Васии А.А., Морозов B.B. Введение в теорию игр / Vasin_-_Vvedenie_v_teoriu_igr

Приложение

принадлежит множеству A, поскольку является выпуклой комбинацией

Отсюда следует, что pA(x) непрерывна в нуле. Непрерывность функции pA(x) в любой точке x0 вытекает из неравенства ( субаддитивность ) |pA(x) − pA(x0)| ≤ max[pA(x − x0), pA(x0 − x)] и ее непрерывности в нуле.

Теорема П.2. Пусть выпуклые компакты A è B â Em содержат внутренние точки. Тогда найдется взаимно однозначное и непрерывное отображение (гомеоморфизм) A íà B.

Доказательство. Без потери общности будем считать, что нуль содержится в A ∩ B вместе со своей окрестностью

жение

τ : A → B, τ(0) = 0, τ(x) = pA(x) x, x 6= 0, pB(x)

ãäå pA(x), pB(x) − функции Минковского множеств A è B. Нетрудно проверить, что

τ−1(y) = pB(y)y pA(y)

− отображение, обратное к τ. Поскольку функции pA(x), pB(x) непрерывны, отображение τ(x) непрерывно при x 6= 0. Проверим непрерывность

τ(x) в нуле. Множество B ограничено и поэтому найдется такое число α,

зательство непрерывности функции pA(x)). Следовательно, для всякого x Oε0

|τ(x)| = pA(x) |x| ≤ α|x|. pB(x) ε0

П4. Симплексы и теорема о неподвижной точке

Пусть {x1, ..., xn+1} − множество векторов из Em(n ≤ m), выпуклая

261

Приложение

оболочка которого

имеет размерность n. Тогда множество K называется симплексом, порожденным вершинами x1, ..., xn+1. Для симплекса K будем также использовать обозначение K = x1 · · · xn+1. Размерность n означает линейную независимость векторов xn+1 − x1, ..., xn+1 − xn. Отсюда вытекает, что

для всякого x K коэффициенты λi(x), i = 1, ..., n + 1, в разложении x ïî xi определены однозначно и являются непрерывными функциями на

K.

Всякое множество, содержащее r ≤ n + 1 вершин, порождает (r − 1)- мерный симплекс, называемый гранью симплекса K. Вершины x1, ..., xn+1 являются нульмерными гранями. n-мерная грань совпадает с K. Îäíî-

мерные грани xixj, i 6= j, называются ребрами симплекса K. Диаметр симплекса K определяется как максимальная длина его ребер. Подмно-

K âèäà

называется открытым симплексом, порожденным вершинами

x1, ..., xn+1. Для открытого симплекса будем также использовать обозна- чение K0 = x1 · · · xn+1. Нульмерные симплексы являются открытыми. Открытые ребра будем обозначать через xixj.

Пусть симплекс K таким образом разбит на открытые попарно непе- ресекающиеся симплексы K1, ..., Kp , что любая открытая грань каждого

симплекса Kj принадлежит разбиению. Такое разбиение называется симплициальным. Симплексы Kj, принадлежащие K0, образуют разбиение открытого симплекса.

На рис. П.1 приведен пример симплициального разбиения двумерного симплекса K на два двумерных, пять одномерных и четыре нульмерных открытых симплекса.

262

Приложение

Ðèñ. Ï.1

Соответствующий открытый симплекс K0 разбит на два двумерных и

один одномерный открытых симплекса. Если удалить из разбиения нульмерный симплекс y, а ребра x2y è yx3 заменить на ребро x2x3, то получим

пример несимплициального разбиения. Для симплициального разбиения π через δ(π) обозначим максимальный диаметр симплексов, входящих в

π.

n+1

Точка 1 P xi называется барицентром симплекса K. Определим

n+1

i=1

симплициальное разбиение, называемое барицентрическим, каждое ребро которого соединяет баðèöентры грани и некоторой ее подграни симплекса K. Для симплекса x1x2 оно состоит из вершин x1, x2, его барицен-

òðà b = 12 (x1 + x2) и двух открытых ребер x1b è bx2. Предположим, что барицентрическое разбиение определено для любого симплекса размер-

ности k ≤ n − 1.

