Пример оформления лабораторной работы

Задача

Имеются данные о величинах объёма реализации продукции у_i фирмы (i-порядковый номер вида продукции), которые зависят от цены каждого вида продукции и расходов на рекламу.

Таблица 10

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
yi	23	18	27	29	43	23	55	47	35	38	14	51	20	39	35
xi1	37	33	15	36	26	24	15	33	44	34	63	8	44	43	31
xi2	39	40	35	48	53	42	54	54	50	53	46	50	43	55	51

Требуется

1. Построить выборочное уравнение линейной множественной регрессии (найти вектор коэффициентов b).

2. Рассчитать общую сумму квадратов Q, сумму квадратов, объяснён­ную регрессией Q_r, остаточную сумму квадратов Q_e, несмещённые оценки соответствующих дисперсий s², s_r², s_e² и средних квадратических отклонений s, s_r, s_e. Найти стандартные отклонения коэффициентов регрессии s_bj. С дове­рительной вероятностью  =0,95 оценить значимость коэффициентов рег­рессии и для значимых коэффициентов определить доверительные интер­валы.

3. Рассчитать выборочный множественный коэффициент детерминации , используя общую формулу и выражение через определители соответст­вующих матриц выборочных парных коэффициентов корреляции, и найти значение скорректированного коэффициента .

4. С доверительной вероятностью  =0,95 оценить значимость уравне­ния регрессии и найти доверительные интервалы для отдельных значений y_i.

Решение

1. Для определения параметров выборочного уравнения линейной регрессии строим расчётную таблицу (табл. 11, столбцы 1-4).

а) находим выборочные коэффициенты уравнения регрессии по формуле (8). Для этого:

- записываем матрицу Х_15×3 объясняющих переменных, в которой первый столбец состоит из единиц (он соответствует умножению коэффициента b₀ на единицу):

X = ;

• записываем транспонированную матрицу Х^Т

Х^Т = ;

- находим произведение матриц Х^ТХ, используя Мастер функций – Математические – МУМНОЖ, вводя в массив 1 ниспадающего окна матрицу Х, а в массив 2 – матрицу Х^Т, предварительно выделив массив размером 3 3 для результата:

Х^ТХ = ;

- аналогично вычисляем произведение матриц:

Х^Ту

Где у= ;

- находим обратную матрицу (Х^Т используя Мастер функций – Математические – МОБР:

(Х^Т = ;

- определяем вектор b выборочных оценок коэффициентов с помощью команд Мастер функций – Математические – МУМНОЖ:

b = (Х^Т Х^Ту = .

b) записываем выборочное уравнение линейной множественной регрессии:

= 20, 797 х_i1 + 1,504х_i2.

2. Для выполнения задания 2

1. заполняем столбцы 6-8 таблицы 11 и суммируем полученные элементы каждого из них, в результате находим¹:

Q = = 2179,73; s² = = 155,695; s = 12,48;

Q_r = = 2006,56; s_r² = = 1003,28; s_r = 31,68;

Q_e = = 173,18; s_e² = = 14,43; s_e = 3,799.

2. далее находим вектор несмещённых оценок дисперсии и вектор стандартных отклонений коэффициентов регрессии, предварительно сформировав вспомогательный вектор из диагональных элементов [(Х^ТХ)^-1]_jj матрицы (Х^ТХ)^-1, по формуле (15):

s_b² = s_e² [(Х^ТХ)^-1]_jj = ,

s_{b =} s_e = .

Итак, стандартные отклонения равны соответственно 7,98 – для b₀, 0,07 – для b₁, 0,16 – для b₂. Поскольку они существенно меньше значений оценок коэффициентов регрессии, то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии значимы.

3. учитывая (20), значение  = 0,95, уровень значимости α= 0,05 нахо­дим t_кр=2,179 с помощью стандартной статистической функции СТЬЮД­РАСПОБР ( , n =15, p =2, при этом вектор t-статистик = критерия значимости коэффициентов регрессии определяется так:

t_b = = .

Коэффициенты b₀ , b₁ и b₂ значимы, т.к. > t_кр на заданном уровне значимости.

4. вычисляем вектор P-значений для коэффициентов с помощью функции СТЬЮДРАСП ( ; n p 1; 2):

Р_b = .

Очевидно,  α, т.е. вывод о значимости всех коэффициентов регрессий подтверждается.

