Васии А.А., Морозов B.B. Введение в теорию игр / Vasin_-_Vvedenie_v_teoriu_igr

5. Методы решения матричных игр

Найдем оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Разберем следующие возможности.

à) 0 < p01 < 1.

Этот случай представлен на рис. 5.1. Возьмем две прямые lj1 è lj2 , проходящие через точку (p01, v) и имеющие угловые коэффициенты kj1 ≥

0, kj2 ≤ 0. Рассмотрим уравнение

Оно имеет решение q , принадлежащее отрезку [0,1]. Из (5.2) следует,

что угловой коэффициент прямой lj1 (p1)q + lj2 (p1)(1 − q ) равен нулю. Смешанная стратегия второго игрока

A(p, q ) = lj1 (p1)q + lj2 (p1)(1 − q ) = v.

á) p01 = 0.

В этом случае чистая стратегия 2 первого игрока является оптимальной. Покажем, что у второго игрока также имеется чистая оптимальная

стратегия. Действительно, найдется прямая lj1 , проходящая через точку (0, v) и имеющая угловой коэффициент kj1 ≤ 0. Выбирая чистую стратегию j1, второй игрок не позволит первому выиграть больше, чем v, поскольку A(p, j1) = lj1 (p1) ≤ v ïðè âñåõ p1 [0, 1]. Итак, матрица игры имеет седловую точку (2, j1).

â) p01 = 1.

В этом случае, аналогичном б), матрица игры также имеет седловую точку.

найдем, что максимум нижней огибающей достигается в p01 = 1/5 − точке пересечения прямых l1 è l3.

41

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Ðèñ. 5.2

Значение игры v = l1(p01) = 7/5 è p0 = (1/5, 4/5). Здесь j1 = 3, k3 = 2, j2 = 1, k1 = −3. Из уравнения 2q + (−3)(1 − q ) = 0 находим q =

3/5. Отсюда q0 = (2/5, 0, 3/5) − оптимальная стратегия второго игрока. Сделайте проверку условия ( ) теоремы 4.1 0 для найденного решения

(p0, q0, v).

Упражнение 5.3. Найдите все оптимальные стратегии игроков в игре

Теперь рассмотрим игру с m × 2-матрицей A. Смешанная стратегия

q = (q1, 1 − q1) второго игрока определяется величиной q1 [0, 1]. Значе- ние игры, согласно следствию теоремы 4.2 0, представимо в виде

Поэтому необходимо построить верхнюю огибающую max li(q1) семей-

1≤i≤m

ства прямых li(q1) = ai1q1 +ai2(1−q1), i = 1, ..., m, и найти на отрезке [0,1]

точку q10 ее минимума. Она будет соответствовать оптимальной смешанной стратегии второго игрока. Оптимальная стратегия первого игрока строится с использованием уравнения, аналогичного (5.2).

III. Сведение решения матричной игры к паре двойственных задач линейного программирования.

Сведение решения матричной игры к задачам линейного программирования − наиболее эффективный прием, позволяющий использовать

алгоритм симплекс-метода.

42

5. Методы решения матричных игр

Без потери общности будем предполагать, что значение матричной èãðû v положительно. Согласно следствию теоремы 4.2 0, оно представи-

Поскольку v > 0, можно считать, что u принимает положительные

значения. Сделаем замену переменных zi = pi/u, z = (z1, ..., zm). Тогда, учитывая ограничения (u, p) B, получим

mm

Ïî z0 находим значение игры и оптимальную смешанную стратегию пер-

43

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

ãäå w0 − оптимальное решение задачи линейного программирования

n

Здесь q0 = vw0 − оптимальная смешанная стратегия второго игрока. Задачи (I) è (II) двойственны одна по отношению к другой.

Отметим свойство дополняющей нежесткости для оптимальных решений z0 è w0 задач (I) è (II) :

2) wj0 > 0 P aijzi0 = 1.

i=1

Оно непосредственно вытекает из утверждения теоремы 4.3 0 после заме-

стратегия p = (1/2, 1/2) обеспечивает первому игроку положительный выигрыш. Поэтому v > 0. Выпишем задачи линейного программирования

Используя графические построения на плоскости, нетрудно найти, что z0 = (5/8, 1/2) − оптимальное решение задачи (I). Отсюда

v = 1/(z10 + z20) = 8/9, p0 = vz0 = (5/9, 4/9).