Определим его для симплекса K размерности n c барицентром b. Пусть π0 − семейство открытых симплексов, входящих в барицентри- ческие разбиения всех (n − 1)-мерных граней симплекса K. Возьмем произвольный симплекс K0 = y1 · · · yl, l ≤ n èç π0. Предположим по индукции, что каждое его ребро yiyj соединяет барицентры некоторой грани и ее подграни симплекса K. Нетрудно видеть, что аналогичным свойством обладает и симплекс y1 · · · ylb. Совокупность всех таких симплексов y1 · · · ylb и барицентр b добавим к семейству π0. В результате

получим барицентрическое разбиение π1 симплекса K.

Покажем, что δ(π1) ≤ n+1n d, где d − диаметр симплекса K. Действительно, возьмем любое ребро b0b00 разбиения π1, где без потери общности

263

Приложение

íèþ π1, подвергнуть барицентрическому разбиению, получим симплициальное разбиение π2, для которого δ(π2) ≤ (n+1n )2d. Повторяя аналогичную процедуру k раз, получим симплициальное разбиение πk ñ

δ(πk) ≤ (n+1n )kd.

Доказательство. Äëÿ n = 0 утверждение теоремы очевидно. Предположим, что она справедлива для (n − 1)-мерных симплексов. Пусть

K1, ..., Kp − n-мерные открытые симплексы, входящие в разбиение π. Будем говорить, что (n−1)-мерная грань y1 · · · yn симплекса Kj = y1 · · · yn+1

отмечена, åñëè ν(yi) = xi, i = 1, ..., n.

Если симплекс Kj

равенств ν(yi) = xi, i = 1, ..., n + 1, он имеет ровно одну отмеченную

грань. Действительно, любая другая (n − 1)-мерная грань симплекса Kj содержит вершину yn+1. Íî ν(yn+1) = xn+1 и эта грань не является от-

меченной. Пусть симплекс Kj не удовлетворяет утверждению теоремы и

Пусть σj − число отмеченных граней симплекса Kj. По доказанному

σj {0, 1, 2} è σj = 1 только в том случае, когда симплекс Kj удовле- творяет утверждению теоремы.p Поэтому осталось доказать, что общее

P

число отмеченных граней χ = σj нечетно. В этом случае обязательно

j=1

найдется симплекс Kj, удовлетворяющий утверждению теоремы.

264

Приложение

Пусть V = y1 · · · yn − какая-либо (n − 1)-мерная отмеченная открытая грань симплекса Kj. Åñëè V K\K0, òî V принадлежит некоторой (n − 1)-мерной грани симплекса K и является гранью единственного n- мерного симплекса разбиения π. При этом из равенств

def

1, ..., n, следует, что V W = x1 · · · xn. Действительно, если бы грань V принадлежала другой грани симплекса K, скажем, x2 · · · xn+1, то по определению функции ν равенство ν(y1) = x1 было бы невозможно. Пусть V 6 K\K0. Тогда V является общей гранью ровно двух n-мерных симплексов, входящих в разбиение π и в сумме χ она учитывается дважды. Следовательно, число χ сравнимо по модулю 2 с числом (n − 1)-мерных симплексов V = y1 · · · yn W, для которых ν(yi) = xi, i = 1, ..., n. По индуктивному предположению, примененному к (n−1)-мерному симплексу W, это число нечетно. Поэтому число χ также нечетно.

Теорема П.4 (Кнастер, Куратовский, Мазуркевич). Пусть замкнутые подмножества C1, ..., Cn+1 симплекса K = x1 · · · xn+1 удовлетво- ряют условию

xj1 · · · xjs sr=1Cjr 1 ≤ j1 < j2 < ... < js ≤ n + 1.

Тогда множества C1, ..., Cn+1 имеют непустое пересечение. Доказательство. Рассмотрим последовательность {πk} построенных

ранее симплициальных разбиений симплекса K, для которой lim δ(πk) =

k→∞

0. Определим отображение ν : K → {x1, ..., xn+1} следующим образом. Для любого x K пусть

{xj | λj(x) > 0} = {xj1 , ..., xjs }, j1 < j2 < ... < js.

