Формулы для вычисления аномального эффекта
№№ пп |
Форма тела |
Вид поля |
Формула |
Максимум |
Минимум |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
Шар |
|
|
(x=0) |
0 (x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x=0) |
|
|||
2 |
Бесконечный круговой горизонтальный цилиндр (бесконечная дипольная линия) |
|
|
(x=0) |
0 (x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x=0) |
|
|||
3 |
Тонкий вертикальный стержень (2), точечный магнитный полюс
|
|
|
(x=0) |
0 (x)
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x=0) |
0 (x)
|
|||
продолжение табл. 2.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4 |
Материальная вертикальная плоскость (2, магнитная полюсная линия)
|
|
|
f (x=0) |
0 (x)
|
|
|
|
|
||
|
|
(x=0) |
0 (x)
|
||
5 |
Бесконечная горизонтальная материальная плоскость, заряженная плоскость |
|
|
(x=0) |
0 (x)
|
|
|
- |
0 x=0 |
||
|
|
|
0
x=
|
||
6 |
Бесконечная материальная горизонтальная полуплоскость (горизонтальная заряженная полуплоскость) |
|
|
(x→+∞) |
0 (x→∞) |
|
|
(x=0) |
0 (x→±∞) |
||
|
|
(x = ξ) |
(x=- |
)
Лабораторная работа № 2
Решение обратной задачи для тел простейшей формы
Цель работы: ознакомиться с решением обратной задачи для однородного шара, вертикального пласта и вертикального уступа с использованием методов характерных точек.
1. Решение обратной задачи для однородного шара
Теоретические сведения
При количественной интерпретации аномалий силы тяжести часто делается предположение, что геологические тела, вызывающие их, имеют правильную геометрическую форму, близкую, например, к сфере, цилиндру, вертикальному и наклонному пластам и т.д.
Модель шара используется во многих ориентировочных расчетах. В первом приближении шару соответствуют залежи штокообразной и гнездообразной формы, соляные купола, карстовые полости и другие тела изометрической формы, размеры которых приблизительно одинаковы во всех направлениях.
Расположим прямоугольную систему координат x, y, z так, чтобы ее начало находилось в центре тяжести измерительного прибора, ось z была направлена вертикально вниз и проходила через центр шара, а оси x и y были расположены в горизонтальной плоскости, принимаемой за земную поверхность (рис. 4).
Если центр однородного шара с радиусом r лежит на глубине hc , а избыточная масса равна M , распределение вертикальной составляющей аномалии силы тяжести ∆g, градиентов силы тяжести Vxz и Vzz и разности кривизны уровенной поверхности V∆ по оси x определяется из следующих формул:
;
(12)
;
(13)
;
(14)
;
(15)
,
(16)
Где f – коэффициент пропорциональности, получивший название гравитационной постоянной, является размерной величиной; численное ее значение зависит от принятой системы единиц. Например, в системе СИ – метр, килограмм, секунда:
f =6,67·10-11 м3кг-1·сек-2,
а в системе СГС – сантиметр, грамм, секунда:
f =6,67·10-8 см3г-1·сек-2,
M – избыточная масса шара, равная произведению объема шара на его избыточную плотность
x – координата точки, для которой определяется функция.
Рис.
4. Кривые гравитационных аномалий над
шаром и схема обозначений
Выведем некоторые характерные зависимости
1. Определим абсциссу полумаксимума x1/2, в которой ∆g=1/2∆gmax. Кривая аномалии силы тяжести имеет максимальное значение при x=0, т.е. максимум кривой расположен над центром шара.
(17)
Значение ∆g, соответствующее ∆g=1/2∆gmax, равно
(18)
Приравняв формулы (12) и (18), найдем x1/2
,
Откуда после сокращения и преобразований
,
(19)
2. Определим абсциссу максимального и минимального значений (±xm) кривой Vxz.
Для этого производную Vxz по x приравняем к нулю
,
,
откуда
.
(20)
Определение глубины залегания центра шара hс и
его избыточной массы M.
1. Глубина залегания центра шара hс и избыточная масса М определяются из формул (17) и (18).
,
,
где f – гравитационная постоянная,
x1/2
– абсцисса, соответствующая
.
