Частная криволинейная регрессия на основе множественной нелинейной регрессии.

Для определения уравнения множественной криволинейной регрессии также используется метод наименьших квадратов. Рассмотрим случай, когда функция зависит от двух аргументов ( x 1 и x 2) аналогично примеру, рассмотренному при oписании множественной линейной корреляции. В системе координат у— X 1— Х2 располагается некое корреляционное пространство, образованное множеством точек , каждая из которых соответствует результатам измерения параметров процесса. Задача состоит в том, чтобы вписать в данное корреляционное пространство некую поверхность, которая удовлетворяла бы условию наименьших квадратов отклонений. Условию наименьших квадратов удовлетворяет поверхность для которой сумма квадратов расстояний до точек корреляционного поля минимальна: Уравнение такой поверхности наилучшим образом опишет взаимосвязь у, X 1 и Х2. y = a + b1 x1 + c1 x12 + b 2 x 2 + c 2 x22 . ( 38 ) , Для определения коэффициентов такого уравнения используем систему пяти уравнений с пятью неизвестными. y = m a + b1 x1 + с1 x12 + b2 x2 + с2 x22 yx1 = a x1 + b1 x12 + с1 x13 + b2 x1 x2 + с2 x22 x1 yx1 2 = a x12 + b1 x13 + с1 x14 + b2 x2. x12 +с2 x 22 x12 yx2 = a x2 + b1 x1 x2+ с1 x12 x 2 + b2 x22 + с2 x23 yx22 = a x22 + b1 x1 x22 + с1 x12 x22+ b2 x23. + с2 x24 (39) Если все точки корреляционного пространства находятся на расчетной поверхности, то множественное корреляционное отношение будет равно единице. При этом связь между функцией у и аргументами x 1 и x2 будет функциональной. По мере удаления точек от расчетной поверхности этот показатель будет уменьшаться, приближаясь к нулю. При переходе к анализу криволинейных связей возникает проблема выбора типа кр и вой, с помощью которой выполняется аппроксимация каждой пары рассматриваемых пер е менных. Для монотонно меняющегося процесса в сравнительно небольших интервалах изменения параметров, каким является металлургический процесс, можно без значительной ошибки аппроксимировать все существующие связи Xi—Хе и у—Xi с помощью полиномов второй степени. Такое допущение намного упрощает методику расчета, , но в то же время сохраняет рассмотренные выше преимущества, присущие криволинейной аппроксимации. На основе сделанного допущения можно рассчитать уравнение множественной криволинейной регрессии вида: y = a + b i x i + c i xi 2 ( 40 ) где b и c— коэффициенты регрессии при i-том аргументе (1 =1, 2,...,п); n—число аргументов в регрессионной модели; а—свободный член уравнения регрессии. Коэффициенты а, b и c, так же как и прежде, находятся методом наименьших квадратов из системы уравнений, которая в данном случае будет большей по сравнению с системой для определения коэффициентов множественной линейной регрессии. Количество неизвестных (а, b и c), равное числу уравнений в случае множественной криволинейной регрессии, составит z = 2 n + 1, где п—число аргументов в корреляционной модели. Таким образом, если для определения уравнения множественной линейной корреляции с десятью аргументами необходимо решить систему из 11 уравнений с 11 неизвестными а и 10 x), то для нахождения уравнения с десятью аргументами необходимо решить систему из 21 уравнения с 21 неизвестным . Частное уравнение регрессии в этом случае имеет вид уx i = а' + b i x i + c i xi2, (41) . причем свободный член этого уравнения а ' для каждой связи у— x i имеет свое численное значение, отличное от свободного члена а в уравнении множественной регрессии ( ), ( ), а значения коэффициенты регрессии b i и c i те же. Свободный член частного уравнения регрессии в данном случае рассчитывается по формуле 'i = a + b 1- (n - i ) X 1- (n - i ) + c 1- (n - i ) X 21- (n - i ) ( 42 )

где a — свободный член уравнения множественной регрессии. Второй член правой части уравнения представляет собой сумму произведений средних значений каждого аргумента, кроме 1-того, на его коэффициент регрессии b i, а третий член правой части уравнения представляет собой сумму произведений квадратов средних значений каждого аргумента, кроме t-того, на его коэффициент регрессии c i. Коэффициенты регрессии b и c взяты из уравнения множественной регрессии .