Васии А.А., Морозов B.B. Введение в теорию игр / Vasin_-_Vvedenie_v_teoriu_igr

22. Решение упражнений

5.4.Предположим, что точка z0 не является крайней точкой множества Z и представима в виде z0 = λz0 + (1 − λ)z00, z0 6= z00 Z, 0 < λ < 1.

Поскольку функция |z|2 строго выпукла на множестве Z (см. упражнение 2.4),

|z0|2 = |λz0 + (1 − λ)z00|2 < λ|z0|2 + (1 − λ)|z00|2 ≤ max |z|2,

z Z

− его крайняя точка. Покажем, что z0 − крайняя точка множества Z. Пусть, напротив, найдутся такие точки z0 6= z00 множества Z и такое число 0 < λ < 1, ÷òî z0 = λz0 + (1 − λ)z00. Тогда по крайней мере одна из точек z0 èëè z00 не принадлежат множеству Z . Поэтому h(z0) =

λh(z0) + (1 − λ)h(z00) < max h(z) (противоречие с определением z0).

z Z

5.6. Пусть оптимальная стратегия p0 первого игрока удовлетворяет системе уравнений (5.3), где v − значение игры, а матрица B = (ailjt )k×k

− невырожденная. Покажем, что p0 − крайняя оптимальная смешанная стратегия. Предположим противное, т.е. p0 представимо в виде p0 = λp0 +

Покажем, что неравенства (22.3) могут выполняться только как равенства. Предположим, что найдется такой номер t1,

241

22. Решение упражнений

ренная матрица

−1 0 −1 | 00 1 −1 | 0

имеют ранги 2 и 3 соответственно. Следовательно, по теореме КронекераКапелли система (5.3) не имеет решения.

5.8. Проделаем 8 шагов по алгоритму Брауна.

Продолжение таблицы 5.1.

Отсюда v1 (18) = 1, v2 (18) = 17/18 ε = 1/18. Далее,

t1 = 8, t2 = 18, p(18) = (1/9, 11/18, 5/18), q(8) = (1/8, 5/8, 1/4).

6.1. Пусть Dα = [aα, bα], α L − семейство отрезков, любые два из которых имеют непустое пересечение. Докажем, что найдется точка x0 Dα α L. Заметим, что из условия теоремы aα ≤ bβ α, β L.

(x0, ψ0, v) = ((1/2, 1/2), P Iyj /4, 1/2) − решение в смешанных стратеги-

j=1

ях. Проверим условие ( ). Функция

4

F (x, ψ0) = X 14[1 − (x1 − y1j)2 − (x2 − y2j)2]

j=1

242

22. Решение упражнений

строго вогнута по x = (x1, x2). Имеем

Отсюда следует, что max F (x, ψ0) достигается в точке x0 = (1/2, 1/2) è

èусловие ( ) выполнено.

6.3.Для нормального распределения

F (x, c) = σ2c21/n + (c1 − 1)2x2 + 2c2(c1 − 1)x + c22.

Стратегия статистика y0(z) = c01z +c02 будет выравнивающей, если c01 = 1. При этом значение функции риска будет минимальным, если c02 = 0.

Åñëè c1 6= 1, òî sup F (x, c) = +∞. Следовательно, найденная решающая

x≥0

функция y0(z) = z − минимаксная стратегия статистика.

7.1. Заметим, что sup F (x, d0) = sup p1(x) = 1 и стратегия y = d0

0≤x≤d0 0≤x≤d0

не может быть минимаксной. Пусть 0 ≤ y < d0. Тогда sup F (x, y) =

0≤x≤d0

= max[ sup (1 − p2(y))p1(x), sup p1(x)] = max[1 − p2(y), p1(y)].

0≤x≤y y<x≤d0

Функция 1 − p2(y) возрастает, а функция p1(y) убывает по y. Следовательно, функция max[1−p2(y), p1(y)] достигает минимума в точке y = d . Èòàê, v = p1(d ).

8.1. Положим

243

22. Решение упражнений

Тогда для любой стратегии y˜ второго игрока

выполнено равенство F (˜x0, y˜ ) = w. Отсюда w = v. Формула для v выводится аналогично.

