Васии А.А., Морозов B.B. Введение в теорию игр / Vasin_-_Vvedenie_v_teoriu_igr

19. Модели олигополии

мощности предприятий не ограíичены). Тогда в точке максимума зада- чи (19.4) все производные u0va (v) = 0 и для поиска равновесия по Нэ- øу получаем следующую систему уравнений относительно неизвестных va, a = 1, ..., m:

Суммируем уравнения (19.6) по всем a A. Получаем

Выражение (19.7) предñтавляет собой уравнение относительно одной неиз- вестной величины P va. Разрешив данное уравнение и подставив най-

a A

денную величину в уравнения (19.6), найдем значения va, a A, которые, очевидно, одинаковы для всех a.

Продемонстрируем действие этого алгоритма на конкретной функции

XX 2

а уравнение (19.7) преобразуется к виду:

XX

Èç (19.7 0) получаем, что P va = (m − 1)K/(mc). Подставляя это

a A

выражение в (19.6 0), находим равновесие по Нэшу для модели Курно

Для модели с ограничениями на объемы выпуска отметим два случая. а) v ≤ min V b. Тогда решение задачи с ограничениями на объемы

b A

выпуска совпадает с решением той же задачи без учета ограничений,

201

ГЛАВА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЭКОНОМИКУ

òàê êàê v − решение задачи оптимизации по более широкому множе-

ству и в то же время является допустимым объемоì выпуска для задачи с ограничениями. Следовательно, в этом случае va задается формулой

(19.8).

á) v > min V b. Упорядочим производителей по убыванию максималь-

b A

ных объемов выпуска: V 1 ≥ V 2 ≥ ... ≥ V m. Тогда найдется такой производитель k, ÷òî

Алгоритм поиска равновесия по Нэшу вида (19.9)

Фиксируем некоторое k. Тогда, переписав (19.6) для этого случая, получаем уравнение для нахождения v (k):

ситуация v является равновесием по Нэшу. Иначе берем k = m − 1 è ò.ä.

В результате за конечное число шагов найдем равновесие по Нэшу для этого случая.

Сравнение равновесий по Нэшу и по Вальрасу для модели Курно

Чтобы найти равновесие по Вальрасу, надо найти пересечение функций спроса и предложения, причем

202

19. Модели олигополии

Утверждение 19.2. Для данной модели возможны следующие соотношения равновесий по Нэшу и по Вальрасу.

1) Åñëè V ≥ K/(cm), òî

K/(mV ), v = v˜a = V. (ñì. ðèñ. 19.2).

Таким образом, если ограничение объема выпуска несущественно (V ≥ K/(cm)), то для малых m получаем следующие соотношения цен:

Òàê êàê p = K/ P va, , то соотношение объемов обратно пропорциональ-

a A

но соотношению соответствующих цен, т.е. v /v˜ = 1 − 1/m, в частности, m = 2 v˜ = 2v ; m = 3 v˜ = 3v /2; m = 4 v˜ = 4v /3.

203

ГЛАВА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЭКОНОМИКУ

Модель Курно позволяет обосновать меры по антимонопольному регулированию. Из анализа этой модели вытекает, что если на рынке действует хотя бы четыре компании, то отклонение по объему от состояния конкурентного равновесия по Вальрасу составляет не более 25%, а отклонение по цене не более 33%. При этом объем выпуска на каждом из четырех предприятий, присутствующих на рынке, должен составлять v = 3K/(16c) (т.е. 3/16 от равновесного по Вальрасу общего объема

производства). Согласно антимонопольному законодательству США, к предприятию могут применяться антимонопольные меры, если оно контролирует более 30% рынка. Исходя из модели Курно, таким образом обеспечивается определенная степень близости к конкурентному равновесию.

Упражнение 19.1. Покажите, что равновесие по Нэшу для модели Курно не существует, если D(p) = K/pα, 0 < α ≤ 1/m, ca ≡ c.

Упражнение 19.2. Найдите равновесия по Нэшу для модели Курно и сравните их с конкурентным равновесием в следующих условиях:

Достоинства модели Курно:

а) проста для исследования; б) согласуется с моделью конкурентного равновесия;

в) условия совершенной конкуренции и оценки отклонения от них легко формализуются.

