12Расчет погрешностей косвенных измерений

19. Оценка результата косвенного измерения

При косвенных измерениях значение искомой величины Y получают на основании известной зависимости величины Y и величин Х_i, кото­рые определяют путем прямых измерений.

Пусть зависимость имеет вид Y = F(Х₁,Х₂,Х₃)_. В промышленности прямые измерения осуществляются, как правило, однократно с помощью стандартных технических средств с заранее известной допустимой погрешностью. Если прямые измерения (с целью повышения точности) производятся многократно, то для определения результата косвенного измерения в расчетную формулу подставляют средние арифметические значения исходных прямых измерений, т.е.

_ _ _ _

Y = F(Х₁,Х₂,Х₃) (12.1)

На погрешность косвенных измерений накладывает отпечаток не только погрешность прямых измерений, но и вид функциональной зави­симости. В дальнейшем будем предполагать, что аргументы попарно независимы друг от друга.

20. Суммирование систематических погрешностей

Если величины Х₁, Х₂, Х₃ измерены с некоторыми известными абсо­лютными погрешностями ∆Х₁, ∆Х₂, ∆Х₃, то и величина У будет определе­на с некоторой погрешностью, при этом

Y +∆Y = F(Х₁ + ∆Х₁, Х₂ + ∆Х₂, Х₃ + ∆Х₃)

Так как погрешности малы по сравнению с самими измеряемыми величинами, последнее уравнение можно разложить в ряд Тейлора (с оставлением только линейных членов)

Отсюда

(12.2)

Здесь - называют частными погрешностями косвенного измерения. Когда берут частную производную по одному из аргумен­тов, например Х₁, то остальные аргументы Х₂, Х₃ считаются постоян­ными. Кроме того, частные производные берутся в точках , соответс­твующих

средним значениям .

Формула (12.2) справедлива для любого вида функциональной свя­зи между Y и Х_i.

Рассмотрим два вида часто встречающихся формул. Измеряемая величина Y связана с величинами Х_i линейной зависимостью вида

Y = аХ₁ + вХ₂ + сХ₃ (12.3)

Тогда согласно (12.2) погрешность в определении

∆Y = а∆Х₁ + в∆Х₂ + с∆Х₃ (12.4)

Следует иметь в виду, что погрешности ∆Х_i выражены в тех же единицах, что и измеряемые величины.

Другой вид нелинейной зависимости между Y и Х_i:

(12.5)

где К - безразмерный коэффициент. В этом случае на основании (12.2) получаем

Это выражение неудобно для практических вычислений. Поэтому вместо абсолютной погрешности ∆Y найдем относительную погрешность

(12.6)

Здесь - относительная погрешность.

Пример 1. Мощность Р, поглощаемую в сопротивлении R, опреде­ляют путем измерения приложенного напряжения U с последующим вы­числением по формуле Р = U²/R.

Найдем погрешность определения Р, если R измерено с система­тической (относительной) погрешностью ∆R = +0,5%, а напряжение U с погрешностью ∆U = -2%. В данном случае Р = U² _* R^-1 и в соответс­твии с (12.5) имеем:

К = 1; α = 2; β = -1.

Пользуясь (12.6) находим

Примечание: рассмотренные систематические погрешности счита­лись постоянными и известными. Такие погрешности можно заранее исключить введением поправок. Кроме того, существуют так называе­мые неисключаемые систематические погрешности, которые рассматри­вают как случайные величины. Такие систематические погрешности при косвенных измерениях суммируют иначе ( /2/ с.143).

21. Суммирование случайных погрешностей

Результаты прямых измерений, содержащие случайные погрешнос­ти, являются случайными величинами, поэтому косвенно определяемую величину следует рассматривать как функцию случайных величин. Это дает возможность находить параметры точности (δ и др.) результата косвенных измерений по параметрам точности прямых измерений.

Из теории вероятностей известно, что средняя квадратическая погрешность косвенного измерения равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических погрешностей исходных прямых из­мерений, каждая из которых умножается на свою частную производную, т.е.

Здесь слагаемые называются частными случайными погрешностями, а частные производные коэффициентами влияния.

Формула (12.7) является основной для вычисления параметров точнос­ти результата косвенного измерения.

Если зависимость Y = F(Х₁,Х₂,Х₃) выражается линейным многоч­леном первой степени вида Y = аХ₁ + вХ₂ + сХ₃, то формула (12.7) принимает вид:

(12.8)

При нелинейной зависимости в виде степенной функции получаем формулу для относительной погрешности.

(12.9)

Формулы (12.7) - (12.9) справедливы при любых законах распре­деления погрешностей прямых измерений. Если законы распределения погрешностей прямых измерений одинаковы, то эти формулы можно при­менять для вычисления не только средней квадратической погрешности результата, но и предельной погрешности ∆.

Пример 1.2. Мощность Р, поглощаемую в сопротивлении R, опре­деляют путем измерения приложенного напряжения U с последующим вы­числением по формуле P = U²/R.

Найти предельную погрешность ∆_Р вычисления мощности Р при ус­ловии, что сопротивление R известно с предельной относительной погрешностью ∆R = 0,5%, а предельная относительная погрешность вольтметра ∆_U = 2%. Законы распределения указанных погрешностей нормальные.

В соответствии с (12.5) можно записать при этом К = 1; α = 2; β = -1.

Согласно (12.9)

Как видим, хотя примеры 1.1 и 1.2 имеют одинаковые исходные числа, но ответы получаются разными. Это объясняется тем, что в первом случае рассчитывались систематические погрешности, а во втором случае предельные, которые являются случайными величинами.

Пример 1.3. При измерении малой мощности постоянного тока при помощи амперметра и вольтметра мощность токоприемника вычисляют с учетом мощности, теряемой в обмотке амперметра, по формуле Р = IU - I²R, где R - сопротивление амперметра.

Найти среднюю квадратичекую погрешность измерения мощности δ_р, зная среднеквадратические случайные погрешности измерения силы тока δ_I, напряжения δ_U, и сопротивления δ_R.

Поскольку уравнение косвенного измерения представляет собой многочлен степени выше первой, то воспользуемся общей формулой (12.7). Найдем частные производные (коэффициенты влияния)

Примем следующие значения

I = 2,2 A ; U = 220 V; R = 100 Ω;

δ_I = 0,02 A; δ_U = 1 V; δ_R = 0,2 Ω.

Тогда в соответствии с (12.7)

W

При номинальной мощности Р_Н = 220 _* 2,2 = 484 W относительная погрешность.

22. Суммирование систематических и случайных погрешностей

Суммарная погрешность результата измерения определяется по формуле

∆_Е = ∆_С + ∆º ,

где - ∆_С суммарная систематическая погрешность; ∆ - суммарная слу­чайная погрешность, включающая в себя все составляющие предельной случайной погрешности.

Если систематическая погрешность вычислена, то для нахождения результата измерений Х_N нужно в среднее значение внести поправку, т.е. вычесть систематическую погрешность.