Если известна избыточная плотность ∆σ= σ 2- σ 1, то объем шара
;
радиус
шара 
и глубина до ближайшей поверхности шара
.
2. По кривой Vxz глубина залегания центра шара hс из формулы (20)
,
где 2xm – расстояние между экстремальными значениями кривой Vxz.
Значения M, V, r и hс, как и по кривой ∆g, определяются только в том случае, если известна избыточная плотность ∆σ.
Порядок выполнения работы.
Ознакомиться с рассмотренными выше способами интерпретации гравитационных аномалий для тел шарообразной формы.
Решить обратную задачу для шара по кривым ∆g и Vxz:
а) вычертить кривые ∆g и Vxz в масштабах, указанных в полученном задании.
б) снять необходимые характеристики с кривых ∆g и Vxz и по приведенным формулам вычислить параметры залегания шара.
в) полученные данные записать в таблицу 3.
Таблица 3
Параметры залегания шара
-
По кривой
По кривой
Значение
∆gmax(мГал)
r
h
Таблица 4
Исходные данные для решения обратной задачи для шара
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
вариант 10 |
||||||||||
∆σ =0,15 г/см3 |
∆σ =0,1 г/см3 |
∆σ =0,20 г/см3 |
∆σ =0,22 г/см3 |
∆σ =0,25 г/см3 |
∆σ =0,3 г/см3 |
∆σ =0,35г/см3 |
∆σ =0,40 г/см3 |
∆σ=0,3г/см3 |
∆σ=0,25г/см3 |
|||||||||||
x |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
∆g |
VXZ |
-10 |
1,3 |
1,5 |
0,3 |
0,5 |
0,3 |
0,8 |
0,4 |
0,7 |
1,1 |
1,3 |
0,5 |
0,8 |
0,3 |
1,0 |
0,4 |
0,9 |
0,7 |
1,2 |
0,3 |
1,5 |
-9 |
1,4 |
1,8 |
0,4 |
0,8 |
0,4 |
1,0 |
0,5 |
1,0 |
1,2 |
1,6 |
0,6 |
1,1 |
0,4 |
1,1 |
0,5 |
1,0 |
0,8 |
1,4 |
0,4 |
1,8 |
-8 |
1,5 |
2,0 |
0,5 |
1,0 |
0,45 |
1,3 |
0,6 |
1,2 |
1,3 |
1,8 |
0,7 |
1,3 |
0,5 |
1,5 |
0,6 |
1,4 |
0,9 |
1,8 |
0,45 |
2,0 |
-7 |
1,7 |
2,3 |
0,7 |
1,3 |
0,5 |
1,65 |
0,8 |
1,5 |
1,5 |
2,1 |
0,9 |
1,6 |
0,8 |
2,0 |
0,9 |
1,9 |
1,1 |
2,0 |
0,5 |
2,3 |
-6 |
1,8 |
2,8 |
0,8 |
1,8 |
0,6 |
2,0 |
0,9 |
2,0 |
1,6 |
2,6 |
1,0 |
2,1 |
1,0 |
2,5 |
1,1 |
2,4 |
1,2 |
2,9 |
0,6 |
2,8 |
-5 |
2,0 |
3,5 |
1,0 |
2,5 |
0,8 |
3,0 |
1,1 |
2,7 |
1,8 |
3,3 |
1,2 |
2,9 |
1,4 |
3,0 |
1,5 |
2,9 |
1,4 |
