Васии А.А., Морозов B.B. Введение в теорию игр / Vasin_-_Vvedenie_v_teoriu_igr

5. Методы решения матричных игр

Пусть определены стратегии i1, ..., ik, j1, ..., jk и векторы c(0), c(1), ..., c(k), d(0), d(1), ..., d(k). Возьмем

ci(k + 1) = ci(k) + aijk , dj(k + 1) = dj(k) + aikj.

Таким образом, вектор c(k + 1) есть сумма вектора c(0) и столбцов матрицы A с номерами j1, ..., jk. Аналогично, вектор d(k + 1) есть сумма и строк матрицы A с номерами i1, ..., ik. Нетрудно видеть,

dj(k) = dj(0) + kA(p(k), j).

При нулевых векторах c(0) è d(0) построенный итерационный процесс совпадает с процессом Брауна. Поскольку множества

последовательности {c(k)}, {d(k)} определяются в ходе итерационного

процесса не однозначно.

Определим, как и ранее, последовательности величин

Далее будет доказана их сходимость к значению игры v для любых векторов c(0), d(0).

Из неравенств (см. доказательство неравенства (5.7))

следует, что

"#

51

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Отсюда

Покажем, что

Определение. Будем говорить, что i-ая строка (j-й столбец) матрицы A существенна (существенен) на отрезке шагов [s, s + t], åñëè äëÿ

Докажем (5.11). Пусть для l-ой строки выполнено равенство

52

5. Методы решения матричных игр

≤ max (ci(s + t) − ci(t0)) + cl(t0) − cl(s + t) ≤ 2at,

1≤i≤m

поскольку все последние разности на превосходят at. Неравенство (5.12) доказывается аналогично. Покажем также, что справедливо неравенство

Пусть vT − значение игры с матрицей AT , транспонированной к A. Тогда

min A(i, q(s + t)) ≤ max min A(i, q) = vT =

= min max A(p, j) ≤ max A(p(s + t), j).

Отсюда

Домножая это неравенство на s + t, выводим (5.13). Неравенство (5.10) получается сложением неравенств (5.11) −(5.13).

Лемма 5.2. Для произвольной матрицы A и произвольного ε > 0

найдется такой номер шага k0, что для любых последовательностей c(k), d(k), k = 0, 1, ... итерационного процесса Δ(k) ≤ εk при k ≥ k0.

Доказательство. Утверждение леммы верно для 1 Ч1-матриц A, поскольку тогда c(k) = d(k) для всех k ≥ 1. Примем, что лемма верна для всех подматриц матрицы A и докажем, что она верна и для A. Выберем

k1 таким образом, чтобы для любых последовательностей

c1(k), d1(k), k = 0, 1, ... итерационного процесса, соответствующего под-

матрице A1 = (aij)i Ij J , полученной из A вычеркиванием строки или столбца, было выполнено неравенство

53

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Докажем, что если для матрицы A некоторая строка (столбец) несущественна (несущественен) на отрезке [s, s + k1], то справедливо нера-

Предположим, например, что подматрица A1 получается вычеркиванием èç A несущественной l-й строки. Положим I = {1, ..., m}\{l},

d1j (0) = dj(s) + Δ(s), j = 1, ..., n, c1i (0) = ci(s), i I.

и неравенство (5.14) доказано.

Мы можем теперь показать, что для любых последовательностей c(k), d(k), k = 0, 1, ..., итерационного процесса Δ(k) ≤ εk ïðè k ≥ 8ak1/ε.

Рассмотрим целое k > k1 и представим его в виде k = (θ + t)k1, ãäå 0 ≤ θ < 1, à t > 0 − целое (θk1 − остаток от деления k íà k1).

