры системы относительно генераторных узлов определяется по формуле:

; , (4.4)

где определен в п. 4.2.3.

Чем более компактна структура системы, тем меньше диаметр структуры.

Задания:

• определить диаметр структуры системы, представленной на рис. 4.1, относительно генераторных узлов;

• нарисовать структуру системы из пяти узлов с наибольшим диаметром структуры из всех возможных.

4.3. Определение структурных характеристик системы с учетом числовых параметров связей

4.3.1. Выделение сильно связанных подсистем и слабых связей (сечений) между ними выполняется по условию , где ; ; - множества узлов двух сильно связанных подсистем и . Алгоритм, с помощью которого решается данная задача, заключается в следующем.

Первый шаг: найдем два наиболее сильно связанные узла, что соответствует связи с наибольшей пропускной способностью в табл. 4.1. Это связь 200-202, . Узлы 200 и 202 начинают формировать сильно связанную подсистему.

Второй шаг: найдем следующие два наиболее сильно связанные узла (связь 200-2002 уже не рассматривается). Это узлы 100 и 101, . Они начинают формировать следующую сильно связанную подсистему.

Третий шаг: найдем следующие два наиболее сильно связанные узла (связи 200-202 и 100-101 уже не рассматриваются). Это узлы 5 и 6, . Они начинают формировать третью сильно связанную подсистему.

Четвертый шаг: найдем следующие два сильно связанные узла (связи 200-202, 100-101 и 5-6 уже не рассматриваются). Это узлы 202 и 203, . Следовательно, к первой подсистеме присоединяется дополнительный узел 203, т.е. первая подсистема состоит уже из трех узлов: 200, 202 и 203.

Продолжаем выполнение алгоритма дальше аналогично шаг за шагом. В зависимости от соотношения числовых характеристик связей на последующих шагах к образовавшимся подсистемам могут присоединяться другие узлы, могут начинать образовываться новые подсистемы, образующиеся подсистемы могут объединяться.

Задание: реализовать алгоритм от начала до конца для своих заданных числовых характеристик связей, при этом:

• выделить шаг, когда все узлы сформируются в три подсистемы; выделить слабые сечения между ними;

• выделить шаг, когда все узлы сформируются в две подсистемы; выделить слабое сечение между ними.

4.3.2. Определение расстояний между узлами. Расстояниями между узлами являются величины, обратные пропускным способностям соответствующих связей, т.е. , ; .

Задание: определить все расстояния между узлами схемы, представленной на рис. 4.1, используя значения пропускных способностей связей, заданных в табл. 4.1.

4.3.3. Определение минимального пути между узлами (генераторами) 1 и 203, найденного как наименьшая сумма всех на этом пути.

Задание: перебором всех возможных путей между узлами (генераторами) 1 и 203 найти минимальный путь между ними.

4.3.4. Определение показателя структурной компактности относительно генераторных узлов производится по формуле:

(4.5)

m - число генераторов.

Задание: используя формулу (4.5), определить значение показателя структурной компактности относительно генераторных узлов для заданных параметров схемы.

4.3.5. Изображение схемы системы с длинами связей, равными расстояниям между узлами.

Задание: используя найденные в п. 4.3.2 расстояния между узлами, в определенном масштабе нарисовать схему системы с длинами связей, равными этим расстояниям.

Методические указания

При реализации алгоритма по пункту 4.3.1. рекомендуется упорядочить таблицу 4.1 в порядке убывания пропускных способностей связей и выставлять связи последовательно, начиная с первой строчки упорядоченной таблицы (т.е. начиная со связи с наибольшей пропускной способностью). Реализация алгоритма заканчивается, когда впервые будут выставлены все 14 узлов исходной схемы, при этом возможны различные варианты выделения сильно связанных подсистем и слабых связей (сечений) между ними. Это зависит от исходных данных задачи, т.е. от структуры системы и от числовых параметров связей . При вычислении структурной компактности относительно генераторных узлов следует уяснить, сколько кратчайших путей нужно находить для решения этой задачи. В случае 5 генераторов это будут такие кратчайшие пути (1-3), (1-101), (1-201), (1-203), (3-101), (3-201), (3-203), (101-201), (101-203), (201-203). Эти элементы образуют верхнюю треугольную матрицу в матрице кратчайших расстояний от каждого генератора до каждого. Эта матрица является симметричной относительно главной диагонали, т.к. (1-3)=(3-1), поэтому просуммировав элементы, стоящие в верхней треугольной матрице, и умножив сумму на 2, найдем значение структурной компактности.