Заметим, что для каждого вектора yi(k) по определению отображения ν

jt = i и поэтому yi(k) Ci, i = 1, ..., n + 1. Поскольку K − компакт, без потери общности можно считать, что последовательности {yi(k)}

имеем y T Ci.

i=1

265

Приложение

Уточним формулировку теоремы 9.1. Пусть Z − выпуклый компакт

â Em è y1 · · · yn+1 − содержащийся в нем симплекс максимальной размерности. Тогда число n ≤ m называется размерностью множества Z. Выпуклый компакт Z максимальной размерности m имеет внутреннюю

точку (например, барицентр симплекса y1 · · · ym+1). Обратно, если Z имеет внутреннюю точку, то его размерность максимальна. Предположим, что Z имеет размерность n < m и содержит нуль. Тогда можно считать, что yn+1 = 0. Ïðè ýòîì Z является подмножеством евклидова пространства En с базисом y1, ..., yn.

Из сказанного вытекает, что в теореме 9.1 без потери общности можно предположить, что выпуклый компакт Z имеет максимальную размер-

ность m.

Пусть K = x1 · · · xm+1 − m-мерный симплекс в Em. По теореме П.2 (см. П3) найдется гомеоморфизм τ : Z → K. Отображение τ ◦f ◦τ−1 переводит точку y K в точку τ(f(τ−1(y))) K и является непрерывным. Если y0 K − неподвижная точка отображения τ ◦ f ◦ τ−1, òî x0 = τ−1(y0) − неподвижная точка отображения f : Z → Z. Поэтому без потери общности можно считать, что Z = K.

Положим

Ci = {x K | λi(f(x)) ≤ λi(x)}, i = 1, ..., m + 1.

Поскольку отображение f и функции λi(x) непрерывны на K, множества Ci замкнуты. Покажем, что множества Ci удовлетворяют условию предыдущей теоремы. Пусть x xj1 · · · xjs . Тогда

Следовательно, найдется номер r, при котором λjr (x) ≥ λjr (f(x)) è x Cjr . По предыдущей теореме найдется

m+1

\

x Ci λi(x ) ≥ λi(f(x )), i = 1, ..., m + 1.

i=1

Íî

m+1 m+1

XX

λi(x ) = λi(f(x )) = 1.

266

Приложение

Поэтому

λi(x ) = λi(f(x )), i = 1, ..., m + 1 x = f(x ).

Доказательство теоремы 12.1 (Какутани). Как и при доказательстве теоремы Брауэра, без потери общности можно считать, что вы-

пуклый компакт Z имеет максимальную размерность m.

Пусть K = x1 · · · xm+1 − m-мерный симплекс в Em. По теореме П.2 (см. П3) найдется гомеоморфизм ϕ : K → Z. Рассмотрим последовательность {πk} симплициальных разбиений симплекса K, для которой

lim δ(πk) = 0. Для произкольного k определим следующее непрерывное

k→∞

отображение Φk : K → Z. Для любой вершины x èç {πk} выберем точку Φk(x) Φ(ϕ(x)) и затем продолжим отображение линейно на каждый из

симплексов, входящих в {πk}, ò.å. åñëè

m+1 m+1

XX

− точка симплекса x1 · · · xm+1 {πk}, то полагаем

m+1

X

Φk(x) = Φk(xj).

j=1

Очевидно, что последнее равенство определяет непрерывное отбражение Φk : K → Z. Тогда fk = ϕ−1Φk : K → K является непрерывным

отображением и имеет неподвижную точку xk. Пусть xk принадлежит симплексу x1k · · · xm+1k {πk}, ò.å.

m+1 m+1

XX

Íå óìàëяя общности, можно считать, что последовательности

{xk}, {xjk},{λkj },{Φk(xjk)}, j = 1, ..., m + 1, сходятся при k → ∞. Поскольку диаметры симплексов x1k · · · xm+1k стремятся к нулю, последо-

вательности {xk} è {xjk} должны иметь общий предел x K. Пусть

lim λkj = λj , lim Φk(xjk) = ηj, j = 1, ..., m + 1.

k→∞ k→∞

267

Имеем

Из замкнутости отображения Φ вытекает, что

ηj Φ(ϕ(x )), j = 1, ..., m + 1. Поскольку множество Φ(ϕ(x )) выпукло, точка ϕ(x ) ему принадлежит и является искомой.

Список литературы

[1]Activity analysis of production and allocation ( Cowles Commission Monograph 13, ed. Koopmans T.C.). − N.Y.: J.Wiley, 1951.

[2]Allen B., Hellwig M. Bertrand-Edgeworth oligopoly in large markets. Rewiew of Economic Studies, 1986, v. 53, p. 175-204.