5. определим доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, учитывая, что истинное значение β_i коэффициента регрессии лежит в интервале β_{i min}  β_i  β_{i max}:

β_min = b t_кр s_b = ;

β_max = b t_кр s_b = .

3. Рассчитываем значения выборочных множественных коэффициентов детерминации и корреляции.

а ) по формуле (25):

_{Величина коэффициента детерминации показывает, что 92% вариации зависимой переменной обусловлены влиянием включенных факторов, а остальные 8% - влиянием случайных факторов.}

_{b) вычислим коэффициент детерминации по формуле (26). Для этого запишем матрицу парной корреляции (ее элементы определяются с помощью статистической функции КОРРЕЛ с аргументами у, xj , xk , j=1,2; k=1,2:}

R_уХ = = _.

_{с) запишем матрицу межфакторной парной корреляции (из матрицы RуХ):}

R_ХХ =

Используя математическую функцию МОПРЕД с соответствующими массивами R_уХ, R_ХХ, вычисляем det R_уХ и det R_ХХ. Тогда

d) вычисляем скорректированный коэффициент детерминации согласно формуле (34):

4. _{Рассчитаем значение F-статистики по формуле (35):}

_F=69,52.

1. _{находим с помощью стандартной статистической функции FРАСПОБР(α; р; n-p-1) значение Fкр:}

_{Fкр=Fкр (α; k1=p, k2=n-p-1)=3,89.}

_{Вывод: уравнение регрессии значимо, т.к. F > Fкр..}

_{Вычисляя величину P-значения с помощью стандартной статистической функции FРАСП (F;p;n-p-1) (P=2,51·10}^-10 _{< α), убеждаемся в значимости уравнения регрессии.}

2. для получения доверительного интервала для отдельных значений зависимой переменной у_i находим несмещенную оценку дисперсии регрессивного прогноза по формуле (43), проводя расчеты скалярных величин ( )^-1х_i с помощью комбинации стандартных функций МУМНОЖ (МУМНОЖ ( ; (Х^ТХ)^-1); х_i ). При этом в качестве вектора-строки берем i-ю строку матрицы Х, а в качестве вектора х_i – i-ый столбец матрицы Х^Т. Полученные значения помещаем в 9, 10 столбцы таблицы 11.

Нижние у_{i min} и верхние у_{i max} границы доверительного интервала для каждого у_i определяем по формуле (44) и вносим их значения в столбцы 11, 12 таблицы 11.

Таблица 11

i	yi	Xi1	Xi2		(yi - )2	( - )2	2	sei2	sei	yi min	yi max
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	23	37	39	17,8	102,7	234,7	26,9	17,4	4,2	8,7	26,9
2	18	33	40	21,5	229,0	135,8	12,1	16,9	4,1	12,5	30,4
3	27	15	35	23,7	37,6	88,8	10,8	20,9	4,6	13,7	33,7
4	29	36	48	31,9	17,1	1,6	8,3	15,5	3,9	23,3	40,5
5	43	26	53	44,8	97,4	136,5	3,3	16,4	4,0	36,0	53,6
6	23	24	42	29,4	102,7	14,2	40,5	16,5	4,1	20,5	38,2
7	55	15	54	52,3	478,2	366,4	7,4	18,2	4,3	43,0	61,6
8	47	33	54	42,5	192,3	88,3	20,0	16,5	4,1	33,7	51,4
9	35	44	50	30,6	3,5	6,6	19,7	16,3	4,0	21,8	39,3
10	38	34	53	40,5	23,7	54,1	6,2	16,2	4,0	31,7	49,2

Продолжение табл. 11

i	yi	Xi1	Xi2		(yi - )2	( - )2	2	sei2	sei	yi min	yi max
11	14	63	46	14,3	366,1	356,1	0,1	20,5	4,5	4,4	24,1
12	51	8	50	50,1	319,2	286,2	0,9	18,8	4,3	40,6	59,5
13	20	44	43	20	172,5	171, 5	0,0	16,7	4,1	11,1	28,9
14	39	43	55	38,6	34,4	30,1	0,1	17,4	4,2	29,5	47,7
15	35	31	51	39,1	3,5	35,6	16,8	15,7	4,0	30,5	47,7
					2179,7	2006,6	173,2
ср.	33,1
					155,7	1003,3	14,4
					12,5	31,7	3,8