Васии А.А., Морозов B.B. Введение в теорию игр / Vasin_-_Vvedenie_v_teoriu_igr

22. Решение упражнений

2 ходит только один раз и поэтому также имеет полную память. Запишем

Его можно записать как max v(r, t), ãäå v(r, t) − значение игры rt ñ

0≤r,t≤1

матрицей

Игрок 2, применяя смешанную стратегию 1/2(1)+1/2(2) не позволит игроку 1 выиграть в игре rt больше, чем 1/2 при любых r, t. Но игрок 1, используя стратегию β = (7/12, 0, 0), обеспечивает себе выигрыш 1/2. Следовательно, указанные стратегии оптимальны и значение игры v = 1/2.

14.3. В процессе Брауна ht = ((ik, jk), k = 1, ..., t) è p1(j|ht) =

|{k|jk = j, 1 ≤ k ≤ t}|/t → 0 при t → ∞, если стратегия j игрока 2 в траектории ((it, jt), t = 1, 2, ...) применялась конечное число раз.

251

22. Решение упражнений

15.1.Возьмем две непересекающиеся коалиции K è T . Пусть P K − множество смешанных стратегий pK коалиции K. Нетрудно видеть, что

P K T P K × P T . Отсюда

+min uT (pT , sA\T ) = v(K) + v(T ).

sA\T SA\T

Докажем равенство (15.1).

15.2.v(2) = 1, v(13) = 9, v(3) = 4, v(12) = 6.

15.3.c = 1/500, b1 = −2/5, b2 = −3/5, b3 = 0, v0(12) = v0(13) = 3/5, v0(23) = 7/10.

15.4.Заметим, что множество C0 не пусто, а функция P ya ограниче-

нения

XX

принадлежит ядру C. Обратно, допустим, что ядро C не пусто. Тогда (15.2) следует из включения множеств C C0.

252

22. Решение упражнений

15.5.Пусть λ − заданное в условии приведенное сбалансированное по-

крытие. Тогда = 0, поскольку в противном случае векторы χ(T ), χ(L) è χ(T L) были бы линейно зависимыми. Имеем

λT χ(T ) + λLχ(L) = (λT − λL)χ(T ) + λL(χ(T ) + χ(L)) =

= µT χ(T ) + µT Lχ(T L).

Поэтому

XX

µKχ(K) = λKχ(K) = χ(A),

K6=A K6=A

а система векторов

{χ(K) | µK > 0} = {χ(K) | λK > 0} {χ(T L)}\{χ(L)}

линейно независима. Таким образом, вектор µ − приведенное сбалансированное покрытие. Далее,

λT v(T ) + λLv(L) = (λT − λL)v(T ) + λL(v(T ) + v(L)) ≤

≤ (λT − λL)v(T ) + λLv(T L) = µT v(T ) + µT Lv(T L).

Отсюда вытекает неравенство (15.4).

15.6. Проекция ядра C на плоскость (y1, y2) имеет вид

{(y1, y2) | v(12) ≤ y1 + y2 ≤ v(123) − v(3),

v(1) ≤ y1 ≤ v(123) − v(23), v(2) ≤ y2 ≤ v(123) − v(13)} =

= {(y1, y2) | 800 ≤ y1 + y2 ≤ 1000, 200 ≤ y1 ≤ 350, 300 ≤ y2 ≤ 500}.

Вершины множества C:

y(1) = (300, 500, 200), y(2) = (350, 450, 200), y(3) = (350, 500, 150).

15.7. Необходимость. Возьмем дележ y(0) èç ÿäðà C. Обозначим через y(k), k = 1, ..., |A|−1, дележи, полученные из y(0) циклическим сдвигом на k компонент вправо. Тогда дележ

|A|−1

X

z = y(k)/|A| = (v|A|/|A|, ..., v|A|/|A|)

k=0

принадлежит ядру и, следовательно,

X za = |K|v|A| ≥ v|K| K A (15.5).

a K

|A|

253

22. Решение упражнений

Достаточность. Пусть выполнены неравенства (15.5). Тогда указанный вектор z принадлежит ядру C.

