Васии А.А., Морозов B.B. Введение в теорию игр / Vasin_-_Vvedenie_v_teoriu_igr

2. Седловые точки и антагонистические игры

Поэтому

Теперь сформулируем необходимое и достаточное условие существования седловой точки для функции двух переменных.

Теорема 2.1. 1) Для того чтобы функция F (x, y) íà X × Y имела

седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство

2) Пусть выполнено равенство (2.3). Пара (x0, y0) тогда и только тогда является седловой точкой, когда x0 − максиминная, а y0 − минимаксная

стратегии игроков.

Доказательство. Утверждения 1) и 2) будем доказывать одновременно.

Необходимость. Пусть (x0, y0) − седловая точка функции F (x, y). Покажем, что выполнено равенство (2. 3), а x0, y0 − максиминная и минимаксные стратегии. Имеем

Но неравенство v ≤ v верно в силу леммы 2.2. Поэтому v = v è â ïî-

следних неравенствах всюду можно поставить знаки равенств. Из полу- ченных равенств следует, что x0 − максиминная, а y0 − минимаксная

стратегии игроков.

Достаточность. Пусть равенство (2.3) выполнено. Возьмем x0, y0 −

максиминную и минимаксную стратегии и покажем, что они образуют седловую точку. Имеем

Во всех неравенствах можно поставить знаки равенств и получаем, что (x0, y0) − седловая точка функции F (x, y).

Замечание. Если выполнено равенство (2.3), то множество всех седловых точек прямоугольно и совпадает с X0 ×Y 0, ãäå X0 è Y 0 − множества

всех максиминных и минимаксных стратегий игроков.

11

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Упражнение 2.1. Докажите, что 3×3-матрица не может иметь ровно 7 седловых точек.

Пример 2.3. Найдем все седловые точки матрицы

величины v и v. При фиксированном x минимум по y функции F (x, y) достигается в точке y(x) = 3x/4 Y. Поэтому функция минимума −

W (x) = min F (x, y) = 7x2/8. Отсюда v = 7/8 è x0 = 1 − максиминная

0≤y≤1

стратегия. Зафиксируем y. Максимум функции F (x, y) по x достигается в концах отрезка [0, 1] и равен

≤

Минимум функции M(y) достигается при y0 = 2/3 è v = M(y0) = 8/9 > v = 7/8. Следовательно, функция F (x, y) не имеет седловой точки.

Упражнение 2.2. Найдите максиминную и минимаксную стратегии, а также нижнее и верхнее значения игры , в которой

X = [−2, 3], Y = [−1, 2], F (x, y) = −x2 + 4xy − 5y2 + 3x − 2y.

Иногда в выражениях

12

2. Седловые точки и антагонистические игры

Тогда максиминная (или минимаксная) стратегия не ñуществует и седловой точки нет. Возможен другой случай, когда v < v, но эти величины близки. В подобных случаях используют понятие

ε-седловой точки.

Определение. Пусть задано ε > 0. Ïàðà (xε, yε) X × Y называется ε-седловой точкой функции F (x, y) íà X × Y , åñëè

F (x, yε) − ε ≤ F (xε, yε) ≤ F (xε, y) + ε x X, y Y.

Упражнение 2.3. Пусть x0, y0 − максиминная и минимаксная стратегии, a ε = v − v > 0. Доказать, что (x0, y0) − ε-седловая точка функции

F (x, y).

Определение. Пусть задано ε > 0. Стратегия первого игрока xε íà-

зывается ε-максиминной, åñëè inf F (xε, y) ≥ v − ε. Стратегия второго

y Y

игрока yε называется ε-минимаксной, åñëè sup F (x, yε) ≤ v + ε.

x X

Эти стратегии обеспечивают игрокам получение своих наилучших гарантированных результатов с точностью до ε. Сформулируем аналог теоремы 2.1.

Теорема 2.1 0. 1) Для того чтобы при любом ε > 0 функция F (x, y) íà X ×Y имела ε-седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы было

выполнено равенство (2.4).