Случай 1. Найдется такое целое положительное число h ≤ t, что все строки и столбцы матрицы A на отрезке [(θ + h − 1)k1, (θ + h)k1] существенны. Беря наибольшее из таких h, имеем

Это неравенство получено повторным применением неравенства (5.14), поскольку на каждом из отрезков

[(θ + r − 1)k1, (θ + r)k1], r = h + 1, ..., t,

некоторая строка или столбец матрицы A несущественны. Из леммы 5.1 на основании выбора h имеем

54

5. Методы решения матричных игр

Из (5.15) и (5.16) получаем

Случай 2. В каждом отрезке [(θ + h − 1)k1, (θ + h)k1], h = 1, ..., t,

некоторая строка или столбец несущественны. Следовательно, как и при выводе (5.15),

Из леммы 5.2 вытекает неравенство (5.9) и сходимость последовательностей v1(k), v2(k), k = 0, 1, ..., к значению игры v.

Вернемся к методу Брауна. Сформулируем правило остановки. Пусть задано число ε > 0. Будем останавливаться на шаге k0, когда впервые выполнено неравенство

Из (5.7) и (5.17) следует, что величины v1(k0), v2(k0) приближают зна-

чение v матричной игры с точностью до ε. Покажем, что p(k0) − ε- максиминная стратегия первого игрока. Действительно,

min A(p(k0), j) = v2(k0) ≥ v − ε.

1≤j≤n

Аналогично, q(k0) −

ε-минимаксная стратегия второго игрока.

Теорема 5.3. В методе Брауна lim v1(k) = lim v2(k) = v, а любые

k→∞ k→∞

предельные точки p0, q0 последовательностей {p(k)}, {q(k)} являются оп-

тимальными смешанными стратегиями игроков.

Доказательство. Сходимость последовательностей {v1(k)} è {v2(k)} к значению игры v вытекает из леммы 5.2. Пусть p0 − любая предель-

ная точка последовательности {p(k)}. Покажем, что p0 − оптимальная

смешанная стратегия первого игрока. Действительно, поскольку последовательность {p(k)} принадлежит компакту P, без потери общности

(выделяя соответствующую подпоследовательность) можно считать, что она сходится к p0. Тогда

min A(p(k), j) ≥ v − εk, k = 1, 2, ...,

1≤j≤m

55

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

ãäå εk → 0 + . Переходя в этих неравенствах к пределу при k → ∞, ïî-

лучим неравенство min A(p0, j) ≥ v, что означает оптимальность стра-

1≤j≤m

тегии p0 . Аналогично доказывается оптимальность для второго игрока любой предельной точки q0 последовательности {q(k)}.

Оценим скорость сходимости последовательностей к значению игры v.

Пусть Al, l ≥ 0 − подматрица, полученная из матрицы A вычерки-

ванием каких-либо l строк или столбцов, а {v1l (k)}, {v2l (k)} − последовательности обобщенного итерационного процесса, соответствующего под- матрице Al. Обозначим через kl число повторений игры, при котором для

любой подматрицы Al и любых начальных векторов cl(0), dl(0) выполне-

но неравенство v1l (k) − v2l (k) ≤ 2−lε k ≥ kl. Просматривая доказательство леммы 5.2, замечаем, что km+n−1 = 1 è k0 ≥ 8ak1ε−1. Аналогичным

Итак, полученная оценка скорости сходимость процесса Брауна малоэффективна при больших размерах матрицы A. Практически наблюдаемая

скорость сходимости существенно выше.

В заключение рассмотрим модификацию правила остановки по методу Брауна. Положим

Из неравенств (5.7) следует, что

56

5. Методы решения матричных игр

Таким образом, v2 (k), v1 (k) − наилучшие оценки снизу и сверху для значения игры v çà k ее повторений. При заданном ε > 0 будем оста-

навливать процесс на шаге k0, когда впервые выполнено неравенство

v1 (k0) − v2 (k0) ≤ ε. При этом величины v1 (k0), v2 (k0) приближают зна- чение игры v с точностью до ε. Пусть v1 (k0) = v1(t1), v2 (k0) = v2(t2).