15.8. Проверим равенство Pa A ϕa =

Возьмем коалицию K 6= A и подсчитаем в последней двойной сумме коэффициент cK = cK+ + cK− ïðè v(K). Он включает сумму cK+ положи- тельных слагаемых, встречающихся при вкладах в коалицию K и сумму

cK− отрицательных слагаемых, встречающихся при вкладах в коалицию K {a}, ãäå a / K. Поскольку каждый из игроков коалиции K имеет

свой вклад в K,

Аналогично,

Отсюда cK = 0. Åñëè K = A, òî cA+ = C||AA|| = 1 и равенство (22.6) доказано.

Осталось проверить условие ϕa ≥ v(a), a A. Действительно, из

свойства супераддитивности характеристической функции и равенства (15.6)

ϕa = X (|K| − 1)! (|A| − |K|)!(v(K) − v(K\{a})) ≥

|A|!

K:a K

≥ X (|K| − 1)! (|A| − |K|)!v(a) = v(a).

|A|!

K:a K

15.9.

ϕ1 = 13(v(123) − v(23)) + 16(v(12) − v(2)) + 16(v(13) − v(3)) + 13v(1),

ϕ2 = 13(v(123) − v(13)) + 16(v(12) − v(1)) + 16(v(23) − v(3)) + 13v(2),

254

22. Решение упражнений

ϕ3 = 13(v(123) − v(12)) + 16(v(13) − v(1)) + 16(v(23) − v(2)) + 13v(3).

 èãðå "джаз-оркестр"вектор Шепли ϕ = (350, 475, 175). Åñëè v(123) = 997, òî ϕ = (349, 474, 174) è ϕ2 + ϕ3 < v(23) = 650.

15.10. В симметричной игре все компоненты вектора Шепли равны между собой.

16.1. Не учтены затраты на хранение продукции. Пусть, например, предприятие должно поставлять ежедневно 5 изделий. Затраты на хранение возникают, если через день используется технология, дающая 10 изделий.

16.5) пересекаются в точке p˜ = 1. Поэтому функция прибыли имеет вид

17.2. Функция pD(p) является неубывающей на отрезке [p1, p2], поскольку ее производная D(p) + pD˙ (p) = D(p)(1 − e(D(p))) ≥ 0. Поэто-

му функция спроса D(p) − медленно убывающая. Функция прибыли W (p) = pD(p) −C(D(p)) возрастает и оптимальная стратегия монополии

на отрезке [p1, p2] равна p = p2. 19.1. Имеем

255

22. Решение упражнений

что невозможно при 0 < α ≤ 1/m.

19.2. Выпишем вторую частную производную функции выигрыша по переменной va :

на полупрямой [0, +∞) ( при фиксированных переменных vb, b A\{a}). Отсюда следует, что необходимые условия для ситуации равновесия v,

сформулированные в лемме 19.1, являются также и достаточными условиями.

1. Åñëè V ≥ K/(cαm), òî

256

22. Решение упражнений

с резервной ценой r ≥ p. Для покупки товара по цене p число таких

... < pk < p ≤ pk+1 < .... Поскольку D(p1) покупателей товара по цене p1 равномерно распределены в очереди, число покупателей по цене p1,

этому после продажи товара по цене p1 число покупателей по цене p2,

гичное уменьшение произойдет и с покупателями, имеющими резервную цену r ≥ p2. Продолжая рассуждения, придем к выводу, что после покуп-

ки товара по цене p2 число покупателей по цене p3, имеющих резервную цену r ≥ p, составит величину

èò.ä.

3.Пусть P (s) = {pi} − упорядоченное множество цен p1 < p2 < ... <

pk < p ≤ pk+1 < .... Тогда нетрудно видеть, что

è ò.ä.

19.4. Â ñèëó ñледствия к утверждению 19.3 для равновесия по Нэшу s выполнено p(s) = p˜. Пусть найдется производитель b, для которого

a:ca≤p,a˜ 6=b

по цене p˜ + ε будет положительным. Следовательно, производителю b выгодно отклониться и выбрать цену sb = p˜ + ε (противоречие).