2) Пусть равенство (2.4) выполнено. Тогда компоненты ε-седловой точки являются 2ε-максиминной и 2ε-минимаксной страте-

гиями. Обратно, ε-максиминная и ε-минимаксная стратегии образуют 2ε-седловую точку.

Упражнение 2.4. Докажите теорему 2.10.

Представляют интерес условия топологического характера, при которых существуют максиминные и минимаксные стратегии.

Теорема 2.2. Пусть функция F (x, y) непрерывна на X × Y, ãäå X, Y − компакты метрических пространств1. Положим

def

Y (x) = Argmin F (x, y). Тогда

y Y

1Недостаточно подготовленный читатель здесь и далее может заменить выражение "компакт метрического пространства"на выражение "замкнутое ограниченное множество евклидова пространства".

13

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1) Функция минимума W (x) = min F (x, y) непрерывна на X.

y Y

2) Предположим дополнительно, что при каждом x X множество Y (x) состоит из единственного элемента y(x). Тогда функция y(x) непрерывна на X.

Доказательство. 1) Возьмем произвольную последовательность

элементов из X, сходящуюся к x0. Покажем, что lim W (xk) существует

k→∞

и равен W (x0). Предположим противное. Тогда найдется такая подпо-

следовательность {kl}, ÷òî lim W (xkl ) = A 6= W (x0). Возьмем последо-

l→∞

вательность {ykl Y (xkl )}. В силу компактности множества Y можно

считать, что2 lim ykl = y0. Покажем, что y0 Y (x0). Действительно, по

l→∞

определению ykl

W (xkl ) = F (xkl , ykl ) ≤ F (xkl , y) y Y.

Переходя в этом неравенстве к пределу при l → ∞ и используя непрерывность функции F (x, y), получим

F (x0, y0) ≤ F (x0, y) y Y y0 Y (x0).

Наконец, A = lim F (xkl , ykl ) = F (x0, y0) = W (x0) (противоречие).

l→∞

2) Покажем, что функция y(x) непрерывна на X. Предположим, что она разрывна в некоторой точке x0 X. Тогда найдется такая последовательность {xk} элементов из X, сходящаяся к x0, что соответствующая последовательность {y(xk)} не сходится к y(x0). Поэтому существует окрестность U точки y(x0), вне которой находится бесконечное число членов последовательности {y(xk)}. В силу компактности множества Y \U из этой последовательности можно выделить подпоследовательность {y(xkl )} Y \U, сходящуюся к некоторому элементу y0 6= y(x0). Но, как и в части 1), нетрудно доказать, что y0 Y (x0). Получили противоречие с тем, что множество Y (x0) состоит из единственного элемента.

Замечание. В процессе доказательства теоремы мы также установили замкнутость множества {(x, y) | x X, y Y (x)}. Отметим также, что

в теореме 2.2 компактность множества Y существенна.

2Здесь использовано следующее свойство компакта метрического пространства: из любой последовательности элементов компакта Y можно выделить подпоследо-

вательность, сходящуюся к некоторому элементу из Y. Считаем, что {ykl } и есть соответствующая выделенная подпоследовательность.

14

2. Седловые точки и антагонистические игры

Пример 2.5. Пусть

X = [−1, 1], Y = (−∞, +∞), F (x, y) = (y2 + 1)(xy − 1)2.

Здесь множество Y не является компактом, а функции

разрывны.

Определение. Антагонистическая игра называется непрерывной, åñëè X, Y − параллелепипеды евклидовых пространств, а функция F (x, y) непрерывна на X × Y . В частности, при

X = [a, b], Y = [c, d] будем говорить о непрерывной игре на прямоугольнике.

Из теоремы 2.2 следует, что в непрерывной игре существуют мак-

симинные и минимаксные стратегии игроков.

Теперь займемся достаточными условиями существования седловой точки функции двух переменных. Их можно сформулировать в терминах выпуклого анализа. Напомним некоторые определения.