8.2. Положим

F11(α, β) = max min aij, F12(α, β) = min max aij, α, β = 1, 2.

i Mα j Nβ

Ïðè ýòîì

è

9.1. Определение седловой точки (x0, y0) функции F (x, y) íà X × Y можно записать следующим образом:

F (x0, y0) = max F (x, y0), −F (x0, y0) = max(−F (x0, y)),

что совпадает с определением ситуации равновесия.

9.2. Пусть в игре возникла ситуация (1,1). Тогда выгодно отклониться первому игроку и возникнет ситуация (2,1). Теперь выгодно отклониться

второму игроку, возникнет ситуация (2,1) и т.д. по схеме (1, 1) → (2, 1) → (2, 2) → (1, 2) → (1, 1).

244

22. Решение упражнений

9.3.Если игроки одновременно применяют правило правой руки (левой руки), то первый (второй) игрок проедет и "получит"1, а второй (первый) его пропустит и получит 0. Если первый применяет правило

правой руки, а второй − левой, то произойдет столкновения и оба проиграют по 10. Åñëè − наоборот, то оба будут стоять и проиграют по 1.

9.4.В игре два равновесия по Нэшу: (1,1) и (2,2).

9.5.В игре единственное равновесие по Нэшу: (1,1).

9.6.Пусть (x0, y0) − произвольная ситуация в антагонистической игре. Предположим, что ситуация (x0, y0) не является оптимальной по Парето. Тогда найдется ситуация (x0, y0), для которой выполнены неравенства F (x0, y0) ≥ F (x0, y0), −F (x0, y0) ≥ −F (x0, y0) è ïðè ýòîì õîòÿ áû

одно из них выполнено как строгое. Складывая эти неравенства, полу- чим 0 > 0 (противоречие).

9.7.Пусть функция f : [0, 1] → [0, 1] непрерывна. Тогда для функции g(x) = f(x)−x g(0) ≥ 0 è g(1) ≤ 0. По теореме математического анализа

îпромежуточных значениях найдется точка x0, для которой g(x0) = 0.

9.8.1) f(x) = x + 1, x [0, +∞);

2) f(x) = x/2, x (0, 1];

(

3) f(x) = x + 1/2, x [0, 1/2), x − 1/2, x [1/2, 1].

10.1. Пусть (p0, q0) − ситуация равновесия и стратегия q0 при некотором v1 удовлетворяет системе (см. (10.1))

2q10 + q30 = q10 + 2q20 = q20 + 2q30 = v1, q10 + q20 + q30 = 1.

Отсюда q0 = (1/3, 1/3, 1/3).

Предположим, что q0 удовлетворяет системе

2q10 + q30 < q10 + 2q20 = q20 + 2q30 = v1, q10 + q20 + q30 = 1.

Тогда q30 = 1/3, à q20 > 1/3. По свойству дополняющей нежесткости p01 = 0, p02 + 2p03 = p03 = v2. Отсюда p01 = p02 = p03 = 0 (противоречие).

Наконец, разберем случай, когда

2q10 + q30, q10 + 2q20 < q20 + 2q30 = v1, q10 + q20 + q30 = 1.

Тогда q30 > 1/3, а по свойству дополняющей нежесткости p01 = p02 = 0 p03 = 1. Из системы (10.2) следует, что v2 = B(p0, 3) ≥ B(p0, 2) èëè 1 ≥ 2 (противоречие).

245

22. Решение упражнений

Другие случаи реализации системы (10.1) получаются из разобранных перестановкой координат, поскольку матрицы A è B − циклические.

Аналогично доказывается, что p0 = (1/3, 1/3, 1/3). 10.2. Äоказательство теоремы 10.4. 1) Пусть множества

вых компонент с номерами из множеств X1\X2 è Y1\Y2 соответственно. Нетрудно показать, что (p2, q2) − ситуация равновесия в редуцированной

игре с матрицами A2 è B2, полученными из матриц A è B вычеркивани-

ем строк с номерами из X1\X2 и столбцов с номерами из Y1\Y2. Поэтому рассуждения можно повторить для редуцированной игры и получить, что p0i = 0 i X2\X3, qj0 = 0 j Y2\Y3 è ò.ä.