3,6 |
0,8 |
3,5 |
-4 |
2,5 |
4,5 |
1,5 |
3,5 |
1,0 |
4,0 |
1,6 |
3,7 |
2,3 |
4,3 |
1,7 |
3,9 |
2,0 |
4,0 |
2,1 |
3,9 |
1,9 |
4,3 |
1,0 |
4,5 |
-3 |
3,0 |
5,7 |
2,0 |
4,7 |
1,5 |
5,0 |
2,1 |
4,9 |
2,8 |
5,5 |
2,2 |
5,2 |
3,0 |
5,0 |
3,1 |
4,9 |
2,4 |
5,0 |
1,5 |
5,7 |
-2 |
4,0 |
6,5 |
3,0 |
5,5 |
2,0 |
4,0 |
3,1 |
5,7 |
3,8 |
6,3 |
3,5 |
5,9 |
4,0 |
5,5 |
4,1 |
5,4 |
3,4 |
4,5 |
2,0 |
6,5 |
-1 |
5,5 |
4,0 |
4,5 |
3,0 |
3,0 |
2,0 |
4,6 |
3,2 |
5,3 |
3,8 |
5,0 |
3,0 |
4,8 |
4,0 |
4,9 |
3,9 |
4,9 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
0 |
6,0 |
0 |
5,0 |
0 |
4,0 |
0 |
5,1 |
0 |
5,8 |
0 |
5,5 |
0 |
5,0 |
0 |
5,1 |
0 |
5,4 |
0 |
4,0 |
0 |
1 |
5,5 |
-4,0 |
4,5 |
-3,0 |
3,0 |
-2,0 |
4,6 |
-3,2 |
5,3 |
-3,8 |
5,0 |
-3,0 |
4,8 |
-4,0 |
4,9 |
-3,9 |
4,9 |
-2,0 |
3,0 |
-4,0 |
2 |
4,0 |
-6,5 |
3,0 |
-5,5 |
2,0 |
-4,0 |
3,1 |
-5,7 |
3,8 |
-6,3 |
3,5 |
-5,9 |
4,0 |
-5,5 |
4,1 |
-5,4 |
3,4 |
-4,5 |
2,0 |
-6,5 |
3 |
3,0 |
-5,7 |
2,0 |
-4,7 |
1,5 |
-5,0 |
2,1 |
-4,9 |
2,8 |
-5,5 |
2,2 |
-5,2 |
3,0 |
-5,0 |
3,1 |
-4,9 |
2,4 |
-5,0 |
1,5 |
-5,7 |
4 |
2,5 |
-4,5 |
1,5 |
-3,5 |
1,0 |
-4,0 |
1,6 |
-3,7 |
2,3 |
-4,3 |
1,7 |
-3,9 |
2,0 |
-4,0 |
2,1 |
-3,9 |
1,9 |
-4,3 |
1,0 |
-4,5 |
5 |
2,0 |
-3,5 |
1,0 |
-2,5 |
0,8 |
-3,0 |
1,1 |
-2,7 |
1,8 |
-3,3 |
1,2 |
-2,9 |
1,4 |
-3,0 |
1,5 |
-2,9 |
1,4 |
-3,6 |
0,8 |
-3,5 |
6 |
1,8 |
-2,8 |
0,8 |
-1,8 |
0,6 |
-2,0 |
0,9 |
-2,0 |
1,6 |
-2,6 |
1,0 |
-2,1 |
1,0 |
-2,5 |
1,1 |
-2,4 |
1,2 |
-2,9 |
0,6 |
-2,8 |
7 |
1,7 |
-2,3 |
0,7 |
-1,3 |
0,5 |
-1,65 |
0,8 |
-1,5 |
1,5 |
-2,1 |
0,9 |
-1,6 |
0,8 |
-2,0 |
0,9 |
-1,9 |
1,1 |
-2,0 |
0,5 |
-2,3 |
8 |
1,5 |
-2,0 |
0,5 |
-1,0 |
0,45 |
-1,3 |
0,6 |
-1,2 |
1,3 |
-1,8 |
0,7 |
-1,3 |
0,5 |
-1,5 |
0,6 |
-1,4 |
0,9 |
-1,8 |
0,45 |
-2,0 |
9 |
1,4 |
-1,8 |
0,4 |
-0,8 |
0,4 |
-1,0 |
0,5 |
-1,0 |
1,2 |
-1,6 |
0,6 |
-1,1 |
0,4 |
-1,1 |
0,5 |
-1,0 |
0,8 |
-1,4 |
0,4 |
-1,8 |
10 |
1,3 |
-1,5 |
0,3 |
-0,5 |
0,3 |
-0,8 |
0,4 |
-0,7 |
1,1 |
-1,3 |
0,5 |
-0,8 |
0,3 |
-1,0 |
0,4 |
-0,9 |
0,7 |
-1,2 |
0,3 |
-1,5 |