Определение. Множество Z евклидова пространства называется выпуклым, если для любых точек z0 6= z00 èç Z и любого числа 0 < λ < 1 точка λz0 + (1 − λ)z00 также принадлежит множеству Z.

Определение. Функция h(z), определенная на выпуклом множестве Z, называется выпуклой, если для любых точек z0 6= z00 èç Z и любого числа 0 < λ < 1 выполнено неравенство

Если последнее неравенство выполнено как строгое, то функция h(z) называется строго выпуклой. Если вместо неравенства ≤ в (2.4) фигурирует неравенство ≥ (>), то функция h(z) называется вогнутой (строго вогнутой).

m

Упражнение 2.5. Докажите, что функция P zi2 строго выпукла.

i=1

Упражнение 2.6. Докажите, что строго выпуклая непрерывная функция на выпуклом компакте1 евклидова пространства достигает минимума в единственной точке.

1Замкнутом ограниченном множестве.

15

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Теорема 2.3. Пусть X Em è Y En − выпуклые компакты евклидовых пространств, а функция F (x, y) непрерывна на X ×Y. Предположим, что при любом y Y функция F (x, y) вогнута по x и при любом x X она выпукла по y. Тогда функция F (x, y) имеет на X ×Y седловую

точку.

Доказательство. Вначале докажем существование седловой точки в случае, когда функция F (x, y) строго выпукла по y. Тогда для всякого

x X функция F (x, y) достигает минимума на Y в единственной точке

y(x). По теореме 2.2 функции W (x) = min F (x, y) è y(x) непрерывны

y Y

íà X. Возьмем точку x , максимизирующую функцию W (x) íà X, и докажем, что пара (x , y(x )) является седловой точкой функции F (x, y). Для любых x è 0 < t < 1 положим y˜ = y((1−t)x +tx). В силу вогнутости по x функции F (x, y) имеем

W (x ) ≥ W ((1 − t)x + tx) = F ((1 − t)x + tx, y˜) ≥

≥ (1 − t)F (x , y˜) + tF (x, y˜) ≥ (1 − t)W (x ) + tF (x, y˜).

Отсюда tF (x, y˜) ≤ tW (x ). Сократив на положительное t и устремив t → 0+, получим неравенства для седловой точки

F (x, y(x )) ≤ W (x ) = F (x , y(x )) ≤ F (x , y) x X, y Y.

Докажем теорему в общем случае. При ε > 0 функция

Возьмем последовательность положительных чисел {εk}, сходящуюся к нулю. Из компактности множеств X и Y следует, что без потери общности xεk → x0, yεk → y0. Полагая в последних неравенствах ε = εk è переходя к пределу при k → ∞, получим неравенства (2.1) из определе-

ния седловой точки. Заметим, что первая часть доказательства теоремы конструктивна:

для поиска седловой точки функции F (x, y), строго выпуклой по y, достаточно найти максиминную стратегию x и наилучший ответ на нее

16

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

m

P

pi = 1, pi ≥ 0, i = 1, ..., m. Если применяется p, то стратегия i âûáè-

i=1

рается с вероятностью pi. Например, в игре "орлянка"опытные игроки используют смешанную стратегию p0 = (1/2, 1/2), подбрасывая монету и выбирая "орел"или "решку"в зависимости результата бросания.

Вообще, одна из возможных реализаций смешанной стратегии − это бросание монет. С помощью одного бросания одной монеты можно осуществить только вероятность 1/2. С помощью двух монет или двукрат-

ного бросания одной монеты можно уже реализовать вероятности 1/2, 1/4 è 3/4. Ясно, что бросанием нескольких монет или многократным бро-

санием одной монеты можно реализовать широкий спектр вероятностей. Другой возможный и более удобный способ реализации смешанной стра-

тегии − использовать рулетку. Делим круг рулетки на сектора с площа-

дями, пропорциональными заданным вероятностям использования чи- стых стратегий. Затем вращаем стрелку и используем ту стратегию, в секторе которой она остановится.

