3. Відтворення населення

Головними показниками природного руху населення, або відтворення,  є народжуваність, смертність та приріст населення, тобто перевищення народжуваності над смертністю. Україна належить до першого типу відтворення населення,  як і більшість країн Європи та Північної Америки. Для них характерний незначний приріст населення, який може падати до нуля і навіть бути від'ємним. Такому типу відтворення відповідає певна вікова структура населення: кількість людей старшого і похилого віку дещо підвищена, а молодого віку - знижена порівняно з показниками країн із другим типом відтворення - країн Африки, Азії та Південної Америки.

У процесі побудови типових моделей територіально-господарської структури регіону найбільших складностей завдають чинники, що трансформуються в часі. Це і населення взагалі, і його вікова структура, і сімейний склад, і багато інших показників [3, c. 65].

На вікову структуру населення впливають соціально-економічні умови життя, війни, стихійні лиха, міграції. Але в основному вона складається під дією природного руху населення.

         В основу математичної моделі вікового складу населення може бути покладено марківський процес із дискретним або безперервним часом і кінцевою кількістю станів процесу. В даному випадку стани відповідають віковим групам населення, а матриця переходів процесу P (s, t) дає опис переходів між цими групами на відтинку  часу [s, t].

         Нехай n - кількість станів процесу (кількість груп). У найпростішому випадку, коли загальна чисельність всіх груп незмінна, можна визначити елементи перехідної матриці як

        

де       - кількість людей, що перейшли з  i-ої структурної  групи населення в j-у  групу за проміжок часу  (t, t+1];

         N_i (t) - загальна чисельність групи  i  в момент часу  t.

Зрозуміло, що ,

Тоді  або ж у матричному вигляді N(t+1)=N(t)P(t,t+1), де N(t)=(N₁(t)...N_n(t)) - вектор розподілу населення за структурними групами. Аналогічно можемо записати N(t+2)=N(t+1)P(t+1,t+2).

         У загальному випадку, коли розглядається чисельність груп у момент часу t+k,  формула чисельності груп має вигляд:

          N(t+k) = N(t) P(t,t+1) P(t+1,t+2)...P(t+k-1,t+k).

         У даній ситуації загальна чисельність груп залишається незмінною, тобто процес здійснюється в замкненій системі. Можливо також моделювання системи, в якій відбуватиметься поповнення її ззовні або ж, навпаки, матимуть місце втрати (імміграція та еміграція відповідно). У цьому випадку перехідна матриця P залишиться додатною, але вже не буде стохастичною, тобто сума елементів по рядках матриці може відрізнятися від одиниці.

А втім, і в цьому випадку можна користуватися цим же апаратом для аналізу процесу. Дослідження власних чисел і векторів матриці P дає відповідь на таке запитання: чисельність груп N(t) безмежно зростатиме або зменшуватиметься до нуля чи наближатиметься до додатного стаціонарного розподілу? Визначальне значення для еволюції процесу матиме максимальне за модулем власне число . Оскільки матриця  є додатною, то, згідно з теоремою Фробеніуса [1],  є  додатним. Відповідний власний вектор  ( , ) представляє такий розподіл, до якого  наближатиметься відносна кількість населення за групами з плином часу. Абсолютна кількість населення зменшуватиметься при , зростатиме при  або залишатиметься незмінною при .

Для прикладу розглянемо динаміку змін у віковій структурі населення України, спираючись на показники 1991 року [2]. Зробимо умовний розподіл всього населення за 15 віковими групами, кожна з яких охоплює інтервал у п'ять років. Основні статистичні дані наведено в таблиці.

Будемо вважати, що за 1 рік з однієї вікової групи до наступної переходить п'ята частина кількості цієї групи (за винятком померлих). Виходячи з даних про те, яка відносна частка населення залишається у своїй віковій групі, а яка переходить до наступної, а також про те, скільки народжується дітей протягом року завдяки кожній із груп, можна побудувати матрицю переходу P, яка описуватиме еволюцію системи за 1 рік.

Розв'язавши рівняння , знайдемо для матриці  максимальне за абсолютним значенням власне число . Це свідчить про від'ємну різницю між народжуваністю і смертністю населення. За умови збереження цієї тенденції кількість населення щороку зменшуватиметься в середньому на 0,5 %.

Якщо взяти за основу статистичні дані щодо населення України за 1987 р. [3] і побудувати перехідну матрицю , то максимальне власне число . Отже, ще тоді мали місце тенденції до зменшення кількості населення, хоча згадувані нижче негативні чинники ще були відсутні. Приріст населення спостерігався лише за рахунок збільшення кількості осіб у старших вікових групах, а кількість молоді зменшувалася. Відбувалося поступове старіння нації [1, c. 69].

Всупереч поширеній думці, зменшення кількості населення України є, головним чином, наслідком характеру відтворення населення, існуючого останніми роками в Європі. Такі чинники як еміграція, погіршення економічної та екологічної ситуації теж відіграли негативну роль, і їх слід враховувати окремо.