2) Ïóñть множества

Z = Zk Zk−1 · · · Z1 = Z, Zl = Xl × Yl, l = 1, ..., k,

отвечают определению слабого доминирования

Пусть Ak−1 è Bk−1 − подматрицы матриц A è B с номерами строк из Xk−1 и номерами столбцов из Y k−1. Рассмотрим вектор pk−1, полученный из вектора p добавлением нулевых компонент с номерами из Xk−1\X. Аналогично, вектор qk−1 получается из вектора q добавлением нулевых компонент с номерами из Y k−1\Y . Докажем, что (pk−1, qk−1) − ситуация равновесия в игре с матрицами Ak−1 è Bk−1. Для этого проверим условие ( ) для ситуации (pk−1, qk−1). Имеем

Ak−1(i, qk−1) = A(i, q) ≤ A(p, q) = Ak−1(pk−1, qk−1) i X.

Пусть i Xk−1\X. Тогда найдется такая стратегия p, ÷òî p i íà Y k−1

j Y i1 X

В результате доказали неравенства

246

22. Решение упражнений

Ak−1(i, qk−1) ≤ Ak−1(pk−1, qk−1) i Xk−1.

Аналогично доказывается вторая группа неравенств из условия ( )

Bk−1(pk−1, j) ≤ Bk−1(pk−1, qk−1) j Y k−1.

Èòàê, (pk−1, qk−1) − ситуация равновесия игры с матрицами Ak−1 è Bk−1.

Рассуждения можно продолжить, аналогичным образом ввести ситуацию (pk−2, qk−2) и доказать, что она является равновесием по Нэшу

игры с матрицами Ak−2 è Bk−2 è ò.ä.

10.3. Пусть C − сумма матриц A è B. Как отмечалось, C = (cij)m×n =

(fj + gi)m×n. Поскольку f1 = 0, разность j-ãî è 1-ãî столбцов матрицы C можно записать в виде fje, ãäå e = (1, ..., 1) Em. Отсюда fj = c1j − c11, j = 1, ..., n è a0ij = aij − fj = aij − a1j − b1j + a11 + b11 i, j.

10.4. Заметим, что для любой смешанной стратегии q второго игрока

Поэтому неравенства A(i, q0) ≤ A(p0, q0) равносильны неравенствам A0(i, q0) ≤ A0(p0, q0), i = 1, ..., m. Аналогично показывается, что для любой смешанной стратегии p первого игрока

Поэтому последовательности стратегий игроков {ik}, {jk} в процессе Брауна для игры с матрицей A0 и в аналогичном процессе для игры можно

взять совпадающими. По теореме 5.3 любая предельная точка (p0, q0) последовательности {(p(k), q(k))} является седловой точкой в смешанных стратегиях и, следовательно, смешанным равновесием по Нэшу игры .

247

22. Решение упражнений

11.1.Заметим, что Y1 (f1ε) = {g | g(xε) = yε}. Следовательно,

11.2. Возьмем произвольную стратегию f1 {f1} и докажем, что W (f1) ≤ max[K0, F1]. Пусть {g } − множество всех функций наилучшего ответа второго игрока. Имеем

Рассмотрим два случая.

1) sup G(f1(g), g) > G3. Тогда найдется такая функция

g{g}

gε Y1 (f1), ÷òî ïàðà (x0, y0) = (f1(gε), gε(x0)) принадлежит множеству D0. В этом случае

2) sup G(f1(g), g) = G3. Покажем, что {g } Y1 (f1).

g{g}

Действительно, для всякой функции наилучшего ответа g

≤ G(f1(g ), g ) ≤ sup G(f1(g), g) = G3.

g{g}

В последних неравенствах крайние члены совпадают. Следовательно, все неравенства выполнены как равенства и {g } Y1 (f1). Определим

g0 {g } :

g0(x) Arg min F (x, y) x X

y Y (x)

− функцию наилучшего ответа второго игрока, наименее благожелательного по отношению к первому. Тогда

248

22. Решение упражнений

11.3.Зададим стратегию g второго игрока условием

g (x) Arg max F (x, y) x X.

y Y (x)

Она аналогична стратегии первого игрока f , определенной перед леммой 11.1. Из этой леммы следует, что функция F (x, g (x)) полунепре-

рывна сверху на X. Возьмем x Arg max F (x, g (x)). Тогда (x , g ) −

x X

ситуация равновесия игры 1.

