К-2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях.

Движение груза 1 должно описываться уравнением:

,

где t – время, c, c₀, c₁, c₂, – некоторые постоянные.

В начальный момент времени (t = 0) положение груза определяется координатой x₀, и он имеет скорость v₀. Учесть, что в момент времени t = t₂ координата груза равна x₂.

Определить коэффициенты c₀, c₁, c₂, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t = t₁ скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.

Схема механизма показана на рис. К2.1.

рис. К2.1

Дано: R₂ = 20 см, r₂ = 15 см, R₃ = 10 см, x₀ = 5 см, v₀ = 10 см/c, x₂ = 179 см, t₂ = 3c, t₁ = 2c.

Решение. Уравнение движения груза:

Уравнение скорости груза:

Определение коэффициентов c₀, c₁, c₂:

При t₀ = 0, x₀ = 5 см => c₀ = 5 см; .

При t₂ = 3с, x₂ = 179 см/c² => c₂ = 16 см/с²;

При t₁ = 2с, v₁ = 74 см/c, a = 32 см/с²

Таким образом уравнение движения груза будет:

x = 16t² + 10t + 5

Уравнение скорости груза:

v = 72t + 5

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза v и угловые скорости колес ω₂ и ω₃.

В соответствие со схемой механизма:

Определение ускорений.

Угловое ускорение колеса:

Определение полного, нормального и касательного ускорений точки М.

Результаты вычислений для момента времени t₁ = 2c приведены в табл. К2.1

Таблица К2.1

v, см/с	a, см/с2	ω3, рад/ с	ε3, рад/ с2	vM, см/с	aMn, см/с2	aMτ, см/с2	aM, см/с2
74	32	5,55	2,4	55,5	308,025	24	308,958

К-3. Кинематический анализ плоского механизма.

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Размеры, см				ωOA, рад/с	ωI, рад/с	εOA, рад/с2	νA, см/с	aA, см/с
ОА	r	AB	AC
-	-	30	20	-	-	-	20	20

Решение.

Расчет скоростей.

AB совершает плоское движение, мгновенный центр скоростей находится в точке В, т.к.

Расчет ускорений.

(1)

Проецируем (1) на оси

Проецируем a_c на оси

К-7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки.

Точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t = t₁ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1) Относительное движение – криволинейное. Определим положение точки при t₁ = 2с .

При t₁ = 2:

2) Переносное движение – вращение.

При t₁ = 2:

3) Кориолисово ускорение

4) Абсолютная скорость

К-6. Кинематический анализ движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности и имеющего неподвижную точку.

Тело А катится без скольжения по поверхности неподвижного тела B, имея неподвижную точку О. Ось тела А вращается вокруг неподвижной осиOz и имеет при заданном положении тела А угловую скорость и угловое ускорение. Определить угловую скорость и угловое ускорение точки М в указанном положении тела А. Дано: ОМ₀ = 40 см.

Решение.

1) Определение угловой скорости тела.

Выберем направления координатных осей так, чтобы ось находилась в плоскостиx0z.

Угловая скорость телаA равна геометрической сумме угловых скоростей и:

Нам неизвестно , поэтому найдем его из соотношения:

Угловую скорость найдем по теореме косинусов:

2) Определение углового ускорения тела.

Геометрически угловое ускорение – скорость конца вектора, вращающемуся относительно оси0z с угловой скоростью :

3) Определение скорости точки тела.

Скорость точки М определяем как вращательную относительно мгновенной оси:

4) Определение ускорения точки тела.

Ускорение точки М находим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений: