6. Розрахунок точності роботи цифрової системи

Точність цифрової системи оцінюють помилкою керування в усталеному режимі роботи системи. Помилка системи може бути знайдена з її z-зображення за допомогою теореми про кінцеве значення. Більш загальний підхід до визначення помилки пов’язаний з формулою розкладання її в ряд Тейлора

(nT) = С₀ u(nT) + С₁ u(nT) + ½ С₂ u (nT) + … + (1/k!) С_k u^(k) (nT), (6.1)

де С₀, С₁, С₂, … – коефіцієнти помилок стану, швидкості, прискорення і так далі, u(nT) – вхідна дія.

Коефіцієнт помилки С_k цифрової системи можна знайти з формули

, (6.2)

яка аналогічна формулі для помилки неперервної системи, але зручніше користуватись такими еквівалентними відносно (11.2) формулами, в яких виконана заміна е^st= z:

.(6.3)

Для визначення коефіцієнтів помилок С₀, С₁, С₂ цифрової системи знайдемо передатну функцію для помилки з формули

Ф_(z)=1/[1+W(z)]. (6.5)

Підставивши в (11.5)

,

знайдемо ПФ замкненої ЦС у такому вигляді:

, (6.6)

де e_i=c_i+d_i, i=0,1,2,3.

Фрагмент обчислення коефіцієнтів програмою MathCad для одного з варіантів подібної задачі має такий вигляд:

.

Одержані значення коефіцієнтів помилок для цифрової системи порівняйте з коефіцієнтами в завданні на курсову роботу.

Правильність виконаних розрахунків перевірте за допомогою кафедральної учбової програми TochnistCS.

7. Корекція цифрової системи

7.1. Передатні функції коректованої цифрової системи

Порівнюючи розраховані вище показники якості перехідного процесу  і  для цифрової системи з відповідними заданими значеннями цих показників, помічаємо, що розрахована цифрова система не задовольняє заданим вимогам. Тому за допомогою цифрової корекції системи спробуємо поліпшити згадані показники, не погіршуючи при цьому інших показників (∆А, ∆φ, С₀, С₁ і С₂)_.

Розглядатимемо коректовану цифрову систему як дискретний аналог неперервної коректованої системи. В курсовій роботі пропонується застосувати часовий метод послідовної корекції типовими ланками корекції.

Методика часової послідовної корекції полягає в тому, що на основі аналізу впливу типових ланок корекції на динаміку системи [1-3] вибирають таку ланку, яка у заданій системі може дати позитивний ефект. Для заданої системи з метою зменшення тривалості перехідного процесу і величини перерегулювання застосовують форсуючу ланку з передатною функцією W_К(s) =  s +1. Значення параметра  підбирають так, щоб досягти максимального ефекту корекції. Подібну задачу параметричної оптимізації можна розв’язати за допомогою спеціалізованих програм, призначених для автоматизованого проектування автоматичних систем, але в курсовій роботі обмежимось одним значенням параметра . Візьмемо =T₁+T₂, яке близьке до оптимального для систем заданої структури.

Після включення ланки корекції в ланцюг ланок неперервної системи передатна функція W(s) її розімкненої частини системи матиме вид

, (7.1)

а ПФ замкненої коректованої системи матиме вид

, (7.2)

для якої коефіцієнти b₀ =k , b₁ = k, a₀ = Т₁Т₂, a₁ =( Т₁ + Т₂), a₂ = (1 + k), a₃ = k потрібно розрахувати при =T₁+T₂.

Заміною z на (pz-p)/(z+1) в ПФ W(s) розімкненої неперервної коректованої системи одержимо ПФ W(z) розімкненої цифрової коректованої системи у такому вигляді:

. (7.3)

Коефіцієнти e_i, c_i в (13.1) обчислюють з формул

d₀=k(τp+1), d₁=2k(τp+1)+ k(-τp+1),

d₂=2k(-τp+1)+ k(τp+1), d₃= k(-τp+1),

c₀=T₁p²+T₂p²+T₁T₂p³+p, c₁= -T₁p²-T₂p² -3T₁T₂p³+p,

c₂= -T₁p²-T₂p² +3T₁T₂p³-p, c₃= T₁p²+T₂p² -T₁T₂p³-p.

Помітимо, що коефіцієнти знаменника c_i коректованої системи співпадають з раніше обчисленими коефіцієнтами c_i у виразі (2.2) для ПФ некоректованої ЦС, чого не можна сказати про коефіцієнти чисельника d_i.

ПФ замкненої коректованої ЦС згідно з формулою Ф(z)=W(z)/[1+W(z)] матиме вид

. (7.4)

де (z)=C(z)+D(z) і відповідно _i=c_i+d_i, i=0,1,2,3,

(z)=D(z) і відповідно _i=d_i.

В даному розділі курсової роботи потрібно розрахувати коефіцієнти многочленів передатних функцій W(z) і (z).