11.4. Если первый игрок в игре 3 использует стратегии-константы f1(g) ≡ x, то он может обеспечить себе такой же результат, как и в игре

1. Следовательно, F1 ≤ F3. Аналогично показывается, что F1 ≤ F2. Далее, K0 ≤ K, поскольку D0 D. Поэтому F3 = max[K0, F1] ≤ F2 =

max[K, M].

11.5. Ïðè α = 1 функция наилучших ответов второго игрока имеет

и наилучший гарантированный результат для первого игрока

Во втором случае y(x ) = 0 и первая фирма вытесняет вторую с рынка. В

обоих случаях F1 ≥ F (x0, y0) = Kc1c2/(c1 + c2)−2, ãäå (x0, y0) = (Kc2(c1 + c2)−2, Kc1(c1 + c2)−2) − ситуация равновесия в игре при k = 1.

11.6. Равновесие по Штакельбергу в примере 11.1 (i0, j0) = (2, 1), а в примере 11.2 (x0, y0) = (1/2, 1).

249

22. Решение упражнений

12.1.Необходимость. Пусть функция h(z) квазивогнута. Докажем, что множество Лебега Z+(z0) выпукло для произвольного z0 Z. Возьмем любые две точки z0, z00 Z+(z0) и любое число 0 < λ < 1. Тогда

h(λz0 + (1 − λ)z00) ≥ min[h(z0), h(z00)] ≥ h(z0).

Достаточность. Пусть множества Лебега Z+(z0) выпуклы при всех z0 Z. Возьмем любые две точки z0, z00 Z и любое число 0 < λ < 1. Без потери общности можно считать, что h(z0) ≤ h(z00). Тогда z0, z00 Z+(z0) и в силу выпуклости множества Z+(z0) точка λz0 +(1−λ)z00 также принадлежит Z+(z0), ò.å. h(λz0 + (1 − λ)z00) ≥ h(z0) = min[h(z0), h(z00)].

Следовательно, функция h(z) квазивогнута на Z.

13.1.p(i, µ) = 0, i = 1, 2, 4, 6, p(3, µ) = 1/4, p(5, µ) = 3/4.

13.2.Игрок 1 имеет стратегии µ1 = (k, l) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)},

ãäå k è l − номера альтернатив его левой и правой личной позиции (см. рис. 13.4). Аналогичный вид имеют стратегии второго игрока. Нормальная форма игры G задается матрицами

а нормальная форма подигры Gz − матрицами

13.3. µ = ((1, 1), (1, 2)).

14.1. Пусть x Poss µa. Если в некоторой позиции

x0 [x0, x] ∩ Xa, x0 6= x стратегия µa выбирает альтернативу, не принад-

лежащую пути [x0, x], то вероятность попасть в вершину x равна нулю

(противоречие).

Обратно, пусть в каждой вершине x0 [x0, x] ∩ Xa, x0 6= x, стратегия µa выбирает альтернативу, принадлежащую пути [x0, x]. Покажем, что в этом случае x Poss µa. Действительно, определим стратегии

µb, b A\{a}, других игроков таким образом, чтобы эти стратегии вы-

бирали в каждой вершине x0 [x0, x] ∩ Xb, x0 6= x,, альтернативы принадлежащие пути [x0, x]. Åñëè x0 [x0, x] ∩ X0, x0 6= x, то вероятность

выбора такой альтернативы положительна. Следовательно, p(x|µ) > 0.

14.2. На рис. 22.1 изображено дерево игры. Игрок 1 имеет полную память, поскольку Партнер наблюдает за действиями Играющего. Игрок

250