Д-2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил.

Найти уравнения движения тела М массой m, принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы P, при заданных начальных условиях.

Дано:

рис. Д2.1

Решение.

На материальную точку действует сила P и сила тяжести G=mg.

Дифференциальное уравнение движения точки без учета G.

Решаем дифференциальное уравнение подстановкой:

Определим произвольную постоянную С при t₀ = 0

Определим искомую функцию z(t):

Определим произвольную постоянную С₂ при t₀ = 0

–закон движения материальной точки.

Д-5. Применение теоремы об изменении количества движения к определению скорости материальной точки.

Телу массой m сообщена начальная скорость v₀, направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис. Д5.1). На тело действует сила P, направленная в ту же сторону. Зная закон изменения силы P = P(t) и коэффициент f, определить скорость тела в моменты времени t₁, t₂, t₃. Проверить полученный результат для момента времени t₁ с помощью дифференциального уравнения движения.

рис. Д5.1

рис. Д5.2. График изменения силы P

Дано: m=12кг,v₀=3м/с,t₁=3с, t₂=8с, t₃=14с, P₀=60Н, P₁=180Н, P₂=120Н, P₃=120Н, α=42⁰, f =0,15

Решение.

По данным значениям силы P построим график ее изменения (рис.Д5.2).

1. Интервал от 0 до t₁

Теорема об изменении количества движения:

Проверим, что скорость не изменила своего направления:

Уравнение не имеет корней, значит, скорость не изменила своего направления в этом интервале времени.

2. Интервал от t₁ до t₂

Теорема об изменении количества движения:

Проверим, что скорость не изменила своего направления (τ – время от начала второго интервала):

τ*>(t₂–t₁), значит, скорость не изменила своего направления в этом интервале времени.

3. Интервал от t₂ до t₃

Теорема об изменении количества движения:

Проверим значение v₁ в момент времени t₁:

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки:

Определим произвольную постоянную С:

Таким образом:

Д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки.

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости. Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. Шарик пройдя путь h0, отделяется от пружины.

Рис.Д6.1

Дано: m = 0,4 кг, τ = 0,4 с, R = 2 м, f = 0,2, α = 30°, β = 60°, v_a=5 м/с

Найти: v_D

Решение.

Участок AC.Теорема об изменении кинетической энергии:

Определение давления в точках С по принципу Даламбера. Приложим силы инерции:

Спроецируем силы на нормаль:

Участок BC.Теорема об изменении количества кинетической энергии:

Участок BD.Теорема об изменении количества движения в проекции на ВД:

Д.7. Динамика механической системы. Основы теоремы динамики механической системы.

Тела 1 и 2 движутся по отношению к телу 3 с помощью механизмов, установленных на этом теле (силы, приводящие и движение механизмы, являются внутренними силами данной механической системы). Тело 3 находится на горизонтальной плоскости.