257

22. Решение упражнений

20.1.Для акцизного налога

te = S−1(D1 + D2)(D2 − K)/(D1 + K), p˜(te) = te + S−1(D1 + D2),

для налога на прибыль

p˜(tpr) = S−1(D1 + D2), tpr = p˜(tpr)(D2 − K)/P r,

где величина прибыли равна

p˜(tpr)

Z

P r = (D1 + D2 − S(p))dp.

0

20.2. По условию

e(D(p)) = −p(D˙ 1(p) + D˙ 2(p) − K/p2)/(D1(p) + D2(p) + K/p) < 1.

Отсюда

Q˙ 1(p) + Q˙ 2(p) = D1(p) + D2(p) + p(D˙ 1(p) + D˙ 2(p)) > 0.

20.3. Функция K(p) непрерывна и на отрезках, где она дифференци-

руема, ее вторая производная ¨ ¨ − − ˙ − ˙

K(p) = D1(p)(q(p) p) 2D1(p) Q2(p)

неотрицательна. Функция K˙ (p) в точках своего разрыва имеет положительные скачки. Следовательно, функция K(p) выпукла на всем отрезке

[pD, ps].

21.1. Заметим, что

21.2. 1) Из условия следует, что F q > c. Поэтому функция R(p) возрастает на полуинтервале [0, pˆ) и постоянна на отрезке [ˆp, 1]. Èç R(ˆp) > 0 получаем p [ˆp, 1].

2) Имеем F = c/q < F = (qm + 1 − q)c/(qm). Поэтому функция R(p) равна нулю на полуинтервале [0, pˆ) и убывает на отрезке [ˆp, 1]. Èç R(ˆp) > 0 получаем p = pˆ.

258

Приложение

П1. Теорема об отделяющей гиперплоскости

Следовательно, при положительных и близких к нулю

g(t) < g(0), что противоречит определению пары (x0, y0). Второе нера-

венство b < a, y y B доказывается аналогично.

П2. Доказательство теоремы 6.1

Теорема очевидна для E0. Пусть она верна для Em−1. Рассмотрим се-

мейство выпуклых компактов Dα, α L èç Em, каждые m+1 из которых

имеют непустое пересечение.

Докажем сначала, что любое конечное подсемейство семейства

Dα, α L имеет непустое пересечение. Предположим противное. Тогда найдется минимальное целое k > m + 1, для которого найдется такое

T

A = Dαk , B = Dαi . Выпуклые компакты A è B не пересекаются и

i=1

найдется строго отделяющая их гиперплоскость H (см. П1.) Пусть C −

пересечение каких-либо m множеств из Dα1 , ..., Dαk−1 . Тогда B C и по условию C ∩ A 6= . Возьмем x0 C ∩ A è y0 B. Тогда отрезок

259

Приложение

[x0, y0] принадлежит C и пересекается с H. Следовательно, C ∩ H 6=

. Итак, любые m множеств из Dα1 ∩ H, ..., Dαk−1 ∩ H имеют непустое

k−1

пакта X, из которого можно выделить конечное подпокрытие D0α1 , ..., D0αp .

pp

Отсюда вытекает, что T Dα0 i = T Dαi ∩ Dα0 = . По доказанному любое

i=1 i=1

конечное подсемейство семейства Dα, α L имеет непустое пересечение (противоречие).

П3. Функция Минковского и гомеоморфизм выпуклых компактов

Пусть A − выпуклый компакт в Em, содержащий внутри себя нуль вместе с ε0-окрестностью нуля Oε0 . Определим на Em функцию Минков- ского множества A

Рассмотрим ее свойства. Очевидно, что pA(0) = 0, à ïðè x 6= 0 pA(x) > 0 и нижняя грань достигается, поскольку множество A ограничено и замкнуто. Кроме того, pA(x) ≤ 1 x A. Функция pA(x) положительно однородна, т.е. для любого λ > 0

260