44

5. Методы решения матричных игр

Найдем оптимальное решение w0 задачи (II). Поскольку z10, z20 > 0 è 3z10 + z20 > 1, по свойству дополняющей нежесткости

3w20 + 4w30 = 1, 2w10 + w20 − 3w30 = 1, w20 = 0.

Поэтому w0 = (7/8, 0, 1/4), q0 = vw0 = (7/9, 0, 2/9).

IV. Необходимые условия для крайних оптимальных смешанных стратегий.

Здесь рассматривается комбинаторного типа алгоритм решения игры, основанный на переборе подматриц матрицы A.

Определение. Пусть Z − выпуклое множество евклидова пространства. Точка z0 Z называется крайней точкой множества Z, если не существует таких точек z0 6= z00 Z и такого числа 0 < λ < 1, ÷òî z0 = λz0 + (1 − λ)z00.

Другими словами, крайняя точка выпуклого множества Z не являет-

ся внутренней точкой никакого отрезка, соединяющего две точки этого множества. Нетрудно видеть, что крайняя точка не может быть вну-

тренней точкой множества Z. Однако не всякая граничная точка множества Z является крайней точкой этого множества. Например, у квадрата крайними точками являются только его вершины.

Упражнение 5.4. Пусть Z − выпуклый компакт евклидова простран-

ñòâà è z0 Argmax |z|2. Докажите, что z0 − крайняя точка множества

z Z

Z.

Упражнение 5.5. Пусть h(z) − линейная функция, определенная на выпуклом компакте Z евклидова пространства. Докажите, что h(z) достигает максимума в некоторой крайней точке множества Z.

Если множество Z − многогранник, то его крайние точки называются вершинами. Вернемся к игре с матрицей A и рассмотрим множество

оптимальных смешанных стратегий первого игрока

m

ãäå v − значение матричной игры. Нетрудно видеть, что P 0 − многогранник евклидова пространства.

Определение. Крайней оптимальной смешанной стратегией первого игрока будем называть вершину многогранника P 0.

45

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Множество оптимальных смешанных стратегий второго игрока

n

Q0 = {q0 Q | P aijqj0 ≤ v, i = 1, ..., m}

j=1

также является многогранником и его вершины − крайние оптимальные смешанные стратегии.

Теорема 5.2. Пусть в игре с матрицей A = (aij)m×n значение v 6= 0. p0, q0 крайних оптимальных смешанных страте-

гий игроков найдется такая невырожденная подматрица A = (ailjt )k×k матрицы A, что выполнены условия

Доказательство. Определим следующие множества чистых страте-

гий игроков:

n

I1 = {i | p0i > 0}, I2 = {i | P aijqj0 = v},

j=1

m

J1 = {j | qj0 > 0}, J2 = {j | P p0i aij = v}.

i=1

Из свойства дополняющей нежесткости (теорема 4.3 0) следует, что I1 I2, J1 J2. Без потери общности будем считать, что

I1 = {1, ..., r}, I2 = {1, ..., d}, J1 = {1, ..., s}, J2 = {1, ..., h},

ãäå r ≤ d è s ≤ h. Этого всегда можно добиться подходящей перестанов-

46

5. Методы решения матричных игр

Действительно, из (5.5) и из определения множества I2 следует, что

Поскольку v 6= 0, отсюда следует (5.6). Чтобы придти к противоречию,

рассмотрим ненулевой вектор α = (α1, ..., αr, 0, ..., 0) Em è ïðè ε 6= 0 определим вектор pε = p0 + εα. Из (5.6) следует, что сумма компонент

вектора pε равна единице и при достаточно малом ε эти компоненты можно сделать неотрицательными. Таким образом, при малом ε вектор pε является смешанной стратегией первого игрока. Покажем, что при достаточно малом ε стратегия pε оптимальна. Действительно, используя (5.5) и определение множества J2, при малом ε получим

Следовательно, смешанная стратегия pε при малых ε оптимальна. Наконец, p0 = (pε + p−ε)/2, что противоречит определению стратегии p0.