Недостатки модели Курно:

а) неясно, какое отношение модель имеет к реальным рынкам, поскольку на практике нет таких механизмов ценообразования: производитель назначает и цену, и объем выпуска. Исследование соответствующей модели показывает, что найденное для модели Курно равновесие по Нэшу неустойчиво к изменению цен (см. следующий параграф);

б) видимо, модель не соответствует и экономической статистике. Например, по России доля торговой наценки в цене на мелкооптовых рынках превышает 50%, хотя количество продавцов каждого товара велико.

Модель ценовой конкуренции Бертрана-Эджворта

Рассмотрим другой вариант модели олигополии. Рынок предполагается прежним: A − множество производителей товара,

204

19. Модели олигополии

янные удельная себестоимость и максимальный объем выпуска производителя a, D(p) − функция спроса. Потребители − мелкие, они образуют

континуум, каждый из них может купить одну единицу товара. Потребитель характеризуется резервной ценой r ≥ 0. Он покупает, если ему

достается товар по цене p ≤ r и не покупает в противном случае.

Ответы на поставленные вопросы относительно условий реализации конкурентного равновесия и оценки отклонения от него зависят от механизма взаимодействия между производителями и потребителями. В качестве примера такого механизма рассмотрим односторонний аукцион первой цены. Производители-продавцы одновременно и независимо назначают цены sa ≥ ca на свой товар. Потребители-покупатели выстра-

иваются в очередь и покупают предложенный товар в порядке возрастания цены с учетом их резервных цен. При этом важен порядок прихода покупателей на рынок.

Пример 19.1. На рынке взаимодействуют два продавца и две груп-

Если на рынок первыми приходят "бедные"покупатели (т.е. с низкой резервной ценой), то они покупают 100 единиц по цене 5, а потом "богатые"купят 40 единиц по цене 7. Если же на рынок первыми приходят "богатые", то они покупают 40 единиц по цене 5, а потом "бедные"покупают 60 единиц по цене 5. Очевидно, что прибыль второго продавца при этом существенно меняется.

Далее будем предполагать, что потребители с различными резервными ценами r распределены в соответствии с плотностью ρ(r) − неотрица-

тельной функцией, интегрируемой на полупрямой [0, ∞). Это значит, что при заданной цене p ≤ r и малом dr потребители с резервными ценами из отрезка [r, r + dr] купят товар в количестве ρ(r)dr. Пусть имеется такое число M > 0, что плотность ρ(r) положительна на интервале (0, M), а потребители с резервными ценами r ≥ M имеют дополнительную возможность приобрести товар на другом рынке по фиксированной цене M.

205

ГЛАВА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЭКОНОМИКУ

Тогда функция спроса имеет вид

телей, желающих приобрести товар по цене p. Ясно, что функция D(p)

p0 < p, p0 P (s). Рассмотрим три конкретных вида функций остаточ-

ного спроса, связанных с правилами рационирования, т.е. с порядком потребителей в очереди:

1. Приоритет потребителей с большей резервной ценой:

<p

2. Потребители равномерно распределены в очереди и остаточный спрос формируется по пропорциональному правилу:

3. Приоритет потребителей с низкой резервной ценой:

206

19. Модели олигополии

Упражнение 19.3. Докажите формулы (19.10-12).

При любом порядке потребителей в очереди справедливо соотноше-

изводителей однозначно определяется максимальная продажная цена

распределяется между производителями a A2 по аналогичному прави-

ëó.

Итак, при распределении остаточного спроса приоритетом пользуются фирмы, для которых себестоимости ниже продажной цены. Последнее условие вводится для технического удобства, поскольку определяемые ниже функции выигрыша разрывны, и данная модель описывает распределение покупателей при разности цен, близкой к нулю. В качестве

207

ГЛАВА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЭКОНОМИКУ

выигрыша производителя a рассмотрим его прибыль

Таким образом, описана модель ценовой конкуренции производителей

D E

как игра в нормальной форме = A, {sa | sa ≥ ca}, ua(s), a A , ãäå

игроки a A − фирмы, множества стратегий {sa | sa ≥ ca} − множества цен, которые они могут назначить, функции выигрыша ua(s) определяют

прибыли фирм.