2) Пусть X = [a, b], как это имеет место в непрерывной игре на прямоугольнике. Здесь смешанная стратегия − функция распределения ϕ на отрезке [a, b].

Пример 3.1. Пусть X = [0, 1], c(x) − неубывающая дифференцируемая функция, определенная на отрезке [1/2, 1] и удовлетворяющая условиям c(1/2) = 1/2, c(1) = 1. Определим функцию распределения

0, −∞ < x < 0,

ϕ0(x) =

1/4, 0 ≤ x < 1/2,

c(x), 1/2 ≤ x ≤ 1,

1, 1 < x < +∞.

Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции h(x) по функции распределения ϕ0(x) вычисляется по формуле

3) Пусть X − выпуклый компакт евклидова пространства. Здесь примером смешанной стратегии может служить вероятностная мера, сосре-

18

3. Смешанные расширения антагонистических игр

доточенная в конечном числе точек:

mm

Интеграл от непрерывной функции h(x) по рассматриваемой мере имеет

Xi=1

Обозначим через {ϕ} − множество всех смешанных стратегий первого игрока на множестве X. Можно считать, что X {ϕ}. Действительно, в последнем случае стратегию x можно отождествить с вероятностной мерой Ix. Если множество X конечно, то выбор i эквивалентен выбору смешанной стратегии p = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), где единица стоит на i-м месте, а при X = [a, b] стратегию x [a, b] можно отождествить с функцией распределения, имеющей скачок 1 в точке x.

Множество X будем называть множеством чистых стратегий первого

игрока (в противовес смешанным).

Займемся построением смешанного расширения антагонистической игры = X, Y, F (x, y) . Мы определили множество {ϕ} смешанных

ных стратегий второго игрока, т.е. вероятностных распределений ψ на множестве Y его чистых стратегий. При заданных стратегиях ϕ и ψ

математическое ожидание выигрыша первого игрока определяется формулой Z Z

F (ϕ, ψ) = F (x, y)dϕ(x)dψ(y).

X Y

Здесь предполагается, что двойной интеграл существует. Определение. Антагонистическая игра

= {ϕ}, {ψ}, F (ϕ, ψ)

19

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

называется смешанным расширением игры .

Определение. Решение (ϕ0, ψ0, v = F (ϕ0, ψ0)) игры называется решением исходной игры в смешанных стратегиях. При этом ϕ0, ψ0 íà- зываются оптимальными смешанными стратегиями игроков, а v − зна- чением èãðû .

Далее будут построены смешанные расширения матричных и непрерывных игр и будет показано, что эти игры всегда имеют решение в смешанных стратегиях.

Напомним, что матричная игра задается матрицей A = (aij)m×n. Множество смешанных стратегий первого игрока −

m

X

P = {p = (p1, ..., pm) | pi = 1, pi ≥ 0, i = 1, ..., m},

i=1

множество смешанных стратегий второго игрока −

n

X

Q = {q = (q1, ..., qn) | qj = 1, qj ≥ 0, j = 1, ..., n},

j=1

а математическое ожидание выигрыша первого игрока −

=1 j=1

Таким образом, = P, Q, A(p, q) − смешанное расширение матричной игры .

Теорема 3.1 (Основная теорема матричных игр). Всякая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.

Доказательство. Достаточно доказать ,что функция A(p, q) имеет седловую точку на P ЧQ. Множества P, Q − многогранники евклидовых пространств, а функция A(p, q) билинейна и поэтому непрерывна на P Ч Q, вогнута по p и выпукла по q. По теореме 2.3 функция A(p, q) имеет на P Ч Q седловую точку.

Упражнение 3.1. Покажите, что тройка

(p0, q0, v) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2), 0)

− решение в смешанных стратегиях игры "орлянка".

Отметим типичные случаи, когда применяются смешанные стратегии.

20