[3]Amir R. Cournot oligopoly and the theory of supermodular games. Games and Economic Behavior, 1996, v. 15, p. 132-148.

[4]Atkinson A.B., Stiglitz J.E. Lectures on public economics. − London: McGraw-Hill, 1980.

[5]Ашманов С.А. Линейное программирование. − М.: Наука, 1981.

[6]Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. − М.: Наука, 1991.

[7]Aumann R.J. The core of a cooperative game without side payments. Trans. Amer. Math. Soc., 1961, v.98, 3, p. 539-552.

268

Список литературы

[8]Беленький В.З., Волконский В.А., Иванков С.А., Поманский А.Б., Шапиро А.Д. Итеративные методы в теории игр и программировании. − М.: Наука, 1974.

[9]Бесконечные антагонистические игры. Сб. статей под ред. Н.Н.Воробьева. − М.: Физматгиз, 1963.

[10]Bertrand J. Review de th´eorie math´ematique de la richesse sociale. Recherches sur les principes math´ematique de la th´eorie des richesses. Journal des Savants, 1883, p. 499-508.

[11]Блекуэл Д., Гиршик М. Теория игр и статистических решений. − М.: Иностранная литература, 1958.

[12]Боненбласт Х.Ф., Карлин С., Шепли Л.С. Игры с непрерывной функцией выигрыша. В сб. [9], с. 337-352.

[13]Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр. Проблемы кибернетики. 1963, вып.10, с. 119-140.

[14]Borges T. Iterated elimination of dominated strategies in a Bertrand-Edgeworth model. Rewiew of Economic Studies, 1992, v. 59, p. 163-176.

[15]Borel E. 1) The theory of play and integral equations with skew

symmetric kernels. 2) On games that involve chance and skill of the players. 3) On system of linear forms of skew symmetric determinants and the general theory of play. Econometrica, 1953,

v.21, 1, p. 97-117.

[16]Borel E. Application aux jeux de hasard. Trait ´e du calcul des probabilit´es et des ses applications, Applications des jeux hasard, E.Borel et collab. − Paris: Gauthier − Villars, 1938, v. IV, fasc. 2,

p.122.

[17]Brown G.W. Iterative solutions of games by fictitious play. In collected book [1], p. 374-376.

[18]Brouwer L.E.J. On continuous vector disributions of surfaces. Amsterdam Proc., 1909, v. 11, continued in 1910, v. 12,13.

269

Список литературы

[19] Walras L. ´ conomie politique pure. − Lausanne, 1874. El´ements d'´e

[20]Wald A. Contributions to the theory of statictical estimation and testing hypotheses. Ann. Math. Stat., 1939, v. 10, 4, p. 299-326.

[21]Вальд А. Статистические решающие функции. В сб. [65], с. 300522.

[22]Васин А.А. Модели процессов с несколькими участниками. − Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1983.

[23]Васин А.А. Модели динамики коллективного поведения. − Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1989.

[24]Васин А.А., Панова Е.И. Собираемость налогов и коррупция в налоговых органах. − М.: Российская программа экономических исследований, 2000, Сер. "научные доклады", 99/10.

[25]Васин А.А., Агапова О.Б. Математическая модель оптимальной организации налоговой инспекции. В сб. "Программноаппаратные средства и математическое обеспечение высчислительных систем". − Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1993, ñ. 167-186.

[26]Васин А.А. , Васина П.А. Оптимизация налоговой системы в условиях уклонения от налогов. Роль ограничений на штраф. −

М.: Российская программа экономических исследований, 2002, Сер. "научные доклады", 01/09.

[27]Васин А.А. , Васина П.А., Мархуэнда Ф.Х. Налоговое принуждение для неоднородных фирм./ Препринт 2001/025. − М.: Российская экономическая школа, 2001.

[28]Ватель И.А., Ерешко Ф.И. Математика конфликта и сотрудни- чества. − М.: Знание, 1974.

[29]Вентцель Е.С. Исследование операций. − М.: Советское радио, 1981.

[30]Ville J. Sur la th´eorie g´en´erale des jeux ou intervient l'abilite des jeueurs, Trait´e du calcul des probabilit´es et des ses applications, Applications des jeux hasard, E.Borel et collab. − Paris: Gauthier − Villars, 1938, v. IV, fasc. 2, p. 105-113.

270