Известные модели поведения в игре − это равновесие по Нэшу,

решение по доминированию, модели игровой динамики (динамика наилучших ответов, адаптивные динамики).

Рассмотрим сначала необходимые условия для равновесия по Нэшу описанной игры.

Утверждение 19.3. Пусть s − равновесие по Нэшу, p˜ − цена конку-

рентного равновесия. Тогда справедливо одно из следующих двух условий:

1)p(s) = p˜ и для каждого производителя a, имеющего ca < p,˜ выполнено sa = p˜.

2)p(s) > p˜ и найдется единственный производитель a, для которого ca < p(s) = sa, ïðè ýòîì ca ≤ p˜ (ñì. ðèñ. 19.3).

208

19. Модели олигополии

для которого ca < p,˜ сможет продать весь свой товар по цене p˜. Поэтому

для ситуации равновесия s min sa ≥ p˜ p(s) ≥ p˜.

a A

Пусть p(s) = p˜. Åñëè ca < p˜ < sa, то производитель продаст. Ему выгодно отклониться и выбрать цену sa = p,˜ ложительную прибыль (противоречие). Итак, ca < p˜ sa = p˜.

Пусть p(s) > p˜. Предположим, что для некоторого производителя a

останется положительным. Следовательно, производитель a продаст товар в объеме V a и увеличит прибыль (противоречие). Итак, ca < p(s) sa = p(s). Далее, P V a ≥ D(˜p) > D(p(s)). Поэтому, если производи-

a:ca<p(s)

телей a, для которых ca < p(s), по меньшей мере двое, то они не смогут реализовать полностью свои объемы по цене p(s). Одному из них выгодно отклониться и назначить цену p(s)−ε. В результате он увеличит свою прибыль, что противоречит определению ситуации равновесия.

Следствие. Если найдутся два производителя a, для которых ca < p,˜ и существует равновесие по Нэшу s, òî p(s) = p˜ (ñì. ðèñ. 19.4).

Упражнение 19.4. В условиях предыдущего следствия дополнительно предположим, что S+(˜p) > D(˜p) (см. рис. 19.5). Докажите, что для

производителя a, имеющего удельную себестоимость ca = p,˜ выполнено неравенство V a ≤ S+(˜p) − D(˜p).

Теперь сформулируем достаточные условия существования равновесия по Нэшу.

209

ГЛАВА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЭКОНОМИКУ

Утверждение 19.4. Предположим, что

X

a:ca≤p˜

Тогда любая ситуация s, удовлетворяющая условию: sa = p˜, åñëè ca ≤ p,˜ является равновесием по Нэшу.

Доказательство. По условию p(s) = p˜. Производители a, для которых sa ≥ ca > p,˜ ничего не продадут. Отклоняться им от своих стратегий sa не имеет смысла, поскольку их прибыль останется нулевой. Рассмотрим теперь производителей a, для которых ca ≤ p˜. Если один из них увеличит цену до sa = p˜ + ε, то ничего не продаст, так как по условию (19.14) другие представители этой группы полностью покроют спрос по цене p˜ и остаточный спрос по цене p˜ + ε будет нулевым. Поэтому увеличивать цену производителю a невыгодно. Уменьшать ее (если ca < p˜) также не имеет смысла. Действительно, поскольку

X

V a ≤ S−(˜p) ≤ D(˜p),

a:ca<p˜

производитель a сможет продать весь свой объем по цене p˜. Èòàê, s −

равновесие по Нэшу.

Введем обозначение: c = max ca.

a:ca<p˜

Утверждение 19.5. Предположим, что S+(˜p) = S−(˜p) = D(˜p) è ñóùå-

ствуют хотя бы два производителя a1 è a2, для которых max[ca1 , ca2 ] < p˜ (ñì. ðèñ. 19.4).

1) Пусть D(p)(p − c) ≤ D(˜p)(˜p − c) ïðè p [˜p, M] è

<p

Тогда любая ситуация s, удовлетворяющая условию: sa = p,˜ åñëè ca ≤ p,˜ является равновесием по Нэшу.

<p

210