Покажем, что p(t2) − ε-максиминная стратегия первого игрока. Действительно, используя неравенство (5.18) при k = k0, получим

min A(p(t2), j) = v2(t2) = v2 (k0) ≥ v − ε.

1≤j≤n

Аналогично, q(t1) − ε-минимаксная стратегия второго игрока.

Пример 5.5. Пусть ε = 1/5, а матрица игры −

Отметим, что решение игры в смешанных стратегиях имеет вид

p0 = q0 = (0, 2/3, 1/3), v = 1.

Применяя метод Брауна, найдем приближенное значение игры, а также ε-максиминную и ε-минимаксную смешанные стратегии игроков. Вычис-

ления удобно производить в форме таблицы. В каждой ее k-ой строке подчеркнуты наибольшие значения величин ci(k), i = 1, 2, 3 и наименьшие значения величин dj(k), j = 1, 2, 3.

Òàáë. 5.1

57

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

v1 (10) = 1, v2 (10) = 4/5, t1 = 8, t2 = 10, p(10) = (1/5, 3/5, 1/5), q(8) = (1/8, 5/8, 1/4).

Упражнение 5.8. Проверить 1/5-оптимальность полученных стратегий. Сделать еще 8 шагов по алгоритму и улучшить точность до ε = 1/18.

6. Игры с вогнутой функцией выигрыша

= X, Y, F (x, y)

игрой с вогнутой функцией выигрыша, åñëè X Em, Y En − выпуклые компакты евклидовых пространств, функция F (x, y) непрерывна на X × Y и при любом y Y она вогнута по x.

Игра называется игрой с выпуклой функцией выигрыша, если (вместо требования вогнутости) при любом x X функция F (x, y) выпукла по y.

Теорема 6.1 (Хелли). В евклидовом пространстве Em имеется се-

T

α 6

α{α}

Доказательство теоремы см. в Приложении П2.

Упражнение 6.1. Докажите теорему при m = 1.

Теорема 6.2. Для игры с вогнутой функцией выигрыша справедливо равенство

Доказательство. Обозначим последнюю величину через w. Äëÿ ëþ-

58

6. Игры с вогнутой функцией выигрыша

x X : F (x, yj) ≥ w, j = 1, ..., m + 1.

Введем множества Dy = {x X | F (x, y) ≥ w}, y Y, представляющие собой выпуклые компакты в Em. Из последних неравенств вытекает, что

m+1

T Dyj 6= при любых y1, ..., ym+1 Y. Следовательно, выполнены усло-

j=1

вия теоремы 6.1 и T

Dy 6= , ò.å.

y Y

\

x Dy F (x, y) ≥ w y Y min F (x, y) ≥ w.

y Y

y Y

Отсюда v ≥ w v = w.

m+1

Положим Q = {q Em+1 | P qj = 1, qj ≥ 0, j = 1, ..., m + 1}.

j=1

Теорема 6.3. Игра с вогнутой функцией выигрыша имеет решение в смешанных стратегиях вида (x0, ψ0, v), ãäå x0 − максиминная стратегия первого игрока,

Функция Φ(x, q) непрерывна, линейна по q и вогнута по x. Следовательно, по теореме 2.3 она имеет седловую точку. Поэтому

59

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Отсюда следуют равенства

max F (x, ψ0) = v = min F (x0, y)

x X y Y

и по теореме 4.1 тройка (x0, ψ0, v) − решение игры в смешанных стратегиях.

Замечание. В доказательствах теорем 5.2 и 5.3 выпуклость множества Y не использовалась. Y можно было считать компактом метрического

пространства.

Аналогично доказывается следующее утверждение.

n+1

Положим P = {p En+1 | P pi = 1, pi ≥ 0, i = 1, ..., n + 1}.

i=1

Теорема 5.4. Игра с выпуклой функцией выигрыша имеет решение в смешанных стратегиях вида (ϕ0, y0, v), ãäå y0 − минимаксная стратегия первого игрока,

60