˜

Аналогично доказывается, что первые s столбцов матрицы A линейно

˜

независимы. Обозначим через k ранг матрицы A. Из доказанного вытекает, что k ≥ max[r, s]. Без потери общности можно считать базисными

˜

первые k строк и первые k столбцов матрицы A. На их пересечении стоит

невырожденная подматрица A = (aij)k×k. Для этой подматрицы справедливы равенства

которые представляют собой системы (5.3) и (5.4), если вернуться к исходной нумерации строк и столбцов.

Упражнение 5.6. Докажите, что условия (5.3) и (5.4) достаточны для того, чтобы оптимальные смешанные стратегии p0 è q0 были крайними

оптимальными.

47

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Покажем, что система k + 1 линейных уравнений (5.3) относительно

k + 1 неизвестных p0 , l = 1, ..., k, v либо не имеет решения, либо имеет

il

единственное решение. Действительно, расширенная матрица системы (5.3) имеет вид

Нетрудно видеть, что ее ранг равен k + 1. Если система (5.3) имеет ре-

шение, то по теореме Кренекера-Капелли ранг матрицы системы также равен k + 1 è îíà − невырожденная. Отсюда следует единственность

решения системы (5.3).

Выпишем в последнем случае решения систем (5.3) и (5.4) в явном виде. Для этого введем векторы

и запишем систему (5.3) в матричных обозначениях

pA = ve, p, e = 1.

Умножая первое равенство справа на матрицу (A)−1, выразим вектор p через v : p = ve(A)−1. Подставляя это выражение в уравнение

p, e = 1, получим

p = , v = . e(A)−1, e e(A)−1, e

Аналогично из системы (5.4) находится

q = (A)−1e . (A)−1e, e

Упражнение 5.7. Приведите пример 2 × 2-матрицы A, для которой

система (5.3) не имеет решения.

Рассмотрим теперь алгоритм решениÿ матричной игры. Перебираем все невырожденные k Ч k-подматрицы A матрицы A, начиная с k = 2.

48

5. Методы решения матричных игр

Для каждой подматрицы A решаем системы уравнений (5.3) и (5.4). Если решения не существует или некоторые компоненты

отрицательны, то переходим к следующей подматрице A. Пусть указан-

ные компоненты решений неотрицательны. Тогда определим смешанные стратегии

Здесь нет слабо доминируемых строк (даже никакими выпуклыми комбинациями − докажите!) и слабо доминирующих столбцов . Если приме-

нить указанный выше алгоритм, то подматрица

даст решение в смешанных стратегиях

p0 = (1/2, 0, 0, 1/2), q0 = (1/2, 0, 0, 0, 1/2), v = 1/2.

V. Метод Брауна.

В этом параграфе мы рассмотрим итерационный метод приближенного решения игры с матрицей A. Пусть задано число ε > 0. Требуется

найти значение игры с точностью до величины ε, а также ε-максиминную и ε-минимаксную смешанные стратегии игроков.

Метод Брауна состоит в многократном фиктивном разыгрывании матричной игры, при котором игроки по определенным правилам выбира-

ют свои чистые стратегии. Пусть за k повторений игры первый игрок ri

49

ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

раз выбрал стратегию i, i = 1, ..., m, а второй lj раз выбрал стратегию j, j = 1, ..., n. Векторы частот выбора чистых стратегий

являются смешанными стратегиями игроков. Определим итерационный процесс Брауна.

Øàã 1. Игроки выбирают произвольно стратегии i1 è j1.

Пусть за k повторений игры первый игрок выбрал стратегии i1, ..., ik,

а второй − стратегии j1, ..., jk. При этом p(k) и q(k) − соответствующие векторы частот.

Øàã k + 1. Игроки выбирают стратегии ik+1 è jk+1 из условий

A(ik+1, q(k)) = max A(i, q(k)) = v1(k),

1≤i≤m

A(p(k), jk+1) = min A(p(k), j) = v2(k).

1≤j≤n

Каждый игрок выбирает свою чистую стратегию как наилучший ответ на соответствующий вектор частот партнера. Если наилучших ответов несколько, то выбирается любой из них.

Покажем, что v1(k) è v2(k) − оценки для значения v матричной игры:

Для доказательства сходимости последовательностей {v1(k)}, {v2(k)} к значению игры v нам потребуется обобщенный итерационный процесс.

Пусть c(0) Em, d(0) En − два вектора, удовлетворяющие условию

50